初中数学中考复习 专题13 爪型问题的转化与构图探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

专题十三：爪型问题的转化与构图探究

专题导例

如图1，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC ． 若点A，D，E在同一条直线上，ACB=20°，则∠ADC的度数是（    ）.

A. 55°    B. 60°      C. 65°       D. 70°

方法点睛

题目中遇到公共端点的三爪图时，旋转是它的克星，通过旋转把分散的条件（线段或角）整合在一个三角形内解决.旋转时明确旋转中心和旋转角.因此，当我们再遇到类似问题时，首先考虑旋转来解决.

问题：破解策略：共顶点引发的三条（多）条线段.

1、辅助圆的方法

2、旋转的方法

当三条线段不等时或题目隐含等边时，遇多少度旋转多少度，构造手拉手模型（全等或相似）来解决问题.

导例答案：C

典例剖析

类型一：辅助圆类

例1．以△ABC的边AB为底作等腰三角形OAB，且∠O=2∠C，AC与OB交于点D，若OB=a，OD=a，则AD·DC=         . 

【分析】由∠O=2∠C，且都对应了边AB，考虑到同弧所对圆周角为圆心角的一半，因此构造一个以O以圆心，OB为半径的一个圆，从而来解决问题.

类型二:旋转全等类三爪图（由边导角，由角导边进行构造）

例2 .在等边三角形ABC中，P是三角形内部一动点.

（1）若∠BEC=150°，求AP，BP，CP三边的数量关系；

（2）若等边三角形的边长为2,且AP2=BP2+CP2，则P的运动路径是什么？并求其长度.

【分析】（1）将BP绕点A顺时针旋转60°到BP′,可得△BPP′为等边三角形，∴△ABP≌△CBP′.从而可得AP，BP，CP三边的数量关系

（2）结合（1）中所得的结论，由AP2=BP2+CP2，可得∠CPP′=90°，∴∠BPC=150°．∴点P在圆周角为150°的圆弧上运动，且圆弧所在圆的半径2，圆心角为60°，从而弧BC的长为π.

专题突破

1.如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④MN的长度保持不变；⑤△PMN的周长保持不变；其中说法正确的是（　　）

A．①②⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．①②③   

2．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．

3．如图，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内部，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，直接写出△APC的面积为　   　．

4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为　   　．

5.如图，矩形ABCD中，AB=BC，点P为矩形ABCD内一点，已知PA∶PC=∶1，求∠APB的度数？

6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．

（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD

7.如图，△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°．连接BD，取BD中点F，连接CF，EF，CE．求证：△CEF为等腰直角三角形．

8.（2019年十堰市）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．

（1）填空：∠CDE＝　　（用含α的代数式表示）；

（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．

9．（1）【操作发现】

如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝　   　度．

（2）【解决问题】

①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．

②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝　   　．

（3）【拓展应用】

如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．

专题十一：三爪图问题探究

例1．如下图构造辅助圆，由同弧所对圆周角相等，∴△CDB∽△C′DA. ∴＝.

∴AD·DC=C′D·DB=a·a=a2.

例2.（1）将BE绕点A顺时针旋转60°到BE′,可得△BEE′为等边三角形，∴△ABE≌△CBE′.

∴∠E′EB=60°，E′E=BE，E′C=AE,∵∠BEC=150°，∴∠CEE′=90°,∴△E′EC为直角三角形，∴E′C2= E′E2+CE2.

(2)由AE2=BE2+CE2，可得∠CEE′=90°，∴∠BEC=150°，∴点E在以BC为弦,BC长为半径，圆周角为150°的圆弧上运动，∵BC=2，△BCD为等边三角形，∴CD=2，∠BDC=60°，∴弧BC的长为π.

专题突破

1.解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO＝∠PFO＝90°，

∴∠EPF+∠AOB＝180°，

∵∠MPN+∠AOB＝180°，

∴∠EPF＝∠MPN，

∴∠EPM＝∠FPN，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE＝PF，

在Rt△POE和Rt△POF中，

，

∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），

∴OE＝OF，

在△PEM和△PFN中，

，

∴△PEM≌△PFN（ASA），

∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，

∴S△PEM＝S△PNF，

∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故③正确，

∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE定值，

∵Rt△OPE中，∠OPE＝30°，可得OP＝2OE，

∴OM+ON＝OP＝定值故②正确，

∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故④错误，

∵PM＝PN，∠MPN＝60°，

∴△PMN是等边三角形，

∵MN的长度是变化的，

∴△PMN的周长是变化的，故⑤错误．

故选：D．

2．解：取AB的中点O，连接OP，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABP+∠PBC＝90°，

∵∠PAB＝∠PBC，

∴∠BAP+∠ABP＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），

∴点P在以AB为直径的⊙O的一部分弧线上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，其最小值为OC﹣OP，

在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝6，OP＝OB＝4，

∴OC＝＝＝2，

∴PC＝OC﹣OP＝2﹣4．

∴PC最小值为2﹣4．

故选：D．

3．将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C.∴△APP′是等边三角形.

∴∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，[来源:Z+xx+k.Com]

∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°.∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°.

∴PP′＝PC，即AP＝PC.∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72.

∴PC＝2.∴AP＝.∴S△APC＝AP•PC＝；故答案为．

4.解：∵∠AEB＝90°，

∴点E在以AB为直径的圆上，如图所示，设圆心为O，

∵AB＝4，AB是⊙O的直径，

∴OE＝2，

在Rt△OBC中，OC＝，

∴当点E在CO的延长线上时，CE有最大值，

∴CE的最大值＝OE+OC＝2+2，

∴CE的最大值＝2+2．

故答案为：2+2．

5.将△PBC逆时针旋转90°，并按1∶放缩，得到△P′BA，则△PBC∽△P′BA（相似比1∶），由题意可设PA=2，PC=1，PA=PC=2.显然在Rt△PBP′中，P′B=PB=，PP′=2，∠P′PB=60°，由P′P2+AP2=P′A2，可得∠APP′=90°，∠APB=150°[来源:Z。xx。k.Com]

6．（1）∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA.∵∠CBA=∠CDE，∴∠ACB=∠ECD.

∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD.∴∠ACE=∠BCD．

在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD.∴AE=BD．

（2）AD+BD=CD,证明：作CF⊥CD，交DA的延长线于F.

∵AC⊥BC，AC=BC，∴O在AB上，∠CAB=∠CBA=45°.

∴∠CDA=∠CBA=45°.∴∠F=180°﹣∠FCD﹣∠CDA=45°=∠CDA.∴CF=CD.

∵∠FCD=∠ACB=90°，∴∠FCA=∠BCD.

在△ACF和△BCD中,∴△ACF≌△BCD.

∴BD=AF.∴AD+BD=AD+AF=DF.在△DCF中，由勾股定理得：DF==CD．

7.证明：取AD、AB的中点N、M，连接NE、NF、CM、MF，

∵N、F是AD和BD中点，

∴NF∥AB，NF＝AB，

∵M是AB中点，∠ACB＝90°，

∴CM＝AB，CM⊥AB，

∴CM＝NF，

同理EN＝FM，

∵MF∥AD，

∴∠MFO＝∠DNO，

∵CM⊥AB，NF∥AB，

∴CM⊥NF，

∴∠OMF+∠MFO＝∠ENO+∠DNO＝90°，

∴∠OMF＝∠ENO，

在△FNE和△CMG中，

，

∴△FNE≌△CMG，

∴CF＝EF，∠FCM＝∠EFN，

∵∠FCM+∠OFC＝90°，

∴∠EFN+∠OFC＝90°，

∴∠CFE＝90°．

8.（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE

∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α．∴CD＝CE．∴∠CDE＝．故答案为；

（2）AE＝BE+CF，理由如下：如图，

∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE

∴△ACD≌△BCE．∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°．

∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE．∴DF＝EF＝ CF．

∵AE＝AD+DF+EF，∴AE＝BE+CF ；

（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

∵∠ACB＝∠AGB＝90°，∴点C，点G，点B，点A四点共圆．

∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG．∴∠AGC＝∠ECG＝45°．∴CE＝GE．

∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°，∴AG＝＝8．

∵AC2＝AE2+CE2，∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2．∴CE＝7（不合题意舍去）或CE＝1．

若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得CF＝7．

∴点C到AG的距离为1或7．

9．（1）【操作发现】

解：如图1中，

∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，

∴AD＝AB，∠DAB＝50°，

∴＝65°，

故答案为：65．

（2）【解决问题】

①解：如图2中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，

∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，

∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，

∴PP′＝PC，即AP＝PC，

∵∠APC＝90°，

∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，

∴PC＝2，

∴AP＝，

∴S△APC＝AP•PC＝××2＝．

②如图3，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′，

∵CP′＝CP，∠P′CP＝∠ACB＝90°，

∴△P′CP为等腰直角三角形，

∴∠CP'P＝45°，

∵∠BPC＝135°＝∠AP'C，

∴∠AP′P＝90°，

∵PA＝3，PB＝1，

∴AP′＝1，

∴PP′＝＝＝2，

∴PC＝＝＝2．

故答案为：2．

（3）【拓展应用】

解：如图4中，将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE．

∵将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，

∴∠ABP＝∠EBD，AB＝EB＝4，∠PBD＝60°，

∴∠ABP+∠PBC＝∠EBD+∠PBC，

∴∠EBD+∠PBC＝∠ABC＝75°，

∴∠CBE＝135°，

过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，

∴∠EBF＝45°，

∴，

在Rt△CFE中，∵∠CFE＝90°，BC＝3，EF＝2，

∴＝

即PA+PB+PC的最小值为．