初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习：全等到相似的转化

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题型一：全等到相似的转化（对称型）
典题精练

已知正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．
⑴ 当时，______，
⑵ 当时，求的值；
⑶ 当时（点与点不重合），请写出翻折后与正方形公共部分的面积与的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．
⑴ 6 ；
⑵ ① 如图1，当点在上时，延长交于点，
∵，∴，∴．
∵，∴．
∵，∴．
又，∴．∴．
设，则，．
在中，由勾股定理得：
，解得．∴．
∴；
② 如图2，当点在延长线上时，延长交于点，
同①可得．
设，则．
在中，由勾股定理，得
，解得．∴．
∴．
⑶ ① 当点在上时，；
（所求的面积即为的面积，再由相似表示出边长）
② 当点在延长线上时，．
题型二：全等到相似的转化（旋转型）
典题精练
在和中，，，，、交于点．
⑴ 如图1，，则 ，与的数量关系是 ；


⑵ 如图2，，则的度数为 （用含的式子表示），与之间的数量关系是 ；填写你的结论，并给出你的证明；
⑶ 请你继续完成下面探索：
如图3，在和中，，，，则的度数为 （用含的式子表示），与之间的数量关系是 ；填写你的结论，并给予证明．
此题考察学生对共顶点的三角形的全等与相似.解决这里夹角的主要思路是我们常见的模型“八字角”.
⑴ ，相等；
⑵，相等；
∵，∴
∴，∴，
∵，∴
∵，∴，∴．
⑶ ，.
易证，∴，
∵，∴，∴，
∴．
如图，直线与线段相交于点, 点和点在直线上，且.
⑴ 如图1所示，当点与点重合时 ，且，请写出与的数量关系和位置关系；
⑵ 将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，，⑴中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
⑶ 将图2中的拉长为的倍得到如图3，求的值．
【答案】⑴ ；
⑵ 仍然成立.
证明: 过点作于,过点作于
∴
∵,
∴≌
∴
∵
∴
∴
延长与的延长线相交点
∴
又∵
∴
∴
⑶ 过点作于,过点作于
易证
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由⑵知 ．
．
如图，是由绕点顺时针旋转得到的，连结交斜边于点，的延长线交于点．
⑴ 证明：；
⑵ 设，，试探索、满足什么关系时，与是全等三角形，并说明理由．

⑴ 证明：∵是由绕点顺时针旋转得到的，
∴，，
∴
∴
又
∴
⑵ 解：当时，
在中，∵
∴
在中，
，即，
∴．
∵，
∴
∴
由⑴知：，
∴.
如图，正方形的对角线与相交于点，正方形与正方形全等，射线与不过、、、四点且分别交BC、CD的边于、两点．
⑴ 求证：；
⑵ 若将原题中的正方形改为矩形，且，其他条件不变，探索线段与
线段的数量关系．
⑴ 证明：过点作于点，于点.
∴.
∵为正方形对角线、的交点，
∴.
又∵
∴
在和中
∴.
∴.
⑵ 解：当交于点，交于点时.
过点作于点，于点H.
∴∠MGE=∠MHF=.
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴∠EMG+∠GMQ =∠HMF +∠GMQ=.
∴∠EMG =∠HMF.
在△MGE和△MHF中，
∴△MGE∽△MHF.
∴.
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴MB=MD=MC
又∵MG⊥BC，MH⊥CD，∴点G、H分别是BC、DC的中点.
∵，
∴.
∴.
如图，是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
（1）如图①，当点在线段上，且时，求证：；
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时，两点间的距离 （用含的代数式表示）．
【解析】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵的中点，
∴，
在中，
∴
∴；
（2）解：连接，
∵是两个全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
复习巩固
题型一 全等到相似的转化（对称型）
如右图，在正方形ABCD中，AB=1，BE⊥AP于E，DF⊥AP于F，
若= m(m为常数)，则= .
如图，已知，，，以为边作矩形ABCD，使，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．
O
B
C
A
E
D
⑴ 当a为何值时，？请说明理由，并求此时点C到OE的距离．
⑵ 当a为何值时，C到OE的距离是15?
⑴ 当时，
∵，，∴，当时，，∵
，∴
过作，过作．
∵为矩形．
又∵，∴为正方形
∴，，
∴，∴
∴，∴
⑵ 当时，到的距离是15；
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴

题型二 全等到相似的转化（旋转型）
现有一副直角三角板，按下列要求摆放：
⑴ 如图1，固定等腰直角三角板，于，另一个直角三角板的直角顶点与重合，现让三角板绕点旋转，保证、分别交、于点、．试探求的值；
⑵ 如图2，交换两块三角板的位置，固定直角三角板，于，另一个等腰直角三角板的直角顶点与点重合，、分别交、于点，，试问的值又将如何变化？
⑴ ，，，得，．
⑵由，得，又由，得，故．
如图1，在中，，，是边上一点，是边上
的一个动点（与点、不重合），，与射线相交于点．
⑴如图2，如果点是边的中点，求证：；
⑵如果，求的值.
⑴ 如图，连结，那么是等腰直角三角形的斜边上的高．
根据“角边角”可以证明，从而得到．
⑵ 如图，作，，垂足分别为点、，
那么与都是等腰直角三角形，．
因为与都是的余角，
所以．
又因为，
所以．
因此．
填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，，，
，直线AE、BD交于点F．
⑴ 如图1，若，则_________；如图2，若，则
_________；
⑵ 如图3，若，则_________(用含的式子表示)；
⑶ 将图3中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图4或图5．在图4中，
与的数量关系是___________；在图5中，与的数量关系是___________．请你任选其中一个结论证明．
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
E
E
E
F
F
F
图1
图2
图3
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
图4
图5
Q
⑴ ，；
⑵ ；
⑶ 图4中：；
图5中：．
的证明如下：
如图4，设与的交点为
∵，，．
∴，
∴，，
∴，得
∵
∴．