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2022-2023学年湖北省黄冈市中考数学突破提升破仿真模拟卷（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市中考数学突破提升破仿真模拟卷（一模二模）含解析，共58页。试卷主要包含了 下列各数中最小的是，8×104毫升D， 下列计算正确的是， 计算等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄冈市中考数学突破提升破仿真模拟卷
（一模）
一．选一选（共8小题，满分21分）
1. 下列各数中最小的是（ ）
A. 0 B. 1 C. ﹣ D. ﹣π
2. 我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧没有紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．若每天用水时间按2小时计算，那么中的另外22小时水龙头都在没有断的滴水．请计算，一个拧没有紧的水龙头，一个月（按30天计算）浪费水（ ）
A. 23760毫升 B. 2.376×105毫升
C. 23.8×104毫升 D. 237.6×103毫升
3. 如右图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）
A B.
C. D.
4. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
5. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A B. C. D.
6. 等腰直角三角尺与直尺按如图位置摆放，且三角尺的直角顶点在直尺的一边上. 若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
7. 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=75°，那么∠BAD的度数是（ ）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 105°
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1上一点A关于x轴的对称点为B（2，m），则m的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9. 计算：（+）﹣的结果是_____．
10. 已知关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是_____．
11. 如图，平行四边形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD边的中点，连接OE，如果AB=4，OE=3，则平行四边形ABCD的周长为_____．
12. 已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，图象上两点A、E分别引y轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为_____．
13. 如图，BC是⊙O直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD：DB=2：3，AC=10，则si=_____．
14. 若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个解是x=﹣2，则抛物线y=x2+mx+n﹣5一定过一个定点，它的坐标是_____．
三．解 答 题（共10小题，满分78分）
15. 先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1），其中，a=﹣1．
16. 为了做好防控H1N1甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位和A、B两名护士中选取一位和一名护士指导某乡镇预防H1N1甲型流感工作．
（1）若随机选一位和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
（2）求恰好选中甲和护士A的概率．
17. 甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？
18. 已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD＝∠ODA，请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论．
（1）写出一个真命题，并证明
（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明
19. 典典同学学完统计知识后，随机了她家所在辖区若干名居民年龄，将数据绘制成如下扇形和条形统计图：
请根据以上没有完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中a= ，b= ；并补全条形统计图；
（2）若该辖区共有居民3500人，请估计年龄在0～14岁的居民的人数．
（3），典典知道了辖区内60岁以上的部分老人参加了市级门球比赛，比赛的老人们分成甲、乙两组，典典很想知道甲乙两组的比赛结果，王大爷告诉说，甲组与乙组的得分和为110，甲组得分没有低于乙组得分的1.5倍，甲组得分至少为多少？
20. 如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能通过这一海域？
21. A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系．
（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B的速度是多少？
（3）求L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？
22. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
23. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（没有与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长．
24. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
2022-2023学年湖北省黄冈市中考数学突破提升破仿真模拟卷
（一模）
一．选一选（共8小题，满分21分）
1. 下列各数中最小的是（ ）
A. 0 B. 1 C. ﹣ D. ﹣π
【正确答案】D
【分析】根据任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数值大的反而小即可判断．
【详解】﹣π＜﹣＜0＜1．
则最小的数是﹣π．
故选：D．
本题考查了实数大小的比较，理解任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数值大的反而小是关键．
2. 我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧没有紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．若每天用水时间按2小时计算，那么中的另外22小时水龙头都在没有断的滴水．请计算，一个拧没有紧的水龙头，一个月（按30天计算）浪费水（ ）
A. 23760毫升 B. 2.376×105毫升
C. 23.8×104毫升 D. 237.6×103毫升
【正确答案】B
【详解】好样的：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于10时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
详解：2×0.05×（22×60×60）×30=0.1×79200×30=2.376×105毫升．
故选B．
点睛：用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1，当原数的值＜1时，n为负整数，n的值等于原数中左起个非零数前零的个数（含整数位数上零）．
3. 如右图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有从正面看到的棱都应表现在主视图中.
【详解】解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.
故选B．
本题考查了三视图知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.
4. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数没有变指数相加；幂的乘方，底数没有变指数相乘；同底数相除，底数没有变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与没有是同类项，没有能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，没有是同类项的一定没有能合并．
5. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，选出符合条件的选项即可．
详解：
由①得，x≤2，
由②得，x>-1，
故此没有等式组的解集为：-1
故选A．
点睛：本题考查的是在数轴上表示一元一此没有等式组的解集，把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6. 等腰直角三角尺与直尺按如图位置摆放，且三角尺的直角顶点在直尺的一边上. 若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
【正确答案】B
【详解】解：如图．∵∠1=35°，∴∠3=90°－35°=55°．∵AB∥CD，∴∠4=∠3=55°，∠2=∠4+∠5=55°+45°=100°．故选B．
7. 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD一个外角，如果∠DCE=75°，那么∠BAD的度数是（ ）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 105°
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵四边形ABCD内接于
∴
故选B．
点睛：圆内接四边形的对角互补.
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1上一点A关于x轴的对称点为B（2，m），则m的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据关于x轴的对称点的坐标特点可得A（2，﹣m），然后再把A点坐标代入y=﹣x+1可得m的值．
解：∵点B（2，m），
∴点B关于x轴的对称点A（2，﹣m），
∵A在直线y=﹣x+1上，
∴﹣m=﹣2+1=﹣1，
m=1．
故选B．
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9. 计算：（+）﹣的结果是_____．
【正确答案】
【分析】先去括号，然后再合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：原式=+﹣=
故
本题考查合并同类二次根式实际是把同类二次根式系数相加，而根指数与被开方数都没有变．
10. 已知关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是_____．
【正确答案】m＞﹣1
【详解】分析：根据一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac，建立关于m的没有等式，求出m的取值范围即可．
详解：把方程x2﹣m=2x整理得：x2-2x-m=0
∴a=1，b=-2，c=-m，
∵方程有两个没有相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4+4m＞0，
∴m＞-1．
故答案为m＞-1．
点睛：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个没有相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
11. 如图，平行四边形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD边的中点，连接OE，如果AB=4，OE=3，则平行四边形ABCD的周长为_____．
【正确答案】20
【详解】分析：平行四边形中对角线互相平分，则点O是BD的中点，而E是CD边中点，根据三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半可得AD=6，进一步即可求得▱ABCD的周长．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
又∵点E是CD边中点
∴AD=2OE，即AD=6，
∴▱ABCD的周长为（6+4）×2=20．
故答案为20．
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，三角形中位线性质应用比较广泛；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
12. 已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，图象上两点A、E分别引y轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为_____．
【正确答案】17．
【详解】解：连结AD，过D点作DG∥CM
∵，△AOC的面积是15，
∴CD：CO=1:3，OG:OM=2:3，
∴△ACD的面积是5，△ODF的面积是15×=，
∴四边形AMGF的面积=，
∴△BOE的面积=△AOM的面积=×=12，
∴△ADC与△BOE的面积和为5+12=17，
故答案为:17
13. 如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD：DB=2：3，AC=10，则si=_____．
【正确答案】
【详解】分析：连接CD，根据圆周角定理可知CD⊥AB；在Rt△ABC中，CD⊥AB，可用未知数设出AD、BD的长，进而由射影定理求得AD的值；易知∠ACD=∠B，在Rt△ACD中，可根据AD、AC的长，求出∠ACD的正弦值，由此得解．
详解：连接CD，则CD⊥AB；
∵AC切⊙O于C，
∴AC⊥BC；
在Rt△ACB中，CD⊥AB，则有：
AC2=AD•AB；
设AD=2k，BD=3k，则AB=5k；
∴102=2k•5k，解得k=，
∴AD=2k=2，
∴si=sin∠ACD=．
故答案为 .
【点评】此题中主要考查了切线的性质以及圆周角定理的应用．
14. 若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个解是x=﹣2，则抛物线y=x2+mx+n﹣5一定过一个定点，它的坐标是_____．
【正确答案】（﹣2，﹣5）
【详解】分析：由二次函数与一元二次方程的关系得出抛物线y=x2+mx+n与x轴的有一个交点坐标为（-2，0），由平移的性质得出抛物线y=x2+mx+n-5一定过一个定点（-2，-5）即可．
详解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个解是x=-2，
∴抛物线y=x2+mx+n与x轴的有一个交点坐标为（-2，0），
∵抛物线y=x2+mx+n向下平移5个单位得到抛物线y=x2+mx+n-5，
∴抛物线y=x2+mx+n-5一定过一个定点（-2，-5）；
故答案为（-2，-5）．
点睛：本题考查了二次函数图象与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系、平移的性质等知识；熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．
三．解 答 题（共10小题，满分78分）
15. 先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1），其中，a=﹣1．
【正确答案】2a+2，
【详解】试题分析：先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项，代入求出即可．
试题解析：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1）
=a2+2a+1﹣a2+1
=2a+2，
当a=﹣1时，原式=2×（﹣1）+2=2．
考点：整式的混合运算—化简求值
16. 为了做好防控H1N1甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位和A、B两名护士中选取一位和一名护士指导某乡镇预防H1N1甲型流感工作．
（1）若随机选一位和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
（2）求恰好选中甲和护士A的概率．
【正确答案】（1）树状图见解析（2）
【分析】（1）根据题意画出树状图；
（2）由树状图列举出等可能的情况数是3，护士可能的情况数是2的所有情况，看恰好选中甲和护士A的情况数占所有情况数的多少即可．
【详解】解：（1）用列表法表示所有可能结果如下：
（2）P（恰好选中甲和护士A）
∴恰好选中甲和护士A的概率是
本题考查用列树状图的方法解决概率问题；得到恰好选中甲和护士A的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
17. 甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？
【正确答案】甲、乙两公司人均捐款分别为80元、100元．
【详解】试题分析：本题考察的是分式的应用题，设甲公司人均捐款x元，根据题意列出方程即可.
试题解析：
设甲公司人均捐款x元
解得：
经检验，为原方程的根， 80+20=100
答：甲、乙两公司人均各捐款为80元、100元．
18. 已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD＝∠ODA，请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论．
（1）写出一个真命题，并证明
（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明
【正确答案】（1）若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD∥BC，则四边形ABCD是菱形；证明见解析；（2）详见解析
【详解】（1）如：若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD∥BC，则四边形ABCD是菱形．
证明：如图，设AC与BD交于上点O．
∵AC平分BD
∴BO=DO
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO
在△AOD和△COB中，
∵∠ADO=∠CBO，BO="DO"，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA）
∴AO=CO
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形；
（2）如：若AC平分BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形．
反例：如图，四边形ABCD为矩形．
（1）题中条件，从对角线上考虑：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD，只要再说明AO与CO相等就可以了，利用③AD∥BC证明三角形全等就可以得到；
（2）利用条件说明是矩形，所以是菱形是假命题．
19. 典典同学学完统计知识后，随机了她家所在辖区若干名居民的年龄，将数据绘制成如下扇形和条形统计图：
请根据以上没有完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中a= ，b= ；并补全条形统计图；
（2）若该辖区共有居民3500人，请估计年龄在0～14岁的居民的人数．
（3），典典知道了辖区内60岁以上的部分老人参加了市级门球比赛，比赛的老人们分成甲、乙两组，典典很想知道甲乙两组的比赛结果，王大爷告诉说，甲组与乙组的得分和为110，甲组得分没有低于乙组得分的1.5倍，甲组得分至少为多少？
【正确答案】（1）20%，12%；（2）700人；（3）甲组至少得66分．
【详解】试题分析：（1）根据“15～40”的百分比和频数可求总数，进而求出b和a的值．利用总数和百分比求出频数再补全条形图；
（2）用样本估计总体即可；
（3）首先设甲组得x分，则乙组得（110﹣x）分，由题意得没有等关系：甲组得x分≥乙组得x分×1.5，根据没有等关系列出没有等式，解没有等式即可．
试题解析：解：（1）总人数：230÷46%=500（人），100÷500×=20%，60÷500×=12%；
500×22%=110（人），如图所示：
（2）3500×20%=700（人）；
（3）设甲组得x分，则乙组得（110﹣x）分，由题意得：
x≥1.5（110﹣x），解得：x≥66．
答：甲组至少得66分．
20. 如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能通过这一海域？
【正确答案】轮船自A处开始至少沿南偏东75°度方向航行，才能通过这一海域．
【详解】试题分析: 过P作PB⊥AM于B,则PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离,求出PC长和16比较即可,第二问设出航行方向,利用角的三角函数值确定答案.
试题解析:过P作PB⊥AM于B,
Rt△APB中,∵∠PAB=30°,
∴PB=AP=×32=16海里,
∵16＜16故轮船有触礁危险,
为了,应该变航行方向,并且保证点P到航线的距离没有小于暗礁的半径16海里,即这个距离至少为16海里,
设航向为AC,作PD⊥AC于点D,
由题意得,AP=32海里,PD=16海里,
∵sin∠PAC=,
∴在Rt△PAD中,∠PAC=45°,
∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=45°-30°=15°,
答:轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行,才能通过这一海域.
21. A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系．
（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B的速度是多少？
（3）求L1，L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？
【正确答案】（1）L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）汽车B的速度是1.5千米/分；（3）s1=﹣1.5t+330，s2=t；（4）2小时后，两车相距30千米；（5）行驶132分钟，A、B两车相遇．
【详解】试题分析：（1）直接根据函数图象的走向和题意可知L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）由L1上60分钟处点的坐标可知路程和时间，从而求得速度；
（3）先分别设出函数，利用函数图象上的已知点，使用待定系数法可求得函数解析式；
（4）（3）中函数图象求得时s的值，做差即可求解；
（5）求出函数图象的交点坐标即可求解．
试题解析：（1）函数图形可知汽车B是由乙地开往甲地，故L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）（330﹣240）÷60=1.5（千米/分）；
（3）设L1为 把点（0，330），（60，240）代入得
所以
设L2为 把点（60，60）代入得
所以
（4）当时，
330﹣150﹣120=60（千米）；
所以2小时后，两车相距60千米；
（5）当时，
解得
即行驶132分钟，A、B两车相遇．
22. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
【正确答案】（1）；（2）；（3）A、①；② ；B、①或；②或．
【详解】试题分析：（1）根据相似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB=5，根据相似比等于可求得答案；（3）A.①由矩形ABEF∽矩形FECD，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b和a，列出比例式整理即可；B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=b，然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解.
解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH=AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： ==；
故答案为；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似相似比为： =，
故答案为；
（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即a：b=b：a，
∴a=b；
故答案为
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b： a=a：b，
∴a=b；
故答案为
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a=a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣=，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为或；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为 b或b．
点睛：本题考查了信息迁移，矩形的性质，相似多边形的性质及分类讨论的数学思想，读懂题意，熟练掌握相似比多边形的性质，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.
23. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（没有与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长．
【正确答案】（1）CF=；（2）y=（0＜x＜2）；（3）AB=2.5.
【详解】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得△CEF∽△CAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；
（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由∠ABE的正切值求解.
试题解析：（1）∵AD=CD．
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠CEB=45°，
∴∠DAC=∠CEB，
∵∠ECA=∠ECA，
∴△CEF∽△CAE，
∴，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE= ，
∵CA=，
∴，
∴CF=；
（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，
∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，
∴∠ECA=∠ABF，
∵∠CAE=∠ABF=45°，
∴△CEA∽△BFA，
∴（0＜x＜2），
（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，
∴，
∴，
∴AB=x+2，
∵∠ABE的正切值是，
∴tan∠ABE=，
∴x=，
∴AB=x+2=．
24. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D．
【详解】试题分析：把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.
作BH⊥AC于点H，求出的长度，即可求出∠ACB的度数.
延长CD交x轴于点G，△DCE∽△AOC，只可能∠=∠DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.
试题解析：（1）由题意，得
解得．
∴这条抛物线的表达式为．
（2）作BH⊥AC于点H，
∵A点坐标是（－1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（，0），
∴AC=，AB=，OC=3，BC=．
∵，即∠BAD=，
∴．
Rt△ BCH中，，BC=，∠BHC=90º，
∴．
又∵∠ACB是锐角，∴．
（3）延长CD交x轴于点G，
∵Rt△ AOC中，AO=1，AC=，
∴．
∵△DCE∽△AOC，∴只可能∠=∠DCE．
∴AG = CG．
∴．
∴AG=5．∴G点坐标是（4，0）．
∵点C坐标是（0，3），∴．
∴ 解得，（舍）.
∴点D坐标是
2022-2023学年湖北省黄冈市中考数学突破提升破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡相应位置上）
1. 一元二次方程x2－3x＝0的解为（ ）
A. x＝0 B. x＝3 C. x1＝x2＝－3 D. x1＝0 ，x2＝3.
2. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC圆心．若∠B=23°，则∠C的度数是（ ）
A. 23° B. 46° C. 44° D. 54°
3. 若一组数据a，b，c，d，e的方差为s2，则一组新数据3a，3b，3c，3d，3e的方差为（ ）
A. s2 B. 3s2 C. 6s2 D. 9s2
4. 若一个底面半径为4cm，母线长为5cm的圆锥，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A. 20πcm2 B. 10πcm2 C. 20 cm2 D. 10 cm2
5. 如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ACD的面积为a，则△ABC的面积为（ ）
A. a B. 2a C. 3a D. 4a
6. 一套书共有上、中、下3册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这3册书从左向右恰好成上、中、下顺序的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 若将抛物线y＝(x－b) 2＋c图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像解析式为y＝(x－4) 2－3，则b、c的值为（ ）
A. b＝2，c＝2 B. b＝2，c＝0 C. b＝－2，c＝－1 D. b＝－3，c＝2
8. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，则DG的长为（ ）
A B. C. D.
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 抛物线的顶点坐标为_________．
10. 已知圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，则这条弧长为______．
11. 已知关于x的方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则实数m的值是______．
12. 某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为______．
13. 如图，△ABC内接于圆O，D为劣弧BC的中点，∠BAC＝50°，则∠DBC是______°．
14. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．
15. 在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，r为半径画圆，若使点B在⊙A内，点C在⊙A外，则半径r的取值范围是______．
16. 如图，将边长为4的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是______．
三、解 答 题（本大题共10题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：y2－2y－15＝0．
18. 我市开展了“寻找雷锋足迹”的，某中学为了解七年级1000名学生在“学雷锋月”中做好事的情况，随机了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）所的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ；
（2）根据样本数据，估计该校七年级1000名学生在“学雷锋月”中做好事大于4次的人数．
19. 已知二次函数y＝－x2＋3x－2图像交x轴于点A、B （点A点B左侧），交y轴于点C.
（1）写出这个二次函数图像开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求△ABC面积S.
20 某同学报名参加校运动会，有以下4个项目可供选择：径赛项目：100m，200m(分别用A1、A2表示)．田赛项目：跳远，跳高(分用B1，B2表示)．
（1）该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ．
（2）该同学从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率 ．
21. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝8，CD＝2.
(1) 求⊙O半径OA的长；
(2) 求EB的长．
22. 某商场一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大，增加盈利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：
（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；
（2）如果商场通过这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？
23. 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．
24. 如图，⊙O的直径AB为2cm，弦BC为1cm，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E，P为AB延长线上一点，连接PC，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
25. 如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x－2）2＋k点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小，若存在，求出△ABM的周长；若没有存在，请说明理由；
（3）若以AB为直径画圆，与抛物线对称轴交于点N，求出点N坐标．
26. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）当矩形EFPQ为正方形时，求正方形的边长；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积？并求出面积；
（3）当矩形EFPQ的面积时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线BC匀速向右运动（当矩形的顶点Q到达C点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
2022-2023学年湖北省黄冈市中考数学突破提升破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡相应位置上）
1. 一元二次方程x2－3x＝0的解为（ ）
A. x＝0 B. x＝3 C. x1＝x2＝－3 D. x1＝0 ，x2＝3.
【正确答案】D
【详解】分析：利用因式分解法解方程即可．
详解：
x=0或x-3=0
所以
故选D.
点睛：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元方程，再解方程可得到一元二次方程的解．
2. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC圆心．若∠B=23°，则∠C的度数是（ ）
A. 23° B. 46° C. 44° D. 54°
【正确答案】C
【详解】分析：根据切线的性质，等腰三角形的性质，即可求得∠C的度数．
详解：∵AC是⊙O的切线，
∴
∵OA=OB，
∴
∴
∴
故选C.
点睛：本题考查切线的性质、等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
3. 若一组数据a，b，c，d，e的方差为s2，则一组新数据3a，3b，3c，3d，3e的方差为（ ）
A. s2 B. 3s2 C. 6s2 D. 9s2
【正确答案】D
【详解】分析：根据题意，数据a，b，c，d，e的平均数设为，则数据3a，3b，3c，3d，3e的平均数为，再根据方差公式进行计算：即可得到答案．
详解：根据题意，数据a，b，c，d，e的平均数设为，
数据3a，3b，3c，3d，3e的平均数为，
根据方差公式： ，
则，
故选D.
点睛：本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
4. 若一个底面半径为4cm，母线长为5cm的圆锥，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A. 20πcm2 B. 10πcm2 C. 20 cm2 D. 10 cm2
【正确答案】A
【详解】分析：把圆锥的底面半径为4，母线长为5，代入圆锥的侧面积公式S=πrl计算即可.
详解：由题意得，
故选A.
点睛：本题考查了圆锥的侧面积计算公式，熟练掌握圆锥的侧面积公式S=πrl是解答本题的关键.
5. 如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ACD的面积为a，则△ABC的面积为（ ）
A. a B. 2a C. 3a D. 4a
【正确答案】D
【详解】分析：首先证明 由相似三角形的性质可得：的面积：的面积为1：4，因为的面积为a，进而求出的面积．
详解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1:4，
∵△ACD的面积为a，
∴△ABC的面积为4a，
故选D.
点睛：考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
6. 一套书共有上、中、下3册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这3册书从左向右恰好成上、中、下顺序的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】列举出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：一套书共有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，共6种排放方法：
上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、中、上；下、上、中
则这三册书从左向右恰好成上、中、下的概率是．
故选D．
考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比．
7. 若将抛物线y＝(x－b) 2＋c图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y＝(x－4) 2－3，则b、c的值为（ ）
A. b＝2，c＝2 B. b＝2，c＝0 C. b＝－2，c＝－1 D. b＝－3，c＝2
【正确答案】B
【详解】分析：逆向思考：把抛物线的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到抛物线.
详解：把抛物线的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位，
得到
即
故选B.
点睛：考查二次函数图象的平移，平移规律是：左加右减，上加下减.
8. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，则DG的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在 中求出BH，然后得出AH，利用的值，可得出GH的值,即可求得DG的长.
详解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，
∴AO=4cm，BO=3cm，
Rt△AOB中,
∵
∴
在Rt△DHB中,
则
∵tan∠HAG
∴
故选C.
点睛：考查菱形的性质, 勾股定理, 解直角三角形，注意等面积法在解题中的应用.
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 抛物线的顶点坐标为_________．
【正确答案】（1，1）
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故（1，1）．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
10. 已知圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，则这条弧长为______．
【正确答案】π
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：因为圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，
则这条弧长为：．
故π．
考查扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
11. 已知关于x的方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则实数m的值是______．
【正确答案】±4
【详解】分析：由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
详解：∵方程有两个相等的实数根，
∴
解得：
故答案为
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个没有相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
12. 某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为______．
【正确答案】（x＋1）2＝2
【详解】分析：首先设工厂产值年平均增长的百分率为x，原产值为a，根据题意可得等量关系：原产值×（1+增长率）2=2a，根据等量关系列出方程即可．
详解：设工厂产值年平均增长的百分率为x，原产值为a，由题意得：
整理得：
故答案为
点睛：考查一元二次方程增长率问题，解题的关键是找出题目中的等量关系.
13. 如图，△ABC内接于圆O，D为劣弧BC的中点，∠BAC＝50°，则∠DBC是______°．
【正确答案】25
【详解】分析：连接OD，OC，OB,由∠BAC的度数，求出，再根据D为劣弧BC的中点，即可求出 ，然后由圆周角定理推出
详解：连接OD，OC，
∵∠BAC＝50°，
∴，
∵D为弧BC的中点，
∴∠BOD=∠COD，
∴，
∴
故答案为:25.
点睛：考查圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键.
14. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．
【正确答案】（，2）或（﹣，2）
【分析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可
【详解】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．
当y=2时， x2-1=2，解得x=±
当y=-2时， x2-1=-2，方程无解
故P点坐标为（）或（-）
此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
15. 在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，r为半径画圆，若使点B在⊙A内，点C在⊙A外，则半径r的取值范围是______．
【正确答案】3＜r＜5
【详解】分析：四边形ABCD是矩形，则△ABC是直角三角形．根据勾股定理得到：AC=5，若使点B在⊙A内，则半径r>3，点C在⊙A外，则半径r<5，所以3
∴AC=5，
∴若使点B在⊙A内，点C在⊙A外，
∴A的半径r的取值范围是：3
16. 如图，将边长为4的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是______．
【正确答案】8
【详解】分析：首先根据勾股定理求出EF的长度；然后证明，列出关于的三边长的比例式，求出三边的长度即可解决问题．
详解：由题意得：EF=DF(设为x)，
则AF=4−x；而AE=2，
由勾股定理得：
解得：
由题意得：
∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEG，
∴∠AFE=∠BEG；
∴△AEF∽△BGE，
∴
∴ ∴△EBG的周长
故答案为8.
点睛：考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
三、解 答 题（本大题共10题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：y2－2y－15＝0．
【正确答案】
【详解】分析：用配方法解方程即可.
详解：，
，
，
∴.
点睛：考查解一元二次方程，常见的方法有直角开方法，配方法，公式法，因式分解法.
18. 我市开展了“寻找雷锋足迹”的，某中学为了解七年级1000名学生在“学雷锋月”中做好事的情况，随机了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）所的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ；
（2）根据样本数据，估计该校七年级1000名学生在“学雷锋月”中做好事大于4次的人数．
【正确答案】(1)4.4,5,5;(2)520
【详解】分析：(1)由条形统计图可得到做好事的次数所对应的人数,那么平均数、众数以及中位数的概念即可解决.
(2)根据条形图可得到50名学生做好事没有少于4次的人数,那么1000名学生做好事没有少于4次的人数即可求得.
详解：（1）平均数；（2×5+3×6+4×13+5×16+6×10）÷50=4.4；
众数：5次； 中位数：5.
（2）做好事大于4次的人数:
估计该校七年级1000名学生在“学雷锋月”中做好事大于4次的人数约为520人．
点睛：此题主要考察了平均数、中位数和众数的概念,同时也需了解条形统计图所反映的量之间的关系.在遇到此类题目时,一定要熟练掌握基础知识,读懂图形信息.
中位数:将一组数据,从小到大重新排列,当n为奇数时,位于中间的数称为中位数;而当n为偶数时,位于中间的两个数的均值称为中位数.众数反映了出现次数至多的数据,用来代表一组数据中的“多数水平”.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它反映数据集中趋势的一项指标.
19. 已知二次函数y＝－x2＋3x－2图像交x轴于点A、B （点A在点B左侧），交y轴于点C.
（1）写出这个二次函数图像开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求△ABC面积S.
【正确答案】(1) 图像开口向下．对称轴为直线x=,顶点坐标为;(2)1
【详解】分析：（1）根据 可知抛物线开口向下，配方成顶点式即可得到对称轴和顶点坐标.
（2）令求出A,B两点的坐标，令 求得点的坐标，即可求得△ABC面积S.
详解：(1)
图象开口向下;
对称轴为直线x=,顶点坐标为.
（2）对于
当y=0时，
解得
∴点A（1,0），点B（2,0），
又∵点C坐标为
∴S=×1×2=1
点睛：考查二次函数的图象与性质，熟练掌握配方法是解题的关键.
20. 某同学报名参加校运动会，有以下4个项目可供选择：径赛项目：100m，200m(分别用A1、A2表示)．田赛项目：跳远，跳高(分用B1，B2表示)．
（1）该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ．
（2）该同学从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率 ．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好为一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为8，
所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率P．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合结果数，然后利用概率公式计算即可．
21. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝8，CD＝2.
(1) 求⊙O半径OA的长；
(2) 求EB的长．
【正确答案】(1)5;(2)6
【详解】分析：（1）⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，根据垂径定理得到AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r-2，在Rt△AOC中，根据勾股定理即可求出求⊙O半径OA的长；
（2）AE是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，在Rt△ABE中，用勾股定理即可求得EB的长．
详解：（1）∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r-2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r-2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，
∴⊙O半径OA长为5.
（2）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴.
点睛：属于圆的综合题，考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
22. 某商场一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大，增加盈利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：
（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；
（2）如果商场通过这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？
【正确答案】（1）（40-x），（20+2x）；(2)20
【详解】分析：商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（40-降低的价格）×（20+增加的件数），把相关数值代入即可求解．
详解：（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件，
∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，
∴现在每件的利润为(40−x)元，每天可以售出件.
故答案为(40−x)，.
(2)由题意，得(40-x)(20+2x)=1200，
解得：x1=10 ，x2=20 ,
为了扩大量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20.
答：如果商场通过这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了20元
点睛：考查一元二次方程应用，熟记每天盈利=每件的利润×卖出的件数是解题的关键.
23. 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．
【正确答案】10
【详解】设旗杆的高度为x米，根据相似的性质可得：1:1.2=（x-2）：9.6，则x=10，则旗杆的高度为10米．
考点：相似的应用．
24. 如图，⊙O的直径AB为2cm，弦BC为1cm，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E，P为AB延长线上一点，连接PC，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【正确答案】(1)AC= cm,AD=;(2) 直线PC与⊙O相切，理由见解析
【详解】分析：（1）连接BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=∠ADB=90°，则可利用勾股定理计算出 由CD平分∠ACB得 根据圆周角定理得 则为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出的长；
（2）连接OC，由PC=PE，得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC=∠CAE+∠ACE，根据CD平分∠ACB，得到∠ACE=∠ECB，∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，于是根据切线的判定定理可得PC为的切线．
详解：（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在中，
AC=== cm，
②∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
（2）直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠=∠OCA，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
点睛：本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
25. 如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x－2）2＋k点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小，若存在，求出△ABM的周长；若没有存在，请说明理由；
（3）若以AB为直径画圆，与抛物线的对称轴交于点N，求出点N坐标．
【正确答案】（1）a，k的值分别为1，﹣1；（2），理由见解析；（3）点N的坐标为（2，2）或（2，1）
【详解】分析：（1）由条件可先求得A、B坐标，代入抛物线解析式可求得a、k的值；
（2）由A、C关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点M，则M即为所求，由B、C可求得直线BC的解析式，可求得M点的坐标，容易求得其周长；
（3）可设N点坐标为（2，n），可分别表示出AB、AN、BN的长，由勾股定理可得到关于n的方程，可求得N点坐标．
详解：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线抛物线y=a（x﹣2）2+k点A（1，0），B（0，3），
∴
解得
故a，k的值分别为1，﹣1；
（2）如图1，存在这样的点M.连接BC与对称轴x=2的交点即为M点，这时△ABM的周长最小.
由抛物线对称性可得，点C坐标为（3，0），
△ABM的周长＝AB+AM+BM
＝AB+BC
＝；
（3）如图2，由题意，可设N点的坐标为（2，n），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．
∵AB为所作圆的直径，N为所作圆与直线x=2的交点，
∴∠A=90°.
在Rt△ANF中，AN2=AF2+NF2=1+n2，
在Rt△BNE中，BN2=BE2+EN2=4+（3﹣n）2，
由勾股定理，得到方程1+n2+4+（3﹣n）2=12+32，
化简，得n2﹣3n +2=0，
解得 n1=2，n2=1，
∴点N的坐标为（2，2）或（2，1）．
点睛：属于二次函数的综合题，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形思想的应用．
26. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）当矩形EFPQ为正方形时，求正方形的边长；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积？并求出面积；
（3）当矩形EFPQ的面积时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线BC匀速向右运动（当矩形的顶点Q到达C点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
【正确答案】（1）当矩形EFPQ为正方形时，边长为 ；（2）当x=时，矩形EFPQ的面积，面积为5；（3）当0≤t≤时，S =5-2t2；当＜t＜2.5时，S＝-2t；当2.5≤t≤3时，S＝2t2-12t+18
【详解】分析：（1）由条件可得，即，计算即可.
（2）可利用用x表示出EH．表示出矩形EFPQ的面积，利用二次函数可求得其值；
（3）分0≤t≤，，2.5≤t≤3三种情况进行讨论即可.
详解：(1)∵四边形EFPQ为矩形，
∴EF∥BC，
，
即，
解得
∴当矩形EFPQ为正方形时，边长为.
即当x为时，矩形EFPQ为正方形；
（2）∵∠B=45°，
∴，
∴
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABD，∴，
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，
∴，即，∴，
已知EF=x，则EH=．
∵∠B=45°，
∴=4﹣．
S矩形EFPQ
∴当x=时，矩形EFPQ的面积，面积为5．
（3）如图①，当0≤t≤时
设EF交AC于M点，FP交AC于N点，
∵△MNF∽△CAD，
∴，
即，
∴FN=4t ，
∴S=5-t·4t，
=5-2t2
如图②，当时
设EF交AC于M点，过C作CN⊥EF于N点，
∵△CNM∽△ADC
∴，
即，
∴MN=，
∴FN=t-，
∴S=5-（t-+t），
=-2t ，
如图③，当2.5≤t≤3时
设EQ交AC于N点，
∵△CQN∽△CDA
∴，
即，
∴NQ=12-4t，
∴S=(3-t)(12-4t)
=2t2-12t+18
点睛：本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质以及二次函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意分类讨论思想的应用．
2022-2023学年湖北省黄冈市中考数学突破提升破仿真模拟卷
（一模）
一．选一选（共8小题，满分21分）
1. 下列各数中最小的是（ ）
A. 0 B. 1 C. ﹣ D. ﹣π
2. 我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧没有紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．若每天用水时间按2小时计算，那么中的另外22小时水龙头都在没有断的滴水．请计算，一个拧没有紧的水龙头，一个月（按30天计算）浪费水（ ）
A. 23760毫升 B. 2.376×105毫升
C. 23.8×104毫升 D. 237.6×103毫升
3. 如右图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）
A B.
C. D.
4. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
5. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A B. C. D.
6. 等腰直角三角尺与直尺按如图位置摆放，且三角尺的直角顶点在直尺的一边上. 若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
7. 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=75°，那么∠BAD的度数是（ ）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 105°
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1上一点A关于x轴的对称点为B（2，m），则m的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9. 计算：（+）﹣的结果是_____．
10. 已知关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是_____．
11. 如图，平行四边形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD边的中点，连接OE，如果AB=4，OE=3，则平行四边形ABCD的周长为_____．
12. 已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，图象上两点A、E分别引y轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为_____．
13. 如图，BC是⊙O直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD：DB=2：3，AC=10，则si=_____．
14. 若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个解是x=﹣2，则抛物线y=x2+mx+n﹣5一定过一个定点，它的坐标是_____．
三．解 答 题（共10小题，满分78分）
15. 先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1），其中，a=﹣1．
16. 为了做好防控H1N1甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位和A、B两名护士中选取一位和一名护士指导某乡镇预防H1N1甲型流感工作．
（1）若随机选一位和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
（2）求恰好选中甲和护士A的概率．
17. 甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？
18. 已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD＝∠ODA，请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论．
（1）写出一个真命题，并证明
（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明
19. 典典同学学完统计知识后，随机了她家所在辖区若干名居民年龄，将数据绘制成如下扇形和条形统计图：
请根据以上没有完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中a= ，b= ；并补全条形统计图；
（2）若该辖区共有居民3500人，请估计年龄在0～14岁的居民的人数．
（3），典典知道了辖区内60岁以上的部分老人参加了市级门球比赛，比赛的老人们分成甲、乙两组，典典很想知道甲乙两组的比赛结果，王大爷告诉说，甲组与乙组的得分和为110，甲组得分没有低于乙组得分的1.5倍，甲组得分至少为多少？
20. 如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能通过这一海域？
21. A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系．
（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B的速度是多少？
（3）求L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？
22. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
23. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（没有与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长．
24. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
2022-2023学年湖北省黄冈市中考数学突破提升破仿真模拟卷
（一模）
一．选一选（共8小题，满分21分）
1. 下列各数中最小的是（ ）
A. 0 B. 1 C. ﹣ D. ﹣π
【正确答案】D
【分析】根据任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数值大的反而小即可判断．
【详解】﹣π＜﹣＜0＜1．
则最小的数是﹣π．
故选：D．
本题考查了实数大小的比较，理解任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数值大的反而小是关键．
2. 我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧没有紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．若每天用水时间按2小时计算，那么中的另外22小时水龙头都在没有断的滴水．请计算，一个拧没有紧的水龙头，一个月（按30天计算）浪费水（ ）
A. 23760毫升 B. 2.376×105毫升
C. 23.8×104毫升 D. 237.6×103毫升
【正确答案】B
【详解】好样的：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于10时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
详解：2×0.05×（22×60×60）×30=0.1×79200×30=2.376×105毫升．
故选B．
点睛：用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1，当原数的值＜1时，n为负整数，n的值等于原数中左起个非零数前零的个数（含整数位数上零）．
3. 如右图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有从正面看到的棱都应表现在主视图中.
【详解】解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.
故选B．
本题考查了三视图知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.
4. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数没有变指数相加；幂的乘方，底数没有变指数相乘；同底数相除，底数没有变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与没有是同类项，没有能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，没有是同类项的一定没有能合并．
5. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，选出符合条件的选项即可．
详解：
由①得，x≤2，
由②得，x>-1，
故此没有等式组的解集为：-1
故选A．
点睛：本题考查的是在数轴上表示一元一此没有等式组的解集，把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6. 等腰直角三角尺与直尺按如图位置摆放，且三角尺的直角顶点在直尺的一边上. 若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
【正确答案】B
【详解】解：如图．∵∠1=35°，∴∠3=90°－35°=55°．∵AB∥CD，∴∠4=∠3=55°，∠2=∠4+∠5=55°+45°=100°．故选B．
7. 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD一个外角，如果∠DCE=75°，那么∠BAD的度数是（ ）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 105°
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵四边形ABCD内接于
∴
故选B．
点睛：圆内接四边形的对角互补.
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1上一点A关于x轴的对称点为B（2，m），则m的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据关于x轴的对称点的坐标特点可得A（2，﹣m），然后再把A点坐标代入y=﹣x+1可得m的值．
解：∵点B（2，m），
∴点B关于x轴的对称点A（2，﹣m），
∵A在直线y=﹣x+1上，
∴﹣m=﹣2+1=﹣1，
m=1．
故选B．
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9. 计算：（+）﹣的结果是_____．
【正确答案】
【分析】先去括号，然后再合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：原式=+﹣=
故
本题考查合并同类二次根式实际是把同类二次根式系数相加，而根指数与被开方数都没有变．
10. 已知关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是_____．
【正确答案】m＞﹣1
【详解】分析：根据一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac，建立关于m的没有等式，求出m的取值范围即可．
详解：把方程x2﹣m=2x整理得：x2-2x-m=0
∴a=1，b=-2，c=-m，
∵方程有两个没有相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4+4m＞0，
∴m＞-1．
故答案为m＞-1．
点睛：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个没有相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
11. 如图，平行四边形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD边的中点，连接OE，如果AB=4，OE=3，则平行四边形ABCD的周长为_____．
【正确答案】20
【详解】分析：平行四边形中对角线互相平分，则点O是BD的中点，而E是CD边中点，根据三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半可得AD=6，进一步即可求得▱ABCD的周长．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
又∵点E是CD边中点
∴AD=2OE，即AD=6，
∴▱ABCD的周长为（6+4）×2=20．
故答案为20．
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，三角形中位线性质应用比较广泛；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
12. 已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，图象上两点A、E分别引y轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为_____．
【正确答案】17．
【详解】解：连结AD，过D点作DG∥CM
∵，△AOC的面积是15，
∴CD：CO=1:3，OG:OM=2:3，
∴△ACD的面积是5，△ODF的面积是15×=，
∴四边形AMGF的面积=，
∴△BOE的面积=△AOM的面积=×=12，
∴△ADC与△BOE的面积和为5+12=17，
故答案为:17
13. 如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD：DB=2：3，AC=10，则si=_____．
【正确答案】
【详解】分析：连接CD，根据圆周角定理可知CD⊥AB；在Rt△ABC中，CD⊥AB，可用未知数设出AD、BD的长，进而由射影定理求得AD的值；易知∠ACD=∠B，在Rt△ACD中，可根据AD、AC的长，求出∠ACD的正弦值，由此得解．
详解：连接CD，则CD⊥AB；
∵AC切⊙O于C，
∴AC⊥BC；
在Rt△ACB中，CD⊥AB，则有：
AC2=AD•AB；
设AD=2k，BD=3k，则AB=5k；
∴102=2k•5k，解得k=，
∴AD=2k=2，
∴si=sin∠ACD=．
故答案为 .
【点评】此题中主要考查了切线的性质以及圆周角定理的应用．
14. 若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个解是x=﹣2，则抛物线y=x2+mx+n﹣5一定过一个定点，它的坐标是_____．
【正确答案】（﹣2，﹣5）
【详解】分析：由二次函数与一元二次方程的关系得出抛物线y=x2+mx+n与x轴的有一个交点坐标为（-2，0），由平移的性质得出抛物线y=x2+mx+n-5一定过一个定点（-2，-5）即可．
详解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个解是x=-2，
∴抛物线y=x2+mx+n与x轴的有一个交点坐标为（-2，0），
∵抛物线y=x2+mx+n向下平移5个单位得到抛物线y=x2+mx+n-5，
∴抛物线y=x2+mx+n-5一定过一个定点（-2，-5）；
故答案为（-2，-5）．
点睛：本题考查了二次函数图象与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系、平移的性质等知识；熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．
三．解 答 题（共10小题，满分78分）
15. 先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1），其中，a=﹣1．
【正确答案】2a+2，
【详解】试题分析：先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项，代入求出即可．
试题解析：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1）
=a2+2a+1﹣a2+1
=2a+2，
当a=﹣1时，原式=2×（﹣1）+2=2．
考点：整式的混合运算—化简求值
16. 为了做好防控H1N1甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位和A、B两名护士中选取一位和一名护士指导某乡镇预防H1N1甲型流感工作．
（1）若随机选一位和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
（2）求恰好选中甲和护士A的概率．
【正确答案】（1）树状图见解析（2）
【分析】（1）根据题意画出树状图；
（2）由树状图列举出等可能的情况数是3，护士可能的情况数是2的所有情况，看恰好选中甲和护士A的情况数占所有情况数的多少即可．
【详解】解：（1）用列表法表示所有可能结果如下：
（2）P（恰好选中甲和护士A）
∴恰好选中甲和护士A的概率是
本题考查用列树状图的方法解决概率问题；得到恰好选中甲和护士A的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
17. 甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？
【正确答案】甲、乙两公司人均捐款分别为80元、100元．
【详解】试题分析：本题考察的是分式的应用题，设甲公司人均捐款x元，根据题意列出方程即可.
试题解析：
设甲公司人均捐款x元
解得：
经检验，为原方程的根， 80+20=100
答：甲、乙两公司人均各捐款为80元、100元．
18. 已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD＝∠ODA，请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论．
（1）写出一个真命题，并证明
（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明
【正确答案】（1）若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD∥BC，则四边形ABCD是菱形；证明见解析；（2）详见解析
【详解】（1）如：若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD∥BC，则四边形ABCD是菱形．
证明：如图，设AC与BD交于上点O．
∵AC平分BD
∴BO=DO
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO
在△AOD和△COB中，
∵∠ADO=∠CBO，BO="DO"，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA）
∴AO=CO
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形；
（2）如：若AC平分BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形．
反例：如图，四边形ABCD为矩形．
（1）题中条件，从对角线上考虑：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD，只要再说明AO与CO相等就可以了，利用③AD∥BC证明三角形全等就可以得到；
（2）利用条件说明是矩形，所以是菱形是假命题．
19. 典典同学学完统计知识后，随机了她家所在辖区若干名居民的年龄，将数据绘制成如下扇形和条形统计图：
请根据以上没有完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中a= ，b= ；并补全条形统计图；
（2）若该辖区共有居民3500人，请估计年龄在0～14岁的居民的人数．
（3），典典知道了辖区内60岁以上的部分老人参加了市级门球比赛，比赛的老人们分成甲、乙两组，典典很想知道甲乙两组的比赛结果，王大爷告诉说，甲组与乙组的得分和为110，甲组得分没有低于乙组得分的1.5倍，甲组得分至少为多少？
【正确答案】（1）20%，12%；（2）700人；（3）甲组至少得66分．
【详解】试题分析：（1）根据“15～40”的百分比和频数可求总数，进而求出b和a的值．利用总数和百分比求出频数再补全条形图；
（2）用样本估计总体即可；
（3）首先设甲组得x分，则乙组得（110﹣x）分，由题意得没有等关系：甲组得x分≥乙组得x分×1.5，根据没有等关系列出没有等式，解没有等式即可．
试题解析：解：（1）总人数：230÷46%=500（人），100÷500×=20%，60÷500×=12%；
500×22%=110（人），如图所示：
（2）3500×20%=700（人）；
（3）设甲组得x分，则乙组得（110﹣x）分，由题意得：
x≥1.5（110﹣x），解得：x≥66．
答：甲组至少得66分．
20. 如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能通过这一海域？
【正确答案】轮船自A处开始至少沿南偏东75°度方向航行，才能通过这一海域．
【详解】试题分析: 过P作PB⊥AM于B,则PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离,求出PC长和16比较即可,第二问设出航行方向,利用角的三角函数值确定答案.
试题解析:过P作PB⊥AM于B,
Rt△APB中,∵∠PAB=30°,
∴PB=AP=×32=16海里,
∵16＜16故轮船有触礁危险,
为了,应该变航行方向,并且保证点P到航线的距离没有小于暗礁的半径16海里,即这个距离至少为16海里,
设航向为AC,作PD⊥AC于点D,
由题意得,AP=32海里,PD=16海里,
∵sin∠PAC=,
∴在Rt△PAD中,∠PAC=45°,
∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=45°-30°=15°,
答:轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行,才能通过这一海域.
21. A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系．
（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B的速度是多少？
（3）求L1，L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？
【正确答案】（1）L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）汽车B的速度是1.5千米/分；（3）s1=﹣1.5t+330，s2=t；（4）2小时后，两车相距30千米；（5）行驶132分钟，A、B两车相遇．
【详解】试题分析：（1）直接根据函数图象的走向和题意可知L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）由L1上60分钟处点的坐标可知路程和时间，从而求得速度；
（3）先分别设出函数，利用函数图象上的已知点，使用待定系数法可求得函数解析式；
（4）（3）中函数图象求得时s的值，做差即可求解；
（5）求出函数图象的交点坐标即可求解．
试题解析：（1）函数图形可知汽车B是由乙地开往甲地，故L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）（330﹣240）÷60=1.5（千米/分）；
（3）设L1为 把点（0，330），（60，240）代入得
所以
设L2为 把点（60，60）代入得
所以
（4）当时，
330﹣150﹣120=60（千米）；
所以2小时后，两车相距60千米；
（5）当时，
解得
即行驶132分钟，A、B两车相遇．
22. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
【正确答案】（1）；（2）；（3）A、①；② ；B、①或；②或．
【详解】试题分析：（1）根据相似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB=5，根据相似比等于可求得答案；（3）A.①由矩形ABEF∽矩形FECD，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b和a，列出比例式整理即可；B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=b，然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解.
解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH=AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： ==；
故答案为；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似相似比为： =，
故答案为；
（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即a：b=b：a，
∴a=b；
故答案为
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b： a=a：b，
∴a=b；
故答案为
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a=a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣=，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为或；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为 b或b．
点睛：本题考查了信息迁移，矩形的性质，相似多边形的性质及分类讨论的数学思想，读懂题意，熟练掌握相似比多边形的性质，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.
23. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（没有与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长．
【正确答案】（1）CF=；（2）y=（0＜x＜2）；（3）AB=2.5.
【详解】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得△CEF∽△CAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；
（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由∠ABE的正切值求解.
试题解析：（1）∵AD=CD．
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠CEB=45°，
∴∠DAC=∠CEB，
∵∠ECA=∠ECA，
∴△CEF∽△CAE，
∴，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE= ，
∵CA=，
∴，
∴CF=；
（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，
∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，
∴∠ECA=∠ABF，
∵∠CAE=∠ABF=45°，
∴△CEA∽△BFA，
∴（0＜x＜2），
（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，
∴，
∴，
∴AB=x+2，
∵∠ABE的正切值是，
∴tan∠ABE=，
∴x=，
∴AB=x+2=．
24. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D．
【详解】试题分析：把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.
作BH⊥AC于点H，求出的长度，即可求出∠ACB的度数.
延长CD交x轴于点G，△DCE∽△AOC，只可能∠=∠DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.
试题解析：（1）由题意，得
解得．
∴这条抛物线的表达式为．
（2）作BH⊥AC于点H，
∵A点坐标是（－1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（，0），
∴AC=，AB=，OC=3，BC=．
∵，即∠BAD=，
∴．
Rt△ BCH中，，BC=，∠BHC=90º，
∴．
又∵∠ACB是锐角，∴．
（3）延长CD交x轴于点G，
∵Rt△ AOC中，AO=1，AC=，
∴．
∵△DCE∽△AOC，∴只可能∠=∠DCE．
∴AG = CG．
∴．
∴AG=5．∴G点坐标是（4，0）．
∵点C坐标是（0，3），∴．
∴ 解得，（舍）.
∴点D坐标是
2022-2023学年湖北省黄冈市中考数学突破提升破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡相应位置上）
1. 一元二次方程x2－3x＝0的解为（ ）
A. x＝0 B. x＝3 C. x1＝x2＝－3 D. x1＝0 ，x2＝3.
2. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC圆心．若∠B=23°，则∠C的度数是（ ）
A. 23° B. 46° C. 44° D. 54°
3. 若一组数据a，b，c，d，e的方差为s2，则一组新数据3a，3b，3c，3d，3e的方差为（ ）
A. s2 B. 3s2 C. 6s2 D. 9s2
4. 若一个底面半径为4cm，母线长为5cm的圆锥，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A. 20πcm2 B. 10πcm2 C. 20 cm2 D. 10 cm2
5. 如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ACD的面积为a，则△ABC的面积为（ ）
A. a B. 2a C. 3a D. 4a
6. 一套书共有上、中、下3册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这3册书从左向右恰好成上、中、下顺序的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 若将抛物线y＝(x－b) 2＋c图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像解析式为y＝(x－4) 2－3，则b、c的值为（ ）
A. b＝2，c＝2 B. b＝2，c＝0 C. b＝－2，c＝－1 D. b＝－3，c＝2
8. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，则DG的长为（ ）
A B. C. D.
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 抛物线的顶点坐标为_________．
10. 已知圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，则这条弧长为______．
11. 已知关于x的方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则实数m的值是______．
12. 某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为______．
13. 如图，△ABC内接于圆O，D为劣弧BC的中点，∠BAC＝50°，则∠DBC是______°．
14. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．
15. 在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，r为半径画圆，若使点B在⊙A内，点C在⊙A外，则半径r的取值范围是______．
16. 如图，将边长为4的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是______．
三、解 答 题（本大题共10题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：y2－2y－15＝0．
18. 我市开展了“寻找雷锋足迹”的，某中学为了解七年级1000名学生在“学雷锋月”中做好事的情况，随机了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）所的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ；
（2）根据样本数据，估计该校七年级1000名学生在“学雷锋月”中做好事大于4次的人数．
19. 已知二次函数y＝－x2＋3x－2图像交x轴于点A、B （点A点B左侧），交y轴于点C.
（1）写出这个二次函数图像开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求△ABC面积S.
20 某同学报名参加校运动会，有以下4个项目可供选择：径赛项目：100m，200m(分别用A1、A2表示)．田赛项目：跳远，跳高(分用B1，B2表示)．
（1）该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ．
（2）该同学从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率 ．
21. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝8，CD＝2.
(1) 求⊙O半径OA的长；
(2) 求EB的长．
22. 某商场一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大，增加盈利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：
（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；
（2）如果商场通过这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？
23. 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．
24. 如图，⊙O的直径AB为2cm，弦BC为1cm，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E，P为AB延长线上一点，连接PC，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
25. 如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x－2）2＋k点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小，若存在，求出△ABM的周长；若没有存在，请说明理由；
（3）若以AB为直径画圆，与抛物线对称轴交于点N，求出点N坐标．
26. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）当矩形EFPQ为正方形时，求正方形的边长；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积？并求出面积；
（3）当矩形EFPQ的面积时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线BC匀速向右运动（当矩形的顶点Q到达C点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
2022-2023学年湖北省黄冈市中考数学突破提升破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡相应位置上）
1. 一元二次方程x2－3x＝0的解为（ ）
A. x＝0 B. x＝3 C. x1＝x2＝－3 D. x1＝0 ，x2＝3.
【正确答案】D
【详解】分析：利用因式分解法解方程即可．
详解：
x=0或x-3=0
所以
故选D.
点睛：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元方程，再解方程可得到一元二次方程的解．
2. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC圆心．若∠B=23°，则∠C的度数是（ ）
A. 23° B. 46° C. 44° D. 54°
【正确答案】C
【详解】分析：根据切线的性质，等腰三角形的性质，即可求得∠C的度数．
详解：∵AC是⊙O的切线，
∴
∵OA=OB，
∴
∴
∴
故选C.
点睛：本题考查切线的性质、等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
3. 若一组数据a，b，c，d，e的方差为s2，则一组新数据3a，3b，3c，3d，3e的方差为（ ）
A. s2 B. 3s2 C. 6s2 D. 9s2
【正确答案】D
【详解】分析：根据题意，数据a，b，c，d，e的平均数设为，则数据3a，3b，3c，3d，3e的平均数为，再根据方差公式进行计算：即可得到答案．
详解：根据题意，数据a，b，c，d，e的平均数设为，
数据3a，3b，3c，3d，3e的平均数为，
根据方差公式： ，
则，
故选D.
点睛：本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
4. 若一个底面半径为4cm，母线长为5cm的圆锥，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A. 20πcm2 B. 10πcm2 C. 20 cm2 D. 10 cm2
【正确答案】A
【详解】分析：把圆锥的底面半径为4，母线长为5，代入圆锥的侧面积公式S=πrl计算即可.
详解：由题意得，
故选A.
点睛：本题考查了圆锥的侧面积计算公式，熟练掌握圆锥的侧面积公式S=πrl是解答本题的关键.
5. 如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ACD的面积为a，则△ABC的面积为（ ）
A. a B. 2a C. 3a D. 4a
【正确答案】D
【详解】分析：首先证明 由相似三角形的性质可得：的面积：的面积为1：4，因为的面积为a，进而求出的面积．
详解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1:4，
∵△ACD的面积为a，
∴△ABC的面积为4a，
故选D.
点睛：考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
6. 一套书共有上、中、下3册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这3册书从左向右恰好成上、中、下顺序的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】列举出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：一套书共有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，共6种排放方法：
上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、中、上；下、上、中
则这三册书从左向右恰好成上、中、下的概率是．
故选D．
考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比．
7. 若将抛物线y＝(x－b) 2＋c图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y＝(x－4) 2－3，则b、c的值为（ ）
A. b＝2，c＝2 B. b＝2，c＝0 C. b＝－2，c＝－1 D. b＝－3，c＝2
【正确答案】B
【详解】分析：逆向思考：把抛物线的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到抛物线.
详解：把抛物线的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位，
得到
即
故选B.
点睛：考查二次函数图象的平移，平移规律是：左加右减，上加下减.
8. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，则DG的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在 中求出BH，然后得出AH，利用的值，可得出GH的值,即可求得DG的长.
详解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，
∴AO=4cm，BO=3cm，
Rt△AOB中,
∵
∴
在Rt△DHB中,
则
∵tan∠HAG
∴
故选C.
点睛：考查菱形的性质, 勾股定理, 解直角三角形，注意等面积法在解题中的应用.
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 抛物线的顶点坐标为_________．
【正确答案】（1，1）
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故（1，1）．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
10. 已知圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，则这条弧长为______．
【正确答案】π
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：因为圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，
则这条弧长为：．
故π．
考查扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
11. 已知关于x的方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则实数m的值是______．
【正确答案】±4
【详解】分析：由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
详解：∵方程有两个相等的实数根，
∴
解得：
故答案为
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个没有相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
12. 某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为______．
【正确答案】（x＋1）2＝2
【详解】分析：首先设工厂产值年平均增长的百分率为x，原产值为a，根据题意可得等量关系：原产值×（1+增长率）2=2a，根据等量关系列出方程即可．
详解：设工厂产值年平均增长的百分率为x，原产值为a，由题意得：
整理得：
故答案为
点睛：考查一元二次方程增长率问题，解题的关键是找出题目中的等量关系.
13. 如图，△ABC内接于圆O，D为劣弧BC的中点，∠BAC＝50°，则∠DBC是______°．
【正确答案】25
【详解】分析：连接OD，OC，OB,由∠BAC的度数，求出，再根据D为劣弧BC的中点，即可求出 ，然后由圆周角定理推出
详解：连接OD，OC，
∵∠BAC＝50°，
∴，
∵D为弧BC的中点，
∴∠BOD=∠COD，
∴，
∴
故答案为:25.
点睛：考查圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键.
14. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．
【正确答案】（，2）或（﹣，2）
【分析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可
【详解】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．
当y=2时， x2-1=2，解得x=±
当y=-2时， x2-1=-2，方程无解
故P点坐标为（）或（-）
此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
15. 在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，r为半径画圆，若使点B在⊙A内，点C在⊙A外，则半径r的取值范围是______．
【正确答案】3＜r＜5
【详解】分析：四边形ABCD是矩形，则△ABC是直角三角形．根据勾股定理得到：AC=5，若使点B在⊙A内，则半径r>3，点C在⊙A外，则半径r<5，所以3
∴AC=5，
∴若使点B在⊙A内，点C在⊙A外，
∴A的半径r的取值范围是：3
16. 如图，将边长为4的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是______．
【正确答案】8
【详解】分析：首先根据勾股定理求出EF的长度；然后证明，列出关于的三边长的比例式，求出三边的长度即可解决问题．
详解：由题意得：EF=DF(设为x)，
则AF=4−x；而AE=2，
由勾股定理得：
解得：
由题意得：
∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEG，
∴∠AFE=∠BEG；
∴△AEF∽△BGE，
∴
∴ ∴△EBG的周长
故答案为8.
点睛：考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
三、解 答 题（本大题共10题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：y2－2y－15＝0．
【正确答案】
【详解】分析：用配方法解方程即可.
详解：，
，
，
∴.
点睛：考查解一元二次方程，常见的方法有直角开方法，配方法，公式法，因式分解法.
18. 我市开展了“寻找雷锋足迹”的，某中学为了解七年级1000名学生在“学雷锋月”中做好事的情况，随机了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）所的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ；
（2）根据样本数据，估计该校七年级1000名学生在“学雷锋月”中做好事大于4次的人数．
【正确答案】(1)4.4,5,5;(2)520
【详解】分析：(1)由条形统计图可得到做好事的次数所对应的人数,那么平均数、众数以及中位数的概念即可解决.
(2)根据条形图可得到50名学生做好事没有少于4次的人数,那么1000名学生做好事没有少于4次的人数即可求得.
详解：（1）平均数；（2×5+3×6+4×13+5×16+6×10）÷50=4.4；
众数：5次； 中位数：5.
（2）做好事大于4次的人数:
估计该校七年级1000名学生在“学雷锋月”中做好事大于4次的人数约为520人．
点睛：此题主要考察了平均数、中位数和众数的概念,同时也需了解条形统计图所反映的量之间的关系.在遇到此类题目时,一定要熟练掌握基础知识,读懂图形信息.
中位数:将一组数据,从小到大重新排列,当n为奇数时,位于中间的数称为中位数;而当n为偶数时,位于中间的两个数的均值称为中位数.众数反映了出现次数至多的数据,用来代表一组数据中的“多数水平”.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它反映数据集中趋势的一项指标.
19. 已知二次函数y＝－x2＋3x－2图像交x轴于点A、B （点A在点B左侧），交y轴于点C.
（1）写出这个二次函数图像开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求△ABC面积S.
【正确答案】(1) 图像开口向下．对称轴为直线x=,顶点坐标为;(2)1
【详解】分析：（1）根据 可知抛物线开口向下，配方成顶点式即可得到对称轴和顶点坐标.
（2）令求出A,B两点的坐标，令 求得点的坐标，即可求得△ABC面积S.
详解：(1)
图象开口向下;
对称轴为直线x=,顶点坐标为.
（2）对于
当y=0时，
解得
∴点A（1,0），点B（2,0），
又∵点C坐标为
∴S=×1×2=1
点睛：考查二次函数的图象与性质，熟练掌握配方法是解题的关键.
20. 某同学报名参加校运动会，有以下4个项目可供选择：径赛项目：100m，200m(分别用A1、A2表示)．田赛项目：跳远，跳高(分用B1，B2表示)．
（1）该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ．
（2）该同学从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率 ．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好为一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为8，
所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率P．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合结果数，然后利用概率公式计算即可．
21. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝8，CD＝2.
(1) 求⊙O半径OA的长；
(2) 求EB的长．
【正确答案】(1)5;(2)6
【详解】分析：（1）⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，根据垂径定理得到AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r-2，在Rt△AOC中，根据勾股定理即可求出求⊙O半径OA的长；
（2）AE是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，在Rt△ABE中，用勾股定理即可求得EB的长．
详解：（1）∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r-2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r-2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，
∴⊙O半径OA长为5.
（2）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴.
点睛：属于圆的综合题，考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
22. 某商场一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大，增加盈利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：
（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；
（2）如果商场通过这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？
【正确答案】（1）（40-x），（20+2x）；(2)20
【详解】分析：商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（40-降低的价格）×（20+增加的件数），把相关数值代入即可求解．
详解：（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件，
∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，
∴现在每件的利润为(40−x)元，每天可以售出件.
故答案为(40−x)，.
(2)由题意，得(40-x)(20+2x)=1200，
解得：x1=10 ，x2=20 ,
为了扩大量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20.
答：如果商场通过这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了20元
点睛：考查一元二次方程应用，熟记每天盈利=每件的利润×卖出的件数是解题的关键.
23. 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．
【正确答案】10
【详解】设旗杆的高度为x米，根据相似的性质可得：1:1.2=（x-2）：9.6，则x=10，则旗杆的高度为10米．
考点：相似的应用．
24. 如图，⊙O的直径AB为2cm，弦BC为1cm，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E，P为AB延长线上一点，连接PC，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【正确答案】(1)AC= cm,AD=;(2) 直线PC与⊙O相切，理由见解析
【详解】分析：（1）连接BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=∠ADB=90°，则可利用勾股定理计算出 由CD平分∠ACB得 根据圆周角定理得 则为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出的长；
（2）连接OC，由PC=PE，得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC=∠CAE+∠ACE，根据CD平分∠ACB，得到∠ACE=∠ECB，∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，于是根据切线的判定定理可得PC为的切线．
详解：（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在中，
AC=== cm，
②∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
（2）直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠=∠OCA，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
点睛：本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
25. 如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x－2）2＋k点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小，若存在，求出△ABM的周长；若没有存在，请说明理由；
（3）若以AB为直径画圆，与抛物线的对称轴交于点N，求出点N坐标．
【正确答案】（1）a，k的值分别为1，﹣1；（2），理由见解析；（3）点N的坐标为（2，2）或（2，1）
【详解】分析：（1）由条件可先求得A、B坐标，代入抛物线解析式可求得a、k的值；
（2）由A、C关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点M，则M即为所求，由B、C可求得直线BC的解析式，可求得M点的坐标，容易求得其周长；
（3）可设N点坐标为（2，n），可分别表示出AB、AN、BN的长，由勾股定理可得到关于n的方程，可求得N点坐标．
详解：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线抛物线y=a（x﹣2）2+k点A（1，0），B（0，3），
∴
解得
故a，k的值分别为1，﹣1；
（2）如图1，存在这样的点M.连接BC与对称轴x=2的交点即为M点，这时△ABM的周长最小.
由抛物线对称性可得，点C坐标为（3，0），
△ABM的周长＝AB+AM+BM
＝AB+BC
＝；
（3）如图2，由题意，可设N点的坐标为（2，n），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．
∵AB为所作圆的直径，N为所作圆与直线x=2的交点，
∴∠A=90°.
在Rt△ANF中，AN2=AF2+NF2=1+n2，
在Rt△BNE中，BN2=BE2+EN2=4+（3﹣n）2，
由勾股定理，得到方程1+n2+4+（3﹣n）2=12+32，
化简，得n2﹣3n +2=0，
解得 n1=2，n2=1，
∴点N的坐标为（2，2）或（2，1）．
点睛：属于二次函数的综合题，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形思想的应用．
26. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）当矩形EFPQ为正方形时，求正方形的边长；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积？并求出面积；
（3）当矩形EFPQ的面积时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线BC匀速向右运动（当矩形的顶点Q到达C点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
【正确答案】（1）当矩形EFPQ为正方形时，边长为 ；（2）当x=时，矩形EFPQ的面积，面积为5；（3）当0≤t≤时，S =5-2t2；当＜t＜2.5时，S＝-2t；当2.5≤t≤3时，S＝2t2-12t+18
【详解】分析：（1）由条件可得，即，计算即可.
（2）可利用用x表示出EH．表示出矩形EFPQ的面积，利用二次函数可求得其值；
（3）分0≤t≤，，2.5≤t≤3三种情况进行讨论即可.
详解：(1)∵四边形EFPQ为矩形，
∴EF∥BC，
，
即，
解得
∴当矩形EFPQ为正方形时，边长为.
即当x为时，矩形EFPQ为正方形；
（2）∵∠B=45°，
∴，
∴
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABD，∴，
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，
∴，即，∴，
已知EF=x，则EH=．
∵∠B=45°，
∴=4﹣．
S矩形EFPQ
∴当x=时，矩形EFPQ的面积，面积为5．
（3）如图①，当0≤t≤时
设EF交AC于M点，FP交AC于N点，
∵△MNF∽△CAD，
∴，
即，
∴FN=4t ，
∴S=5-t·4t，
=5-2t2
如图②，当时
设EF交AC于M点，过C作CN⊥EF于N点，
∵△CNM∽△ADC
∴，
即，
∴MN=，
∴FN=t-，
∴S=5-（t-+t），
=-2t ，
如图③，当2.5≤t≤3时
设EQ交AC于N点，
∵△CQN∽△CDA
∴，
即，
∴NQ=12-4t，
∴S=(3-t)(12-4t)
=2t2-12t+18
点睛：本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质以及二次函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意分类讨论思想的应用．
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