初中数学中考复习 专题5 抛物线上面积类综合问题的转化与探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

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专题五 抛物线上面积类综合问题的转化与探究
知识讲解


专题导例
阅读材料：如图 1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图 2，抛物线顶点坐标为点 C（1，4），交 x 轴于点 A（3，0），交 y 轴于点 B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）求△CAB 的铅垂高 CD及 S△CAB；
（3）抛物线上是否存在一点 P，使 S△PAB＝ S△CAB？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
【分析】（1）已知了顶点 C 坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据 A 点的坐标可求出二次函数的解析式．然后根据求出的二次函数的解析式，求出 B 点的坐标，然后可用待定系数法用 B、A 的坐标求出 AB 所在直线的解析式；
（2）要求三角形 CAB 的面积，根据题中给出的求三角形面积的求法，那么要先求出水平宽和铅垂高，求铅垂高就要求出 C，D 两点纵坐标，C 点的坐标已知，可用（1）中的一次函数求出 D 点的纵坐标，那么 C，D 两点的纵坐标的差的绝对值就是三角形 CAB 的铅垂高，而水平宽是 A 点的横坐标，这样可根据题中给出的求三角形的面积的方法得出三角形 CAB 的面积；
（3）可先根据（2）中三角形 CAB 的面积得出三角形 PAB 的面积，三角形 PAB 中，水平宽是 A 的横坐标为定值，因此根据三角形 PAB 的面积可得出此时的铅垂高，然后用抛物线的解析式以及一次函数的解析式，先表示出铅垂高，然后根据由三角形 PAB 的面积求出的铅垂高可得出关于 x 的方程，即可得出 x 的值，然后代入二次函数式中即可得出此点的坐标。
典例剖析
一、 类型一：利用面积关系式求解最值问题
例1.如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为（﹣2，0），连接 OA，将线段 OA 绕原点O顺时针旋转 120°，得到线段 OB．
（1）求经过 A、O、B三点的抛物线的解析式；
（2）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．
（注意：本题中的结果均保留根号）

【分析】（1）由已知得 OA＝2，将线段 OA绕原点 O顺时针旋转120°，则 OB与 x轴的正方向夹角为60°，过点 B作 BD⊥x 轴于点 D，解直角三角形可得 OD、BD的长，可表示 B点的坐标；将 A、O、B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；
（2）因为点 A，O关于对称轴对称，连接 AB 交对称轴于 C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据 C 点的横坐标值，求纵坐标；

（3）设 P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值．
二：类型二：由已知面积来定未知面积类问题
例2. 如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠B＝60°，CE⊥AB于E，动点P从出发点以1cm/s的速度沿BC边向终点C运动，同时动点Q从点C出发以4cm/s的速度沿CD边向点D运动，当点Q到达D时立即以原来的速度沿射线DA运动，连接PQ，当点P到达C点时，点P、点Q同时停止运动，设点P，Q运动时间为t秒．
（1）当t＝　　时，点Q到达点D；
（2）如图1，当点Q在CD上运动时，若△PCQ的面积等于△BEC的面积，求t的值；
（3）如图2，当点Q在DA的延长线上运动时，PQ与AB相交于点F，若AF：BF＝3：2，求t的值，并判断此时PQ与CE的位置关系；
（4）在整个运动过程中，是否存在将菱形ABCD的周长和面积同时平分的情形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，简要说明理由．

【分析】（1）根据时间＝即可求解；
（2）首先求得△BCE的面积，然后利用t表示出PC和CQ的长，则△PCQ的面积即可用t表示，则列方程即可求解；
（3）易证△AQF∽△BPF，根绝相似三角形的对应边的比相等即可列方程求解；
（4）PQ同时把菱形ABCD的周长和面积同时平分，则PQ一定经过菱形的中心，则一定有DQ＝BP，据此即可求解．

类型三：与面积倍分有关的综合题

例3. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）若点P在直线x＝2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d得值；
（3）如图2，直线AC：y＝﹣x+m经过点A，交y轴于点C．探究：在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA＝2S△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）根据A、B两点的坐标直接算出a，b即可，配成顶点式，得出顶点坐标；
（2）设出P点的纵坐标，过P作PM⊥AD于点M，设直线AD与直线x＝2交于点G，将PG用P点的纵坐标表示；分两种情况讨论：①若点P在第一象限，则PG＝6﹣d；②若点P在第四象限，则PG＝6+d．分别算出d的值．
（3）要使得S△CDA＝2S△ACM，则只需M点到直线AC的距离是点D到直线AC的距离的一半即可，过点D作DE∥AC，交y轴于点E，过EC的中点F且平行于AC的直线与抛抛物的交点就是所求的点，联立方程组解之即可．

专题突破
1.如图已知：直线 y＝﹣x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 D 的坐标为（﹣1，0），在直线 y＝﹣x+3 上有一点 P，使△ABO 与△ADP 相似，求出点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使△ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，连接BC、BD．
（1）求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标；
（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；
（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△BCD∽△CPQ，求点Q的坐标．


3. 如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)，B(1，0)两点，顶点为M.
(1)求b、c的值；
(2)将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的解析式；
(3)设(2)中平移所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM1的面积是△PAA1面积的3倍，求点P的坐标．

第4题图

5. 如图，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在点D处，AD交OC于点E.
(1)求OE的长；
(2)求过O，D，C三点的抛物线的解析式；
(3)若F为过O，D，C三点的抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间T(秒)为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分．


专题五 抛物线上面积类综合问题的转化与探究答案

专题导例（1）设抛物线的解析式为：y1＝a（x﹣1）2+4把 A（3，0）
代入解析式求得 a＝﹣1
所以 y1＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3
设直线AB的解析式为：y2＝kx+b
由 y1＝﹣x2+2x+3 求得B点的坐标为（0，3） 把 A（3，0），B（0，3）代入 y2＝kx+b 中
解得：k＝﹣1，b＝3 所以 y2＝﹣x+3；
因为C点坐标为（1，4） 所以当 x＝1 时，y1＝4，y2＝2 所以 CD＝4﹣2＝2
S△CAB＝×3×2＝3（平方单位）；
∵S△PAB＝ S△CAB＝ ×3＝
设 P（m，﹣m2+2m+3）
过点 P 作 PE⊥x 轴交 AB 于 F
则 F（m，﹣m+3）
①当 P 在 AB 上方时，
S△PAB＝ ＝ ×3×（﹣m2+2m+3+m﹣3）
m1＝m2＝
∴P1（ ， ）
②当 P在AB下方时
S△PAB＝ ＝ ×3×（﹣m+3+m2﹣2m﹣3）
∴P2（ ， ），P3（ ， ）。
例1.解：（1）过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，由已知可得：OB＝OA＝2，∠BOD＝60°，

在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠OBD＝30°

∴OD＝1，DB＝
∴点 B 的坐标是（1，）．

设所求抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c（a≠0）



由已知可得： ，



解得：a＝ ，b＝ ，c＝0，

∴所求抛物线解析式为 y＝ x2+ x．
（2）存在，
由 y＝x2+ x 配方后得：y＝（x+1）2﹣
∴抛物线的对称轴为 x＝﹣1

（也可用顶点坐标公式求出）

∵点 C 在对称轴 x＝﹣1 上，△BOC 的周长＝OB+BC+CO；

∵OB＝2，要使△BOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小，

∵点 O 与点 A 关于直线 x＝﹣1 对称，有 CO＝CA

△BOC 的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA

∴当 A、C、B 三点共线，即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时△BOC 的周长最小．
设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b，则有：，
解得：k＝ ，b＝ ，
∴直线 AB 的解析式为 y＝x+， 当 x＝﹣1 时，y＝，
∴所求点 C 的坐标为（﹣1，），
（3）设 P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），
则 y＝x2+ x①
过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q，PG⊥x 轴于点 G，过点 A 作 AF⊥PQ 轴于点 F，过点 B 作BE⊥PQ 轴于点 E，则 PQ＝﹣x，PG＝﹣y，
由题意可得：S△PAB＝S 梯形 AFEB﹣S△AFP﹣S△BEP
＝ （AF+BE）•FE﹣ AF•FP﹣ PE•BE
＝（﹣y+ ﹣y）（1+2）﹣（﹣y）（x+2）﹣（1﹣x）（ ﹣y）
＝ ②
将①代入②，
化简得：S△PAB＝﹣ x2﹣ x+
＝ （x+ ）2+
∴当 时，△PAB 得面积有最大值，最大面积为
此时

∴点 P 的坐标为 ．
例2.解：（1）t＝＝1（s），故答案是：1s；
（2）在直角△BCE中，EC＝BC•sin∠B＝4×＝2（cm），BE＝BC＝2（cm），
则S△BEC＝BE•EC＝×2×2＝2（cm2），
运动的时间是ts，则BP＝t，PC＝4﹣t，CQ＝4t，
则S△PCQ＝PC•CQ•sin60°＝（4﹣t）•4t•＝﹣t2+4t，
则﹣t2+4t＝2，
解得：t＝1或（舍去）．
故t＝1．
（3）∵AD∥BC，
∴△AQF∽△BPF，
∴＝＝，
∴＝，
解得：t＝．
则BP＝，
又∵BF＝AB＝，BE＝2，
∴＝，
∴PQ∥CE；
（4）PQ同时把菱形ABCD的周长和面积同时平分，则PQ一定经过菱形的中心，
则Q在AD上，且DQ＝BP，则t﹣4＝t，
此时无解，则t不存在．
例3.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
（2）如图，设P（2，yP），过P作PM⊥AD于点M，设直线AD与直线x＝2交于点G，

则PM＝d＝|yP|，
直线AD的解析式为y＝2x+2，
∴G（2，6），
∴PG＝6﹣yP，
∵，
∴，
∴PG＝|yP|＝d，
①若点P在第一象限，则PG＝6﹣d，
∴d＝6﹣d，∴d＝，
②若点P在第四象限，则PG＝6+d，
∴d＝6+d，
∴d＝，
（3）∵直线AC过点A，所以可求得直线AC：y＝﹣x﹣1．
过点D作DE∥AC，交y轴于点E，如图，可求得直线DE：y＝﹣x+5．

∴E（0，5），
∴EC的中点F（0，2）．
∴过点F平行于AC的直线为y＝﹣x+2．
∴，
解得，或（舍去）
∴M（，）．
专题突破答案
1. 解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过 A、B、C 三点，
∴把 A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入 y＝ax2+bx+c，得方程组

解得：



∴抛物线的解析式为 y＝x2﹣4x+3
（2）由题意可得：△ABO 为等腰三角形，如答图 1 所示， 若△ABO∽△AP1D，则
∴DP1＝AD＝4，
∴P1（﹣1，4）
若△ABO∽△ADP2 ，过点 P2 作 P2 M⊥x 轴于 M，AD＝4，
∵△ABO 为等腰三角形，

∴△ADP2 是等腰三角形，
由三线合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，即点 M 与点 C 重合，
∴P2（1，2）
综上所述，点 P 的坐标为 P1（﹣1，4），P2（1，2）；
（3）不存在．
理由：如答图 2，设点 E（x，y），则 S△ADE＝
①当P1（﹣1，4）时，
S四边形 AP1CE＝S△ACP1+S△ACE＝＝4+|y|
∴2|y|＝4+|y|，

∴|y|＝4

∵点 E 在 x 轴下方，

∴y＝﹣4，代入得：x2﹣4x+3＝﹣4，即 x2﹣4x+7＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×7＝﹣12＜0
∴此方程无解
②当 P2（1，2）时，
S四边形 AP2CE＝S△ACP2+S△ACE＝＝2+|y|，
∴2|y|＝2+|y|，

∴|y|＝2

∵点 E 在 x 轴下方，

∴y＝﹣2，代入得：x2﹣4x+3＝﹣2，即 x2﹣4x+5＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0
∴此方程无解

综上所述，在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E．

2．（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：
解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8．
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴点P的坐标为（1，9）．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+8＝8，∴点C的坐标为（0，8）．
设点E的坐标为（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），
∵S△COE＝S△BCD，∴×8•x＝×4×4，解得x＝2．∴点E的坐标为（2，8）．
（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，如图所示．
∵点B（4，0），点D（0，4），∴OB＝OD＝4．
∴∠ODB＝45°，BD＝4．∴∠BDC＝135°．
∵点C（0，8），点P（1，9），∴点M的坐标为（1，8）．∴CM＝PM＝1．
∴∠CPM＝45°，CP＝．∴点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方．
∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．
∵△BCD∽△CPQ，∴或．
时，，解得PQ＝2．∴点Q的坐标为（1，11）；
②当时，，
解得：PQ＝1，∴点Q的坐标为（1，10）．
综上所述，点Q的坐标为（1，11）或（1，10）．

3.解：（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），
∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），
∵x12+x22﹣x1x2＝13，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，
∴m2+3（m+1）＝13，
即m2+3m﹣10＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣5．
∵OA＜OB，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）连接BE、OE．
∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，
∴BE＝CD＝CE．
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵C（0，﹣3），
∴OB＝OC，
又∵BE＝CE，OE＝OE，
∴△OBE≌△OCE（SSS），
∴∠BOE＝∠COE，
∴点E在第四象限的角平分线上，
设E点坐标为（m，﹣m），将E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，
得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝，
∵点E在第四象限，
∴E点坐标为（，﹣）；

（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．
∵S△ACQ＝2S△AOC，
∴S△ACF＝2S△AOC，
∴AF＝2OA＝2，
∴F（1，0）．
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．
∵AC∥FQ，
∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，
将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，
∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．
联立，解得，，
∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．



4.(1)∵抛物线y＝x2＋Bx＋C经过A(0，3)，B(1，0)两点，
∴，解得
(2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.
∵A(0，3)，B(1，0)，∴OA＝3，OB＝1．∴C点坐标为(4，1) ．
当x＝4时，由y＝x2－4x＋3得y＝3．
则抛物线y＝x2－4x＋3经过点(4，3)，[来源:学&科&网]
∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C．
∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2－4x＋1；
(3)∵点P在y＝x2－4x＋1上，可设P点的坐标为(x0，x－4x0＋1)，
将y＝x2－4x＋1配方得y＝(x－2)2－3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．∵S△PMM1＝|x0－2|·MM1，S△PAA1＝|x0|·AA1，
S△PMM1＝3S△PAA1，MM1＝AA1＝2，∴x0