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2022-2023学年湖北省武汉市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年湖北省武汉市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共72页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
2. 同时使分式 有意义，又使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣4，且x≠﹣2 B. x=﹣4，或x=2 C. x=﹣4 D. x=2
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
4. “只需人人都献出一点爱，世界将变成美好人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名先生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
5. 若（x﹣2）（x+9）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A. p=7 q=18 B. p=7 q=﹣18 C. p=﹣7 q=18 D. p=﹣7 q=﹣18
6. 点P关于x轴的对称点的坐标是（4，－8），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. （－4，－8） B. （4，8） C. （－4，8） D. （4，－8）
7. 如图是某几何体三视图，则该几何体的全面积等于( )
A 112 B. 136 C. 124 D. 84
8. x1、x2、x3、…x20是20个由1，0，﹣1组成的数，且满足下列两个等式：①x1+x2+x3+…+x20=4，②（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x20﹣1）2=32，则这列数中1的个数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
9. 若不断角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A. B. C. D.
10. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （3）和（4） D. （1）和（4）
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的值为2，则代数式：的值为_____．
12. 已知：a+x2=2015，b+x2=2016，c+x2=2017，且abc=12，则 =_____．
13. 如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中暗影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
14. 质地均匀正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
15. 如图，四边形ABDC中，AB∥CD，AC＝BC＝DC＝4，AD＝6，则BD＝_____．
16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将关于点B的对称得，与x轴交于另一个点C，将关于点C的对称得，连接与的顶点，则图中暗影部分的面积为___________．
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 解方程：（1）2（3x﹣1）=16；（2）；（3） ．
18. 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并阐明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并阐明理由．
19. 某校先生会决定从三明先生会干事中选拔一名干事当先生会，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序，学校组织200名先生采用投票的方式，对三人进行测评，三人得票率如扇形统计图所示（没有弃权，每位同窗只能1人），每得1票记1分．
（1）分别计算三人评议的得分；
（2）根据实践需求，学校将笔试、面试、评议三项得分按3：3：4的比例确定个人成绩，三人中谁会当选先生会？
20. 某商场预备进一批两种不同型号的衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利不少于780元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
21. 如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，sinA=，求BC的长．
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．
（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
23. 阅读下列材料，完成任务：
自类似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它类似的图形，则称这个图形是自类似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形类似，故正方形是自类似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的类似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自类似图形”，他思绪是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它本人类似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的类似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自类似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都类似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都类似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都类似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都类似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向起点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向起点B匀速运动，当E，F中任意一点到达起点时另一点也随之中止运动，连接EF，设运动工夫为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上挪动，动点P与A，B两点构成有数个三角形，在这些三角形中能否存在一个面积的三角形？如果存在，求出面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要阐明理由．
2022-2023学年湖北省武汉市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【正确答案】A
【分析】二次根式有意义，隐含条件y>0，又xy<0，可知x<0，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】有意义，则y>0，
∵xy<0，
∴x<0，
∴原式=.
故选A
此题考查二次根式性质与化简，解题关键在于掌握其定义
2. 同时使分式 有意义，又使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣4，且x≠﹣2 B. x=﹣4，或x=2 C. x=﹣4 D. x=2
【2题答案】
【正确答案】D
【详解】试题解析：由题意得： 且
或
且或
∴，
故选D．
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【3题答案】
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与不是同类项，不能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，纯熟掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
4. “只需人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名先生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
【4题答案】
【正确答案】D
【分析】根据众数和中位数的概念可知，一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次陈列时，处在最两头地位的数，据此可知这组数据的众数，中位数．
【详解】根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30．
故选：D．
本题考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
5. 若（x﹣2）（x+9）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A. p=7 q=18 B. p=7 q=﹣18 C. p=﹣7 q=18 D. p=﹣7 q=﹣18
【5题答案】
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵
故选B．
6. 点P关于x轴的对称点的坐标是（4，－8），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. （－4，－8） B. （4，8） C. （－4，8） D. （4，－8）
【6题答案】
【正确答案】A
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相反，纵坐标互为相反数”先求出点P的坐标，再根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答即可．
【详解】解：∵P点关于x轴的对称点P1的坐标是（4，-8），
∴P（4，8），
∴点P点关于原点对称的点是：（-4，-8）．
故应选A．
7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
【7题答案】
【正确答案】B
【详解】试题解析：该几何体是三棱柱.
如图：
由勾股定理
全面积为：
故该几何体的全面积等于136．
故选B.
8. x1、x2、x3、…x20是20个由1，0，﹣1组成的数，且满足下列两个等式：①x1+x2+x3+…+x20=4，②（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x20﹣1）2=32，则这列数中1的个数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【8题答案】
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵是20个由1，0，组成的数，
且满足下列两个等式：①
②
把②展开得：
只能是是20个由1或组成的数，
设其中有个1，个
解得：
∴﹣1的个数有8个，
则1的个数有12个．
故选C．
9. 若不断角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A. B. C. D.
【9题答案】
【正确答案】B
【详解】解：设直角三角形的两条直角边是，则有：
又∵
∴
将代入得：
又∵内切圆面积是
∴它们的比是
故选B．
10. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （3）和（4） D. （1）和（4）
【10题答案】
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，∴AC不垂直于BD，（1）错误；
利用边角边定理可证得≌，那么，（2）正确；
由≌可得 那么A，B，C，D四点共圆， （3）正确；
不一定是等边三角形，那么（4）不一定正确；
（2）（3）正确，
故选B．
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的值为2，则代数式：的值为_____．
【11题答案】
【正确答案】2018
【详解】解：根据题意得：或
则原式
故2018．
12. 已知：a+x2=2015，b+x2=2016，c+x2=2017，且abc=12，则 =_____．
【12题答案】
【正确答案】0.25
【详解】试题解析：由题意得：
①−②得：a−b=−1
①−③得：a−c=−2
②−③得：b−c=−1
∴
故答案为0.25.
13. 如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中暗影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
【13题答案】
【正确答案】1：3
【详解】试题解析：设平行四边形的面积为1，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴
又∵M是的AB的中点，
则
∴上的高线与上的高线比为
∴
∴
S暗影面积
则暗影部分的面积与▱ABCD的面积比为．
故填空答案：．
14. 质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
【14题答案】
【正确答案】
【详解】试题解析：由树状图
可知共有4×4=16种可能，次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是．
故答案为．
15. 如图，四边形ABDC中，AB∥CD，AC＝BC＝DC＝4，AD＝6，则BD＝_____．
【15题答案】
【正确答案】2
【详解】试题解析：如图，延伸BC到E，使CE=BC，连接DE.
∵BC=CD，
∴CD=BC=CE，
∴
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE，∠BAC=∠DCA.
又∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠DCE=∠DCA，
∴在△ACD与△ECD中，
∴△DCE≌△DCA(SAS)，
∴AD=ED=6.
在Rt△BDE中，BE=2BC=8，则
根据勾股定理知
故答案是：
16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方部分记作，将关于点B的对称得，与x轴交于另一个点C，将关于点C的对称得，连接与的顶点，则图中暗影部分的面积为___________．
【16题答案】
【正确答案】32
【详解】解：∵抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A、B，
∴当y=0时，则-x2-2x+3=0，解得x=-3或x=1，
则A，B的坐标分别为（-3，0），（1，0），AB的长度为4，
从C1，C3两个部分顶点分别向下作垂线交x轴于E、F两点，
根据对称的性质，x轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到C1与C2，
如图所示，暗影部分转化为矩形，
根据对称性，可得BE=CF=4÷2=2，则EF=8，
利用配方法可得y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
则顶点坐标为（-1，4），即暗影部分的高为4，
S阴=8×4=32，
故答案为32.
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 解方程：（1）2（3x﹣1）=16；（2）；（3） ．
【17题答案】
【正确答案】（1）x=3；（2）x=﹣11；（3）x=．
【详解】试题分析：按照解一元方程的步骤解方程即可.
试题解析：（1）去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
（2）去分母得，
去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
（3）方程可化为
去分母得，
去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
点睛：解一元方程的普通步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.
18. 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并阐明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并阐明理由．
【18题答案】
【正确答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=AC，理由见解析.
【分析】（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；
（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=AC．
【详解】（1）BF=AC，理由是：
如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BDF中，
∵，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BF=AC；
（2）NE=AC，理由是：
如图2，由折叠得：MD=DC，
∵DE∥AM，
∴AE=EC，
∵BE⊥AC，
∴AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）得：△ADC≌△BDF，
∵△ADC≌△ADM，
∴△BDF≌△ADM，
∴∠DBF=∠MAD，
∵∠DBA=∠BAD=45°，
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，
即∠ABE=∠BAN，
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，
∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，
∴∠ANE=∠NAE=45°，
∴AE=EN，
∴EN=AC．
19. 某校先生会决定从三明先生会干事中选拔一名干事当先生会，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序，学校组织200名先生采用投票的方式，对三人进行测评，三人得票率如扇形统计图所示（没有弃权，每位同窗只能1人），每得1票记1分．
（1）分别计算三人评议得分；
（2）根据实践需求，学校将笔试、面试、评议三项得分按3：3：4的比例确定个人成绩，三人中谁会当选先生会？
【19题答案】
【正确答案】（1）甲得分50分，乙得分80分，丙得分70分；（2）乙当选先生会．
【详解】试题分析：（1）根据题意可以分别求得甲乙丙三人的评议得分；
（2）根据题意可以分别求得甲乙丙三人的最终成绩，然后比较大小即可解答本题．
试题解析：(1)由题意可得，
甲评议的得分是：200×25%=50(分)，
乙评议的得分是：200×40%=80(分)，
丙评议的得分是：200×35%=70(分)；
(2)由题意可得，
甲的成绩是： (分)，
乙的成绩是： (分)，
丙的成绩是： (分)，
∵70.4<73.9<77，
∴乙当选先生会．
20. 某商场预备进一批两种不同型号的衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利不少于780元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
【20题答案】
【正确答案】（1）A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；（2）有三种进货：（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
【详解】试题分析：（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880；
（2）关键描述语是：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．
试题解析：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则：，
解之得.
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件,则A型号衣服购进(2m+4)件，
可得：，
解之得192⩽m⩽12，
∵m为正整数，
∴m=10、11、12，2m+4=24、26、28.
答：有三种进货：
(1)B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
(2)B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
(3)B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
点睛：点睛：本题次要考查二元方程组和一元不等式组的实践成绩的运用，解题的关键是读懂标题的意思，根据标题给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作工夫，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.
21. 如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，sinA=，求BC的长．
【21题答案】
【正确答案】BC=8．
【详解】试题分析：经过作辅助线构成直角三角形，再利用三角函数知识进行求解．
试题解析：作⊙O的直径CD，连接BD，则CD=2×6=12.
∵
∴
∴
点睛：直径所对的圆周角是直角.
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．
（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
【22题答案】
【正确答案】（1），；（2）或；（3）或
【分析】（1）把的坐标代入函数的解析式，得到，再根据以为底的三角形ABC的面积为5求得m和n的值，继而求得函数与反比例函数的表达式；
（2）根据的横坐标，图象即可得出答案；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限和在象限上时，根据坐标和图象即可得出答案.
【详解】解：
（1）∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
而，且，
∴，
解得：或（舍去），则，
由，得，
∴函数的表达式为；
又将代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）不等式的解集为或；
（3）∵点在反比例函数图象上，且点在第三象限内，
∴当点在象限内时，总有，此时，；
当点在第三象限内时，要使，，
∴满足的的取值范围是或．
本题考查了函数与反比例函数的交点成绩，用待定系数法求出函数与反比例函数的解析式，函数与反比例函数的图象和性质，三角形的面积等知识点，纯熟运用数形的思想、运用性质进行计算是解题的关键，
23. 阅读下列材料，完成任务：
自类似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它类似的图形，则称这个图形是自类似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形类似，故正方形是自类似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的类似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自类似图形”，他的思绪是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它本人类似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的类似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自类似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都类似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都类似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都类似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都类似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
【23题答案】
【正确答案】（1）；（2）；（3）A、①；② ；B、①或；②或．
【详解】试题分析：（1）根据类似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB=5，根据类似比等于可求得答案；（3）A.①由矩形ABEF∽矩形FECD，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b和a，列出比例式整理即可；B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据类似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=b，然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据类似多边形的性质列比例式求解.
解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH=AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴类似比为： ==；
故答案为；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC类似的类似比为： =，
故答案为；
（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即a：b=b：a，
∴a=b；
故答案为
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b： a=a：b，
∴a=b；
故答案为
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a=a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣=，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为或；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为 b或b．
点睛：本题考查了信息迁移，矩形的性质，类似多边形的性质及分类讨论的数学思想，读懂题意，纯熟掌握类似比多边形的性质，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向起点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向起点B匀速运动，当E，F中任意一点到达起点时另一点也随之中止运动，连接EF，设运动工夫为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上挪动，动点P与A，B两点构成有数个三角形，在这些三角形中能否存在一个面积的三角形？如果存在，求出面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要阐明理由．
【24题答案】
【正确答案】（1）y=﹣x2+2x+3，直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）当t=1或t=时，△AEF为等腰直角三角形；（3）存在，△ABP的面积的值为，此时点P的坐标为．
【详解】试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线，直线解析式；（2）分两种情况：△AOB∽△AEF或△AOB∽△AFE即可求出t值；（3）确定出面积达到时，直线PC和抛物线相交于点，从而确定出直线PC解析式为y=﹣x+，可求出P点坐标.过点B作BD⊥PC于点D，则DBDC为等腰直角三角形，BC=，可求出BD，则面积可求出．
试题解析： （1）∵抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点，∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+n，∴ ，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）由题意得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF为直角三角形，∴①若△AOB∽△AEF，∴=，∴，∴t=.②△AOB∽△AFE，∴=，
∴，∴t=；综上所述，t=或；（3）如图，存在，过点P作PC∥AB交y轴于C，当直线PC与y=﹣x2+2x+3有且只要一个交点时，DPAB面积.∵直线AB解析式为y=﹣x+3，∴设直线PC解析式为y=﹣x+b，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0，∴△=9﹣4（b﹣3）=0，∴b=.解方程组，得.∴P∴BC=﹣3=.过点B作BD⊥PC，
∴直线BD解析式为y=x+3，∴∠CBD=45°，∴BD=.∴BD=，∵AB=3，∴S=AB×BD=×3×=．即：存在面积，值是，此时点P．
考点：1二次函数；2函数；3类似三角形；4平面直角坐标系中，直线平行与垂直解析式关系.
2022-2023学年湖北省武汉市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一．选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列各数中，倒数是的数是( )
A. 3 B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. （a+2b）2=a2+2ab+b2 C. a6÷a3=a2 D. （﹣2a3）2=4a6
3. 如图，已知直线、被直线所截，，E是直线左边任意一点（点E不在直线，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列各数中最小数是（ ）
A. B. ﹣1 C. D. 0
6. 如右图是用八块完全相反小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
7. 2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位打破10秒大关的黄种人，如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：则苏炳添这五次比赛成绩的众数和中位数分别为（ ）
比赛日期
2012﹣8﹣4
2013﹣5﹣21
2014﹣9﹣28
2015﹣5﹣20
2015﹣5﹣31
比赛地点
英国伦敦
中国北京
韩国仁川
中国北京
美国尤金
成绩（秒）
1019
10.06
10.10
10.06
999
A. 10.06秒，10.06秒 B. 10.10秒，10.06秒
C. 10.06秒，10.10秒 D. 10.08秒，10.06秒
8. 如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
9. 已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（ ）
A. B. C. D.
10. 在同不断角坐标系中，函数和函数（是常数，且） 的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 如今网购越来越多地成为人们的一种消费方式，和的领取买卖额打破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为_____．
12. 在﹣2、1、﹣3这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在、三象限的概率是_____．
13. 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相反，如果这些工人同时工作，则需10小古装卸终了；现改变装卸方式，开始一个人干，当前每隔t（整数）小时添加一个人干，每个参加装卸的人都不断干到装卸终了，且参加的一个人装卸的工夫是个人的，则按改变的方式装卸，自始至终共需工夫_____小时．
14. 如图，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的程度距离为90m，则这栋楼高为_____（到0.1 m）．
15. 四边形ABCD是正方形，点E是直线AB上的一动点，且△AEC是以AC为腰的等腰三角形，则∠BCE的度数为_____．
16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的地位，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即暗影部分面积)为______．
三．解 答 题（共9小题，满分59分）
17. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
18. 如图，中，，，.
（1）点从点开始沿边向以的速度挪动，点从点开始沿边向点以的速度挪动.如果点，分别从，同时出发，几秒，的面积等于？
（2）点从点开始沿边向点以的速度挪动，点从点开始沿边向点以的速度挪动.如果点，分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动工夫；若不能，请阐明理由.
（3）若点沿线段方向从点出发以的速度向点挪动，点沿射线方向从点出发以的速度挪动，，同时出发，问几秒后，的面积为？
19. 已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）当kx+b＞时，请根据图象直接写出x的取值范围．
20. 济南某中学在参加“创文明城，泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制造了两幅不残缺的统计图．
请根据以上信息，回答下列成绩：
（l）杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充残缺条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数______．
（3）请估计全校共征集作品的件数．
（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名先生性别相反的概率．
21. 如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，连接EF．
（1）若EF=2，求△AEF的面积；
（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．
22. 如图，在△ABC中，AB=8，BC=5，AC=7，点D在△ABC的外接圆⊙O上，BC=BD，CD交AB于点E．
（1）求证：△ABC∽△CBE．
（2）求BE的长．
23. 重庆市的严重惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内处理低支出人群的住房成绩，前6年，每年竣工投入运用的公租房面积y（单位：百万平方米），与工夫x的关系是，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入运用的公租房面积y（单位：百万平方米），与工夫x的关系是（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等要素的影响，每年的租金也随之上调，估计，第x年投入运用的公租房的租金z（单位：元/m2）与工夫x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足函数关系如下表：
z（元/m2）
50
52
54
56
58
…
x（年）
1
2
3
4
5
…
（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；
（3）若第6年竣工投入运用的公租房可处理20万人的住房成绩，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积进步a%，这样可处理住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．
（参考数据：，，）
24. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长．
25. 已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，能否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并阐明抛物线平移的方向；若不存在，请阐明理由．
2022-2023学年湖北省武汉市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一．选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列各数中，倒数是的数是( )
A. 3 B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据倒数的定义判断即可.
【详解】-3的倒数是.
故选D.
本题考查倒数的定义,关键在于熟记基础概念.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. （a+2b）2=a2+2ab+b2 C. a6÷a3=a2 D. （﹣2a3）2=4a6
【正确答案】D
【分析】A.a2与a3不是同类项不能合并；B.不符合完全平方公式的特征；C. 同底数幂相除，底数不变指数相减的结果错误；D.不符合积的乘方的运算法则.
【详解】解：A. a2与a3不是同类项不能合并，故A错误；
B. （a+2b）2=a2+4ab+4b2，故B错误；
C. a6÷a3=a3，故C错误；
D. （﹣2a3）2=4a6，故D正确.
故选D
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变．
3. 如图，已知直线、被直线所截，，E是直线左边任意一点（点E不在直线，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】A
【分析】根据点E有3种可能地位，分情况进行讨论，根据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α-β．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β．
即①α+β，②α-β，③β-α，都成立．
故选A．
本题次要考查了平行线的性质的运用，解题时留意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】首先解每个不等式，确定不等式组的解集，然后根据不等式组的解集在数轴上表示方法判断即可．
【详解】，
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
故选：．
本题次要考查了一元不等式组解，此类标题常常要数轴进行判断，掌握不等式组的解集在数轴上表示的方法是解此题的关键．
5. 下列各数中最小的数是（ ）
A. B. ﹣1 C. D. 0
【正确答案】C
【详解】根据实数比较大小的方法，可得
﹣＜﹣＜﹣1＜0，
∴各数中最小的数是：﹣．
故选C．
6. 如右图是用八块完全相反的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，留意一切从正面看到的棱都应表如今主视图中.
【详解】解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.
故选B．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.
7. 2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位打破10秒大关的黄种人，如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：则苏炳添这五次比赛成绩的众数和中位数分别为（ ）
比赛日期
2012﹣8﹣4
2013﹣5﹣21
2014﹣9﹣28
2015﹣5﹣20
2015﹣5﹣31
比赛地点
英国伦敦
中国北京
韩国仁川
中国北京
美国尤金
成绩（秒）
10.19
10.06
10.10
10.06
9.99
A. 10.06秒，10.06秒 B. 10.10秒，10.06秒
C. 10.06秒，10.10秒 D. 10.08秒，10.06秒
【正确答案】A
【详解】试题分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序陈列，位于最两头的一个数（或两个数的平均数）为中位数．根据定义即可求解．
解：在这一组数据中10.06是出现次数最多的，故众数是10.06；
而将这组数据从小到大的顺序陈列为：9.99，10.06，10.06，10.10，10.19，处于两头地位的那个数是10.06，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是10.06．
故选A．
考点：众数；中位数．
8. 如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【正确答案】C
【详解】∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选C．
9. 已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：设⊙O的半径为r．
A．∵⊙O是△ABC内切圆，∴S△ABC=（a+b+c）•r=ab，∴r=；
B．如图，连接OD，则OD=OC=r，OA=b﹣r．∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AB，即∠AOD=∠C=90°，∴△ADO∽△ACB，∴OA：AB=OD：BC，即（b﹣r）：c=r：a，解得：r=；
C．连接OE，OD．∵AC与BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC，OD⊥AC，∴∠OEB=∠ODC=∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形．∵OD=OE，∴矩形ODCE是正方形，∴EC=OD=r，OE∥AC，∴OE：AC=BE：BC，∴r：b=（a﹣r）：a，∴r=；
D．设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E，连接OD、OE．
∵AC、BE是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°，∴四边形ODCE是矩形．
∵OD=OE，∴矩形ODCE是正方形，即OE=OD=CD=r，则AD=AF=b﹣r．
连接OB，OF，由勾股定理得：BF2=OB2﹣OF2，BE2=OB2﹣OE2．∵OB=OB，OF=OE，∴BF=BE，则BA+AF=BC+CE，c+b﹣r=a+r，即r=．
故选C．
点睛：本题考查了切线的性质、切线长定理、平行线分线段成比例定理、正方形的判定与性质以及类似三角形的判定与性质．此题难度较大，留意掌握数形思想与方程思想的运用．
10. 在同不断角坐标系中，函数和函数（是常数，且） 的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】分m＞0及m＜0两种情况考虑两函数的图象，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x=-=-＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=-=-＜0 ，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
故选：D．
本题次要考查函数和二次函数的图象所的象限的成绩，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=-，与y轴的交点坐标为（0，c）．
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 如今网购越来越多地成为人们一种消费方式，和的领取买卖额打破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为_____．
【正确答案】
【分析】科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值>1时，n是负数；当原数的值<1时，n是负数．
【详解】67000000000的小数点向左挪动10位得到6.7，
所以67000000000用科学记数法表示为，
故答案为．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 在﹣2、1、﹣3这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在、三象限的概率是_____．
【正确答案】
【详解】分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得一切等可能的结果与任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在、三象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
详解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在、三象限的有2种情况，
∴任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在、三象限的概率是：．
故答案为．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不反复不遗漏的列出一切可能的结果，列表法合适于两步完成的，树状图法合适两步或两步以上完成的．留意概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相反，如果这些工人同时工作，则需10小古装卸终了；现改变装卸方式，开始一个人干，当前每隔t（整数）小时添加一个人干，每个参加装卸的人都不断干到装卸终了，且参加的一个人装卸的工夫是个人的，则按改变的方式装卸，自始至终共需工夫_____小时．
【正确答案】16
【详解】分析：根据个人与一个人的工作工夫的平均值就是一切工人的工作工夫的平均值，即可列方程求得工作工夫．然后设共有y人参加装卸工作，根据参加的一个人装卸的工夫是个人的，即可列方程求解．
详解：设装卸工作需x小时完成，则人干了x小时，一个人干了x小时，两人共干活x+小时，平均每人干活 (x+)小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，…，
平均每人干活的工夫也是 (x+)小时，
根据题设，得 (x+)=10，
解得x=16（小时）；
设共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时添加一人，因此一人比人少干（y-1）t小时，按题意，
得16-（y-1）t=16×，
即（y-1）t=12，
解此不定方程得，，，，，.
即参加的人数y=2或3或4或5或7或13．
故答案为16．
点睛：本题是一元方程与二元方程的运用，正确理解标题中各个量之间的关系，正确列出相等关系是解题的关键．
14. 如图，从热气球上看一栋高楼顶部仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的程度距离为90m，则这栋楼高为_____（到0.1 m）．
【正确答案】207.8
【详解】试题解析：过点A作垂足为D．
在中，有
在中，有
故这栋楼高BC为（m）．
故答案为207.8m．
15. 四边形ABCD是正方形，点E是直线AB上的一动点，且△AEC是以AC为腰的等腰三角形，则∠BCE的度数为_____．
【正确答案】67.5°或45°或22.5°
【详解】分析：由于没有阐明△AEC的顶点，所以分情况进行讨论．
详解：如图，
当AC=AE时，
以A为圆心，AC为半径作圆交直线AB于点E，
当E在BA的延伸线时，
∴∠EAC=135°，
∴∠BEC=22.5°，
∴∠BCE=∠BCA+∠BEC=67.5°
当E在AB的延伸线时，
∴∠EAC=45°，
∴∠ACE=67.5°
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°
当AC=CE时，
当以C为圆心AC为半径作圆交直线AB于点E
∴∠EAC=∠CEA=45°，
∴∠BCE=45°，
故答案为67.5°或45°或22.5°
点睛：以AC为腰的等腰三角形△AEC中有两种情况：（1）AC=AE，当E在BA的延伸线时和当E在AB的延伸线时求得∠BCE；（2）AC=CE，利用等腰三角形的性质求解.
16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的地位，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即暗影部分面积)为______．
【正确答案】π
【详解】试题分析：整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形BHH1与小扇形BOO1的面积差．扇形BOO1的半径为OB=2，扇形BHH1的半径可在Rt△BHC中求得．而两扇形的圆心角都等于旋转角即120°，由此可求出线段OH扫过的面积．
解：连接BH、BH1
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2
∴AB=4
∴AC= =2
∵H为AC的中点
∴
在Rt△BHC中，BC=2
根据勾股定理可得：BH=
∴S扫=S扇形BHH1﹣S扇形BOO1==π
点睛：本题次要考查旋转的性质. 将暗影部分面积转化为两个扇形的差是解题的难点所在.
三．解 答 题（共9小题，满分59分）
17. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
【正确答案】1
【分析】经过已知等式化简得到未知量的关系，代入目标式子求值．
【详解】∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，且（x﹣y）2≥0，（x﹣z）2≥0，（y﹣z）2≥0，
∴（x﹣y）2=0，（x﹣z）2=0，（y﹣z）2=0．
∴x=y=z．
∴．
本题考查了等式的化简、乘法公式的运用，有一定的难度，难点是恒等变形，灵活运用完全平方公式转化为三个非负数的和为零是关键．
18. 如图，在中，，，.
（1）点从点开始沿边向以的速度挪动，点从点开始沿边向点以的速度挪动.如果点，分别从，同时出发，几秒，的面积等于？
（2）点从点开始沿边向点以的速度挪动，点从点开始沿边向点以的速度挪动.如果点，分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动工夫；若不能，请阐明理由.
（3）若点沿线段方向从点出发以的速度向点挪动，点沿射线方向从点出发以的速度挪动，，同时出发，问几秒后，的面积为？
【正确答案】（1）2秒或4秒 （2）答案见解析 （3）秒或5秒
【分析】（1）根据直角三角形的面积公式和路程=速度×工夫进行求解即可；
（2）设秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（3）分两种情况：①当点在线段上，点在线段上时；
②当点在线段上，点在线段的延伸线上时，进行讨论即可求解.
【详解】解：（1）设秒，的面积等于，依题意有
，
解得，，
经检验，，均符合题意.
答：2秒或4秒，的面积等于.
（2）设秒，线段将分成面积相等的两部分，依题意有
，
化简可得.
∵.∴此方程无实数根.
∴线段不能将分成面积相等的两部分.
（3）当点在线段上，点在线段上时，
设秒，的面积为.
依题意有，
解得（舍去），，
∴；
当点在线段上，点在线段的延伸线上时，
设秒，的面积为.
依题意有，，
解得.
经检验，符合题意.
综上所述，秒或5秒，的面积为.
本题考查了一元二次方程的运用，此题难度较大，属于动点型标题，留意数形思想、分类讨论思想与方程思想的运用.
19. 已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）当kx+b＞时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【正确答案】（1）y=， y=﹣x+；（2）S△POQ= ；（3）或x＜0．
【分析】（1）过P作PC⊥y轴于C，由P（，n），得到OC=n，PC=，根据三角函数的定义得到P（，4），于是得到反比例函数的解析式为y=，Q（4，），解方程组即可得到直线的函数表达式为y=-x+；
（2）过Q作OD⊥y轴于D，于是得到S△POQ=S四边形PCDQ=；
（3）观察图象可得结果．
【详解】解：（1）过P作PC⊥y轴于C，
∵P（，n），
∴OC=n，PC=，
∵tan∠BOP=，
∴n=4，
∴P（，4），
设反比例函数的解析式为y=，
∴a=4，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴Q（4，），
把P（，4），Q（4，）代入y=kx+b中得，，
∴，
∴直线的函数表达式为y=-x+；
（2）过Q作QD⊥y轴于D，
则S△POQ=S四边形PCDQ=×（+4）×（4-）=；
（3）由图象知，
当-x+＞时，＜x＜4或x＜0
本题考查了反比例函数与函数的交点成绩，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数和函数的解析式，正切函数的定义，难度适中，利用数形是解题的关键．
20. 济南某中学在参加“创文明城，泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制造了两幅不残缺的统计图．
请根据以上信息，回答下列成绩：
（l）杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充残缺条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数______．
（3）请估计全校共征集作品的件数．
（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名先生性别相反的概率．
【正确答案】（1）抽样调查（2）150°（3）180件（4）
【详解】分析：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6÷=24（件），C班作品的件数为：24-4-6-4=10（件）；继而可补全条形统计图；
（3）先求出抽取的4个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得一切等可能的结果与两名先生性别相反的情况，再利用概率公式即可求得答案．
详解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为抽样调查．
（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷=24件，
C班有24﹣（4+6+4）=10件，
补全条形图如图所示，
扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°×=150°；
故答案为150°；
（3）∵平均每个班=6件，
∴估计全校共征集作品6×30=180件．
（4）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，两名先生性别相反的有8种情况，
∴恰好选取的两名先生性别相反的概率为．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是处理成绩的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时古典概型求法：（1）算出一切基本的个数n；（2）求出A包含的一切基本数m；（3）代入公式P(A)=，求出P（A）．．
21. 如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，连接EF．
（1）若EF=2，求△AEF的面积；
（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．
【正确答案】（1） （2）证明见解析
【分析】（1）先证明△CDE≌△CBF，得到CD=CB，可得▱ABCD是菱形，则AD=AB，由DE=BF得AE=AF，则△AEF是等边三角形，根据EF的长可得△AEF的面积；
（2）延伸DP交BC于N，连结FN，证明△CPN≌△EPD，得到AE=BN，证明△FBN≌△DEF，得到FN=FD，根据等腰三角形三线合一的性质可得结论．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，
∵BF=DE，∠DCE=∠BCF，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CD=CB，
∴▱ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴AD﹣DE=AB﹣BF，即AE=AF，
∵∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵EF=2，
∴S△AEF=×22=；
（2）证明：如图2，延伸DP交BC于N，连结FN，
∵四边形ABCD菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EDP=∠PNC，∠DEP=∠PCN，
∵点P是CE的中点，
∴CP=EP．
∴△CPN≌△EPD，
∴DE=CN，PD=PN．
又∵AD=BC．
∴AD﹣DE=BC﹣CN，即AE=BN．
∵△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°，EF=AE．
∴∠DEF=120°，EF=BN．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
又∵∠A=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠ABC=∠DEF．
又∵DE=BF，BN=EF．
∴△FBN≌△DEF，
∴DF=NF，
∵PD=PN，
∴PF⊥PD．
构造全等三角形和利用等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
22. 如图，在△ABC中，AB=8，BC=5，AC=7，点D在△ABC的外接圆⊙O上，BC=BD，CD交AB于点E．
（1）求证：△ABC∽△CBE．
（2）求BE的长．
【正确答案】（1）证明见解析（2）
【详解】分析：（1）根据等腰三角形的性质圆周角定理可得出∠BCE=∠BAC，∠CBE=∠ABC即可证出△ABC∽△CBE；
（2）根据类似三角形的性质可得出，代入数据即可求出BE的长．
详解：（1）证明：∵BC=BD，
∴∠BCE=∠BDC．
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠BCE=∠BAC．
∵∠CBE=∠ABC，
∴△ABC∽△CBE．
（2）∵△ABC∽△CBE，
∴，即，
∴BE=．
点睛：本题考查了类似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆与外心，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质圆周角定理找出∠BCE=∠BAC；（2）利用类似三角形的性质求出BE的长．
23. 重庆市的严重惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内处理低支出人群的住房成绩，前6年，每年竣工投入运用的公租房面积y（单位：百万平方米），与工夫x的关系是，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入运用的公租房面积y（单位：百万平方米），与工夫x的关系是（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等要素的影响，每年的租金也随之上调，估计，第x年投入运用的公租房的租金z（单位：元/m2）与工夫x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足函数关系如下表：
z（元/m2）
50
52
54
56
58
…
x（年）
1
2
3
4
5
…
（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；
（3）若第6年竣工投入运用的公租房可处理20万人的住房成绩，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积进步a%，这样可处理住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．
（参考数据：，，）
【正确答案】（1）z=2x+48；（2）第3年租金最多，最多为243百万元；（3）a=20；
【详解】试题分析：（1）设z=kx+b（k≠0），然后把表格中的两组数据代入解析式，解方程组即可；（2）设收取的租金为W百万元，分别求出当1≤x≤6时和当7≤x≤10时的W与x的函数关系式，然后分别求出两个函数的值，比较大小，可确定收取的租金的值；（3）先求出第6年和第10年的投入运用的公租房面积，然后根据题意列方程得：20×（1-1．35a％）×20×（1+a％）=350，然后解方程即可．
试题解析：解：（1）由题意，z与x成函数关系，
设z=kx+b（k≠0）．把（1，50）．（2，52）代入，
得 ∴z=2x+48． （2分）
（2）当1≤x≤6时，设收取的租金为W1百万元，则
W1=（-x+5）•（2x+48）
=-x2+2x+240，
∵对称轴x=-≠=3，而1≤x≤6，
∴当x=3时，W1=243（百万元）．
当7≤x≤10时，设收取的租金为W2百万元，则
W2=（-x+）·（2x+48）
=-x2+x+228．
∵对称轴x=-=7，而7≤x≤10，
∴当x=7时，W2=（百万元）．
∵243>，
∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元． （6分）
（3）当x=6时，
y=-×6+5=4百万平方米=400万平方米；
当x=10时，
y=-×10+=3．5百万平方米=350万平方．
∵第6年可处理20万人住房成绩，
∴人均住房为400÷20=20平方米．
由题意20×（1-1．35a％）×20×（1+a％）=350．
设a％=m，化简为54m2+14m-5=0，
Δ=142-4×54×（-5）=1276，
∴m=
∵≈17．8，∴m1=0．2，m2=-（不符题意，舍去）．
∴a％=0．2，∴a=20．
答：a的值为20． （10分）
考点：1．待定系数法求解析式；2．二次函数的运用；3．一元二次方程的运用．
24. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长．
【正确答案】（1）CF=；（2）y=（0＜x＜2）；（3）AB=2.5.
【详解】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形类似，可得△CEF∽△CAE，然后根据类似三角形的性质和勾股定理可求解；
（2）根据类似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；
（3）由（2）中的类似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由∠ABE的正切值求解.
试题解析：（1）∵AD=CD．
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠CEB=45°，
∴∠DAC=∠CEB，
∵∠ECA=∠ECA，
∴△CEF∽△CAE，
∴，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE= ，
∵CA=，
∴，
∴CF=；
（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，
∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，
∴∠ECA=∠ABF，
∵∠CAE=∠ABF=45°，
∴△CEA∽△BFA，
∴（0＜x＜2），
（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，
∴，
∴，
∴AB=x+2，
∵∠ABE的正切值是，
∴tan∠ABE=，
∴x=，
∴AB=x+2=．
25. 已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，能否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并阐明抛物线平移的方向；若不存在，请阐明理由．
【正确答案】(1) 抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；C（ ，﹣ ）．(2) ﹣1＜m＜0或3＜m＜4;(3)
【详解】分析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
（2）由于AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′关于x轴对称点的坐标为C″，得到直线P″C″的解析式，然后把A点的坐标代入即可．
详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，
∴C（，﹣）．
（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M（，0），⊙M的半径=．
∵P′是抛物线与y轴的交点，
∴OP′=2，
∴MP′=，
∴P′在⊙M上，
∴P′的对称点（3，﹣2），
∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．
（3）存在；
抛物线向左或向右平移，由于AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只需AC′+BP′最小；
种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，﹣2），
又∵C（，﹣）
∴C'（﹣t，﹣），P'（3﹣t，﹣2），
∵AB=5，
∴P″（﹣2﹣t，﹣2），
要使AC′+BP′最短，只需AC′+AP″最短即可，
点C′关于x轴的对称点C″（﹣t，），
设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，
，
解得
∴直线y=，
当P″、A、C″在一条直线上时，周长最小，
∴=0
∴t=．
故将抛物线向左平移个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．
点睛：利用轴对称性质处理几何图形中的最值成绩借助的次要基本定理有两个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边.
2022-2023学年湖北省武汉市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
2. 同时使分式 有意义，又使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣4，且x≠﹣2 B. x=﹣4，或x=2 C. x=﹣4 D. x=2
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
4. “只需人人都献出一点爱，世界将变成美好人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名先生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
5. 若（x﹣2）（x+9）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A. p=7 q=18 B. p=7 q=﹣18 C. p=﹣7 q=18 D. p=﹣7 q=﹣18
6. 点P关于x轴的对称点的坐标是（4，－8），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. （－4，－8） B. （4，8） C. （－4，8） D. （4，－8）
7. 如图是某几何体三视图，则该几何体的全面积等于( )
A 112 B. 136 C. 124 D. 84
8. x1、x2、x3、…x20是20个由1，0，﹣1组成的数，且满足下列两个等式：①x1+x2+x3+…+x20=4，②（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x20﹣1）2=32，则这列数中1的个数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
9. 若不断角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A. B. C. D.
10. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （3）和（4） D. （1）和（4）
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的值为2，则代数式：的值为_____．
12. 已知：a+x2=2015，b+x2=2016，c+x2=2017，且abc=12，则 =_____．
13. 如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中暗影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
14. 质地均匀正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
15. 如图，四边形ABDC中，AB∥CD，AC＝BC＝DC＝4，AD＝6，则BD＝_____．
16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将关于点B的对称得，与x轴交于另一个点C，将关于点C的对称得，连接与的顶点，则图中暗影部分的面积为___________．
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 解方程：（1）2（3x﹣1）=16；（2）；（3） ．
18. 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并阐明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并阐明理由．
19. 某校先生会决定从三明先生会干事中选拔一名干事当先生会，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序，学校组织200名先生采用投票的方式，对三人进行测评，三人得票率如扇形统计图所示（没有弃权，每位同窗只能1人），每得1票记1分．
（1）分别计算三人评议的得分；
（2）根据实践需求，学校将笔试、面试、评议三项得分按3：3：4的比例确定个人成绩，三人中谁会当选先生会？
20. 某商场预备进一批两种不同型号的衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利不少于780元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
21. 如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，sinA=，求BC的长．
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．
（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
23. 阅读下列材料，完成任务：
自类似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它类似的图形，则称这个图形是自类似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形类似，故正方形是自类似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的类似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自类似图形”，他思绪是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它本人类似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的类似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自类似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都类似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都类似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都类似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都类似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向起点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向起点B匀速运动，当E，F中任意一点到达起点时另一点也随之中止运动，连接EF，设运动工夫为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上挪动，动点P与A，B两点构成有数个三角形，在这些三角形中能否存在一个面积的三角形？如果存在，求出面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要阐明理由．
2022-2023学年湖北省武汉市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【正确答案】A
【分析】二次根式有意义，隐含条件y>0，又xy<0，可知x<0，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】有意义，则y>0，
∵xy<0，
∴x<0，
∴原式=.
故选A
此题考查二次根式性质与化简，解题关键在于掌握其定义
2. 同时使分式 有意义，又使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣4，且x≠﹣2 B. x=﹣4，或x=2 C. x=﹣4 D. x=2
【2题答案】
【正确答案】D
【详解】试题解析：由题意得： 且
或
且或
∴，
故选D．
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【3题答案】
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与不是同类项，不能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，纯熟掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
4. “只需人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名先生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
【4题答案】
【正确答案】D
【分析】根据众数和中位数的概念可知，一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次陈列时，处在最两头地位的数，据此可知这组数据的众数，中位数．
【详解】根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30．
故选：D．
本题考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
5. 若（x﹣2）（x+9）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A. p=7 q=18 B. p=7 q=﹣18 C. p=﹣7 q=18 D. p=﹣7 q=﹣18
【5题答案】
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵
故选B．
6. 点P关于x轴的对称点的坐标是（4，－8），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. （－4，－8） B. （4，8） C. （－4，8） D. （4，－8）
【6题答案】
【正确答案】A
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相反，纵坐标互为相反数”先求出点P的坐标，再根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答即可．
【详解】解：∵P点关于x轴的对称点P1的坐标是（4，-8），
∴P（4，8），
∴点P点关于原点对称的点是：（-4，-8）．
故应选A．
7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
【7题答案】
【正确答案】B
【详解】试题解析：该几何体是三棱柱.
如图：
由勾股定理
全面积为：
故该几何体的全面积等于136．
故选B.
8. x1、x2、x3、…x20是20个由1，0，﹣1组成的数，且满足下列两个等式：①x1+x2+x3+…+x20=4，②（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x20﹣1）2=32，则这列数中1的个数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【8题答案】
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵是20个由1，0，组成的数，
且满足下列两个等式：①
②
把②展开得：
只能是是20个由1或组成的数，
设其中有个1，个
解得：
∴﹣1的个数有8个，
则1的个数有12个．
故选C．
9. 若不断角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A. B. C. D.
【9题答案】
【正确答案】B
【详解】解：设直角三角形的两条直角边是，则有：
又∵
∴
将代入得：
又∵内切圆面积是
∴它们的比是
故选B．
10. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （3）和（4） D. （1）和（4）
【10题答案】
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，∴AC不垂直于BD，（1）错误；
利用边角边定理可证得≌，那么，（2）正确；
由≌可得 那么A，B，C，D四点共圆， （3）正确；
不一定是等边三角形，那么（4）不一定正确；
（2）（3）正确，
故选B．
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的值为2，则代数式：的值为_____．
【11题答案】
【正确答案】2018
【详解】解：根据题意得：或
则原式
故2018．
12. 已知：a+x2=2015，b+x2=2016，c+x2=2017，且abc=12，则 =_____．
【12题答案】
【正确答案】0.25
【详解】试题解析：由题意得：
①−②得：a−b=−1
①−③得：a−c=−2
②−③得：b−c=−1
∴
故答案为0.25.
13. 如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中暗影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
【13题答案】
【正确答案】1：3
【详解】试题解析：设平行四边形的面积为1，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴
又∵M是的AB的中点，
则
∴上的高线与上的高线比为
∴
∴
S暗影面积
则暗影部分的面积与▱ABCD的面积比为．
故填空答案：．
14. 质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
【14题答案】
【正确答案】
【详解】试题解析：由树状图
可知共有4×4=16种可能，次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是．
故答案为．
15. 如图，四边形ABDC中，AB∥CD，AC＝BC＝DC＝4，AD＝6，则BD＝_____．
【15题答案】
【正确答案】2
【详解】试题解析：如图，延伸BC到E，使CE=BC，连接DE.
∵BC=CD，
∴CD=BC=CE，
∴
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE，∠BAC=∠DCA.
又∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠DCE=∠DCA，
∴在△ACD与△ECD中，
∴△DCE≌△DCA(SAS)，
∴AD=ED=6.
在Rt△BDE中，BE=2BC=8，则
根据勾股定理知
故答案是：
16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方部分记作，将关于点B的对称得，与x轴交于另一个点C，将关于点C的对称得，连接与的顶点，则图中暗影部分的面积为___________．
【16题答案】
【正确答案】32
【详解】解：∵抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A、B，
∴当y=0时，则-x2-2x+3=0，解得x=-3或x=1，
则A，B的坐标分别为（-3，0），（1，0），AB的长度为4，
从C1，C3两个部分顶点分别向下作垂线交x轴于E、F两点，
根据对称的性质，x轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到C1与C2，
如图所示，暗影部分转化为矩形，
根据对称性，可得BE=CF=4÷2=2，则EF=8，
利用配方法可得y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
则顶点坐标为（-1，4），即暗影部分的高为4，
S阴=8×4=32，
故答案为32.
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 解方程：（1）2（3x﹣1）=16；（2）；（3） ．
【17题答案】
【正确答案】（1）x=3；（2）x=﹣11；（3）x=．
【详解】试题分析：按照解一元方程的步骤解方程即可.
试题解析：（1）去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
（2）去分母得，
去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
（3）方程可化为
去分母得，
去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
点睛：解一元方程的普通步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.
18. 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并阐明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并阐明理由．
【18题答案】
【正确答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=AC，理由见解析.
【分析】（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；
（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=AC．
【详解】（1）BF=AC，理由是：
如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BDF中，
∵，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BF=AC；
（2）NE=AC，理由是：
如图2，由折叠得：MD=DC，
∵DE∥AM，
∴AE=EC，
∵BE⊥AC，
∴AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）得：△ADC≌△BDF，
∵△ADC≌△ADM，
∴△BDF≌△ADM，
∴∠DBF=∠MAD，
∵∠DBA=∠BAD=45°，
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，
即∠ABE=∠BAN，
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，
∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，
∴∠ANE=∠NAE=45°，
∴AE=EN，
∴EN=AC．
19. 某校先生会决定从三明先生会干事中选拔一名干事当先生会，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序，学校组织200名先生采用投票的方式，对三人进行测评，三人得票率如扇形统计图所示（没有弃权，每位同窗只能1人），每得1票记1分．
（1）分别计算三人评议得分；
（2）根据实践需求，学校将笔试、面试、评议三项得分按3：3：4的比例确定个人成绩，三人中谁会当选先生会？
【19题答案】
【正确答案】（1）甲得分50分，乙得分80分，丙得分70分；（2）乙当选先生会．
【详解】试题分析：（1）根据题意可以分别求得甲乙丙三人的评议得分；
（2）根据题意可以分别求得甲乙丙三人的最终成绩，然后比较大小即可解答本题．
试题解析：(1)由题意可得，
甲评议的得分是：200×25%=50(分)，
乙评议的得分是：200×40%=80(分)，
丙评议的得分是：200×35%=70(分)；
(2)由题意可得，
甲的成绩是： (分)，
乙的成绩是： (分)，
丙的成绩是： (分)，
∵70.4<73.9<77，
∴乙当选先生会．
20. 某商场预备进一批两种不同型号的衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利不少于780元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
【20题答案】
【正确答案】（1）A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；（2）有三种进货：（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
【详解】试题分析：（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880；
（2）关键描述语是：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．
试题解析：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则：，
解之得.
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件,则A型号衣服购进(2m+4)件，
可得：，
解之得192⩽m⩽12，
∵m为正整数，
∴m=10、11、12，2m+4=24、26、28.
答：有三种进货：
(1)B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
(2)B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
(3)B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
点睛：点睛：本题次要考查二元方程组和一元不等式组的实践成绩的运用，解题的关键是读懂标题的意思，根据标题给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作工夫，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.
21. 如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，sinA=，求BC的长．
【21题答案】
【正确答案】BC=8．
【详解】试题分析：经过作辅助线构成直角三角形，再利用三角函数知识进行求解．
试题解析：作⊙O的直径CD，连接BD，则CD=2×6=12.
∵
∴
∴
点睛：直径所对的圆周角是直角.
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．
（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
【22题答案】
【正确答案】（1），；（2）或；（3）或
【分析】（1）把的坐标代入函数的解析式，得到，再根据以为底的三角形ABC的面积为5求得m和n的值，继而求得函数与反比例函数的表达式；
（2）根据的横坐标，图象即可得出答案；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限和在象限上时，根据坐标和图象即可得出答案.
【详解】解：
（1）∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
而，且，
∴，
解得：或（舍去），则，
由，得，
∴函数的表达式为；
又将代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）不等式的解集为或；
（3）∵点在反比例函数图象上，且点在第三象限内，
∴当点在象限内时，总有，此时，；
当点在第三象限内时，要使，，
∴满足的的取值范围是或．
本题考查了函数与反比例函数的交点成绩，用待定系数法求出函数与反比例函数的解析式，函数与反比例函数的图象和性质，三角形的面积等知识点，纯熟运用数形的思想、运用性质进行计算是解题的关键，
23. 阅读下列材料，完成任务：
自类似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它类似的图形，则称这个图形是自类似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形类似，故正方形是自类似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的类似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自类似图形”，他的思绪是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它本人类似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的类似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自类似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都类似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都类似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都类似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都类似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
【23题答案】
【正确答案】（1）；（2）；（3）A、①；② ；B、①或；②或．
【详解】试题分析：（1）根据类似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB=5，根据类似比等于可求得答案；（3）A.①由矩形ABEF∽矩形FECD，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b和a，列出比例式整理即可；B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据类似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=b，然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据类似多边形的性质列比例式求解.
解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH=AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴类似比为： ==；
故答案为；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC类似的类似比为： =，
故答案为；
（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即a：b=b：a，
∴a=b；
故答案为
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b： a=a：b，
∴a=b；
故答案为
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a=a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣=，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为或；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为 b或b．
点睛：本题考查了信息迁移，矩形的性质，类似多边形的性质及分类讨论的数学思想，读懂题意，纯熟掌握类似比多边形的性质，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向起点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向起点B匀速运动，当E，F中任意一点到达起点时另一点也随之中止运动，连接EF，设运动工夫为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上挪动，动点P与A，B两点构成有数个三角形，在这些三角形中能否存在一个面积的三角形？如果存在，求出面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要阐明理由．
【24题答案】
【正确答案】（1）y=﹣x2+2x+3，直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）当t=1或t=时，△AEF为等腰直角三角形；（3）存在，△ABP的面积的值为，此时点P的坐标为．
【详解】试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线，直线解析式；（2）分两种情况：△AOB∽△AEF或△AOB∽△AFE即可求出t值；（3）确定出面积达到时，直线PC和抛物线相交于点，从而确定出直线PC解析式为y=﹣x+，可求出P点坐标.过点B作BD⊥PC于点D，则DBDC为等腰直角三角形，BC=，可求出BD，则面积可求出．
试题解析： （1）∵抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点，∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+n，∴ ，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）由题意得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF为直角三角形，∴①若△AOB∽△AEF，∴=，∴，∴t=.②△AOB∽△AFE，∴=，
∴，∴t=；综上所述，t=或；（3）如图，存在，过点P作PC∥AB交y轴于C，当直线PC与y=﹣x2+2x+3有且只要一个交点时，DPAB面积.∵直线AB解析式为y=﹣x+3，∴设直线PC解析式为y=﹣x+b，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0，∴△=9﹣4（b﹣3）=0，∴b=.解方程组，得.∴P∴BC=﹣3=.过点B作BD⊥PC，
∴直线BD解析式为y=x+3，∴∠CBD=45°，∴BD=.∴BD=，∵AB=3，∴S=AB×BD=×3×=．即：存在面积，值是，此时点P．
考点：1二次函数；2函数；3类似三角形；4平面直角坐标系中，直线平行与垂直解析式关系.
2022-2023学年湖北省武汉市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一．选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列各数中，倒数是的数是( )
A. 3 B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. （a+2b）2=a2+2ab+b2 C. a6÷a3=a2 D. （﹣2a3）2=4a6
3. 如图，已知直线、被直线所截，，E是直线左边任意一点（点E不在直线，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列各数中最小数是（ ）
A. B. ﹣1 C. D. 0
6. 如右图是用八块完全相反小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
7. 2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位打破10秒大关的黄种人，如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：则苏炳添这五次比赛成绩的众数和中位数分别为（ ）
比赛日期
2012﹣8﹣4
2013﹣5﹣21
2014﹣9﹣28
2015﹣5﹣20
2015﹣5﹣31
比赛地点
英国伦敦
中国北京
韩国仁川
中国北京
美国尤金
成绩（秒）
1019
10.06
10.10
10.06
999
A. 10.06秒，10.06秒 B. 10.10秒，10.06秒
C. 10.06秒，10.10秒 D. 10.08秒，10.06秒
8. 如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
9. 已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（ ）
A. B. C. D.
10. 在同不断角坐标系中，函数和函数（是常数，且） 的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 如今网购越来越多地成为人们的一种消费方式，和的领取买卖额打破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为_____．
12. 在﹣2、1、﹣3这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在、三象限的概率是_____．
13. 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相反，如果这些工人同时工作，则需10小古装卸终了；现改变装卸方式，开始一个人干，当前每隔t（整数）小时添加一个人干，每个参加装卸的人都不断干到装卸终了，且参加的一个人装卸的工夫是个人的，则按改变的方式装卸，自始至终共需工夫_____小时．
14. 如图，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的程度距离为90m，则这栋楼高为_____（到0.1 m）．
15. 四边形ABCD是正方形，点E是直线AB上的一动点，且△AEC是以AC为腰的等腰三角形，则∠BCE的度数为_____．
16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的地位，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即暗影部分面积)为______．
三．解 答 题（共9小题，满分59分）
17. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
18. 如图，中，，，.
（1）点从点开始沿边向以的速度挪动，点从点开始沿边向点以的速度挪动.如果点，分别从，同时出发，几秒，的面积等于？
（2）点从点开始沿边向点以的速度挪动，点从点开始沿边向点以的速度挪动.如果点，分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动工夫；若不能，请阐明理由.
（3）若点沿线段方向从点出发以的速度向点挪动，点沿射线方向从点出发以的速度挪动，，同时出发，问几秒后，的面积为？
19. 已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）当kx+b＞时，请根据图象直接写出x的取值范围．
20. 济南某中学在参加“创文明城，泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制造了两幅不残缺的统计图．
请根据以上信息，回答下列成绩：
（l）杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充残缺条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数______．
（3）请估计全校共征集作品的件数．
（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名先生性别相反的概率．
21. 如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，连接EF．
（1）若EF=2，求△AEF的面积；
（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．
22. 如图，在△ABC中，AB=8，BC=5，AC=7，点D在△ABC的外接圆⊙O上，BC=BD，CD交AB于点E．
（1）求证：△ABC∽△CBE．
（2）求BE的长．
23. 重庆市的严重惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内处理低支出人群的住房成绩，前6年，每年竣工投入运用的公租房面积y（单位：百万平方米），与工夫x的关系是，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入运用的公租房面积y（单位：百万平方米），与工夫x的关系是（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等要素的影响，每年的租金也随之上调，估计，第x年投入运用的公租房的租金z（单位：元/m2）与工夫x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足函数关系如下表：
z（元/m2）
50
52
54
56
58
…
x（年）
1
2
3
4
5
…
（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；
（3）若第6年竣工投入运用的公租房可处理20万人的住房成绩，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积进步a%，这样可处理住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．
（参考数据：，，）
24. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长．
25. 已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，能否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并阐明抛物线平移的方向；若不存在，请阐明理由．
2022-2023学年湖北省武汉市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一．选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列各数中，倒数是的数是( )
A. 3 B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据倒数的定义判断即可.
【详解】-3的倒数是.
故选D.
本题考查倒数的定义,关键在于熟记基础概念.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. （a+2b）2=a2+2ab+b2 C. a6÷a3=a2 D. （﹣2a3）2=4a6
【正确答案】D
【分析】A.a2与a3不是同类项不能合并；B.不符合完全平方公式的特征；C. 同底数幂相除，底数不变指数相减的结果错误；D.不符合积的乘方的运算法则.
【详解】解：A. a2与a3不是同类项不能合并，故A错误；
B. （a+2b）2=a2+4ab+4b2，故B错误；
C. a6÷a3=a3，故C错误；
D. （﹣2a3）2=4a6，故D正确.
故选D
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变．
3. 如图，已知直线、被直线所截，，E是直线左边任意一点（点E不在直线，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】A
【分析】根据点E有3种可能地位，分情况进行讨论，根据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α-β．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β．
即①α+β，②α-β，③β-α，都成立．
故选A．
本题次要考查了平行线的性质的运用，解题时留意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】首先解每个不等式，确定不等式组的解集，然后根据不等式组的解集在数轴上表示方法判断即可．
【详解】，
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
故选：．
本题次要考查了一元不等式组解，此类标题常常要数轴进行判断，掌握不等式组的解集在数轴上表示的方法是解此题的关键．
5. 下列各数中最小的数是（ ）
A. B. ﹣1 C. D. 0
【正确答案】C
【详解】根据实数比较大小的方法，可得
﹣＜﹣＜﹣1＜0，
∴各数中最小的数是：﹣．
故选C．
6. 如右图是用八块完全相反的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，留意一切从正面看到的棱都应表如今主视图中.
【详解】解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.
故选B．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.
7. 2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位打破10秒大关的黄种人，如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：则苏炳添这五次比赛成绩的众数和中位数分别为（ ）
比赛日期
2012﹣8﹣4
2013﹣5﹣21
2014﹣9﹣28
2015﹣5﹣20
2015﹣5﹣31
比赛地点
英国伦敦
中国北京
韩国仁川
中国北京
美国尤金
成绩（秒）
10.19
10.06
10.10
10.06
9.99
A. 10.06秒，10.06秒 B. 10.10秒，10.06秒
C. 10.06秒，10.10秒 D. 10.08秒，10.06秒
【正确答案】A
【详解】试题分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序陈列，位于最两头的一个数（或两个数的平均数）为中位数．根据定义即可求解．
解：在这一组数据中10.06是出现次数最多的，故众数是10.06；
而将这组数据从小到大的顺序陈列为：9.99，10.06，10.06，10.10，10.19，处于两头地位的那个数是10.06，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是10.06．
故选A．
考点：众数；中位数．
8. 如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【正确答案】C
【详解】∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选C．
9. 已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：设⊙O的半径为r．
A．∵⊙O是△ABC内切圆，∴S△ABC=（a+b+c）•r=ab，∴r=；
B．如图，连接OD，则OD=OC=r，OA=b﹣r．∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AB，即∠AOD=∠C=90°，∴△ADO∽△ACB，∴OA：AB=OD：BC，即（b﹣r）：c=r：a，解得：r=；
C．连接OE，OD．∵AC与BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC，OD⊥AC，∴∠OEB=∠ODC=∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形．∵OD=OE，∴矩形ODCE是正方形，∴EC=OD=r，OE∥AC，∴OE：AC=BE：BC，∴r：b=（a﹣r）：a，∴r=；
D．设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E，连接OD、OE．
∵AC、BE是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°，∴四边形ODCE是矩形．
∵OD=OE，∴矩形ODCE是正方形，即OE=OD=CD=r，则AD=AF=b﹣r．
连接OB，OF，由勾股定理得：BF2=OB2﹣OF2，BE2=OB2﹣OE2．∵OB=OB，OF=OE，∴BF=BE，则BA+AF=BC+CE，c+b﹣r=a+r，即r=．
故选C．
点睛：本题考查了切线的性质、切线长定理、平行线分线段成比例定理、正方形的判定与性质以及类似三角形的判定与性质．此题难度较大，留意掌握数形思想与方程思想的运用．
10. 在同不断角坐标系中，函数和函数（是常数，且） 的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】分m＞0及m＜0两种情况考虑两函数的图象，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x=-=-＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=-=-＜0 ，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
故选：D．
本题次要考查函数和二次函数的图象所的象限的成绩，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=-，与y轴的交点坐标为（0，c）．
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 如今网购越来越多地成为人们一种消费方式，和的领取买卖额打破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为_____．
【正确答案】
【分析】科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值>1时，n是负数；当原数的值<1时，n是负数．
【详解】67000000000的小数点向左挪动10位得到6.7，
所以67000000000用科学记数法表示为，
故答案为．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 在﹣2、1、﹣3这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在、三象限的概率是_____．
【正确答案】
【详解】分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得一切等可能的结果与任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在、三象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
详解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在、三象限的有2种情况，
∴任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在、三象限的概率是：．
故答案为．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不反复不遗漏的列出一切可能的结果，列表法合适于两步完成的，树状图法合适两步或两步以上完成的．留意概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相反，如果这些工人同时工作，则需10小古装卸终了；现改变装卸方式，开始一个人干，当前每隔t（整数）小时添加一个人干，每个参加装卸的人都不断干到装卸终了，且参加的一个人装卸的工夫是个人的，则按改变的方式装卸，自始至终共需工夫_____小时．
【正确答案】16
【详解】分析：根据个人与一个人的工作工夫的平均值就是一切工人的工作工夫的平均值，即可列方程求得工作工夫．然后设共有y人参加装卸工作，根据参加的一个人装卸的工夫是个人的，即可列方程求解．
详解：设装卸工作需x小时完成，则人干了x小时，一个人干了x小时，两人共干活x+小时，平均每人干活 (x+)小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，…，
平均每人干活的工夫也是 (x+)小时，
根据题设，得 (x+)=10，
解得x=16（小时）；
设共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时添加一人，因此一人比人少干（y-1）t小时，按题意，
得16-（y-1）t=16×，
即（y-1）t=12，
解此不定方程得，，，，，.
即参加的人数y=2或3或4或5或7或13．
故答案为16．
点睛：本题是一元方程与二元方程的运用，正确理解标题中各个量之间的关系，正确列出相等关系是解题的关键．
14. 如图，从热气球上看一栋高楼顶部仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的程度距离为90m，则这栋楼高为_____（到0.1 m）．
【正确答案】207.8
【详解】试题解析：过点A作垂足为D．
在中，有
在中，有
故这栋楼高BC为（m）．
故答案为207.8m．
15. 四边形ABCD是正方形，点E是直线AB上的一动点，且△AEC是以AC为腰的等腰三角形，则∠BCE的度数为_____．
【正确答案】67.5°或45°或22.5°
【详解】分析：由于没有阐明△AEC的顶点，所以分情况进行讨论．
详解：如图，
当AC=AE时，
以A为圆心，AC为半径作圆交直线AB于点E，
当E在BA的延伸线时，
∴∠EAC=135°，
∴∠BEC=22.5°，
∴∠BCE=∠BCA+∠BEC=67.5°
当E在AB的延伸线时，
∴∠EAC=45°，
∴∠ACE=67.5°
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°
当AC=CE时，
当以C为圆心AC为半径作圆交直线AB于点E
∴∠EAC=∠CEA=45°，
∴∠BCE=45°，
故答案为67.5°或45°或22.5°
点睛：以AC为腰的等腰三角形△AEC中有两种情况：（1）AC=AE，当E在BA的延伸线时和当E在AB的延伸线时求得∠BCE；（2）AC=CE，利用等腰三角形的性质求解.
16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的地位，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即暗影部分面积)为______．
【正确答案】π
【详解】试题分析：整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形BHH1与小扇形BOO1的面积差．扇形BOO1的半径为OB=2，扇形BHH1的半径可在Rt△BHC中求得．而两扇形的圆心角都等于旋转角即120°，由此可求出线段OH扫过的面积．
解：连接BH、BH1
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2
∴AB=4
∴AC= =2
∵H为AC的中点
∴
在Rt△BHC中，BC=2
根据勾股定理可得：BH=
∴S扫=S扇形BHH1﹣S扇形BOO1==π
点睛：本题次要考查旋转的性质. 将暗影部分面积转化为两个扇形的差是解题的难点所在.
三．解 答 题（共9小题，满分59分）
17. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
【正确答案】1
【分析】经过已知等式化简得到未知量的关系，代入目标式子求值．
【详解】∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，且（x﹣y）2≥0，（x﹣z）2≥0，（y﹣z）2≥0，
∴（x﹣y）2=0，（x﹣z）2=0，（y﹣z）2=0．
∴x=y=z．
∴．
本题考查了等式的化简、乘法公式的运用，有一定的难度，难点是恒等变形，灵活运用完全平方公式转化为三个非负数的和为零是关键．
18. 如图，在中，，，.
（1）点从点开始沿边向以的速度挪动，点从点开始沿边向点以的速度挪动.如果点，分别从，同时出发，几秒，的面积等于？
（2）点从点开始沿边向点以的速度挪动，点从点开始沿边向点以的速度挪动.如果点，分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动工夫；若不能，请阐明理由.
（3）若点沿线段方向从点出发以的速度向点挪动，点沿射线方向从点出发以的速度挪动，，同时出发，问几秒后，的面积为？
【正确答案】（1）2秒或4秒 （2）答案见解析 （3）秒或5秒
【分析】（1）根据直角三角形的面积公式和路程=速度×工夫进行求解即可；
（2）设秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（3）分两种情况：①当点在线段上，点在线段上时；
②当点在线段上，点在线段的延伸线上时，进行讨论即可求解.
【详解】解：（1）设秒，的面积等于，依题意有
，
解得，，
经检验，，均符合题意.
答：2秒或4秒，的面积等于.
（2）设秒，线段将分成面积相等的两部分，依题意有
，
化简可得.
∵.∴此方程无实数根.
∴线段不能将分成面积相等的两部分.
（3）当点在线段上，点在线段上时，
设秒，的面积为.
依题意有，
解得（舍去），，
∴；
当点在线段上，点在线段的延伸线上时，
设秒，的面积为.
依题意有，，
解得.
经检验，符合题意.
综上所述，秒或5秒，的面积为.
本题考查了一元二次方程的运用，此题难度较大，属于动点型标题，留意数形思想、分类讨论思想与方程思想的运用.
19. 已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）当kx+b＞时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【正确答案】（1）y=， y=﹣x+；（2）S△POQ= ；（3）或x＜0．
【分析】（1）过P作PC⊥y轴于C，由P（，n），得到OC=n，PC=，根据三角函数的定义得到P（，4），于是得到反比例函数的解析式为y=，Q（4，），解方程组即可得到直线的函数表达式为y=-x+；
（2）过Q作OD⊥y轴于D，于是得到S△POQ=S四边形PCDQ=；
（3）观察图象可得结果．
【详解】解：（1）过P作PC⊥y轴于C，
∵P（，n），
∴OC=n，PC=，
∵tan∠BOP=，
∴n=4，
∴P（，4），
设反比例函数的解析式为y=，
∴a=4，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴Q（4，），
把P（，4），Q（4，）代入y=kx+b中得，，
∴，
∴直线的函数表达式为y=-x+；
（2）过Q作QD⊥y轴于D，
则S△POQ=S四边形PCDQ=×（+4）×（4-）=；
（3）由图象知，
当-x+＞时，＜x＜4或x＜0
本题考查了反比例函数与函数的交点成绩，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数和函数的解析式，正切函数的定义，难度适中，利用数形是解题的关键．
20. 济南某中学在参加“创文明城，泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制造了两幅不残缺的统计图．
请根据以上信息，回答下列成绩：
（l）杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充残缺条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数______．
（3）请估计全校共征集作品的件数．
（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名先生性别相反的概率．
【正确答案】（1）抽样调查（2）150°（3）180件（4）
【详解】分析：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6÷=24（件），C班作品的件数为：24-4-6-4=10（件）；继而可补全条形统计图；
（3）先求出抽取的4个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得一切等可能的结果与两名先生性别相反的情况，再利用概率公式即可求得答案．
详解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为抽样调查．
（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷=24件，
C班有24﹣（4+6+4）=10件，
补全条形图如图所示，
扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°×=150°；
故答案为150°；
（3）∵平均每个班=6件，
∴估计全校共征集作品6×30=180件．
（4）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，两名先生性别相反的有8种情况，
∴恰好选取的两名先生性别相反的概率为．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是处理成绩的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时古典概型求法：（1）算出一切基本的个数n；（2）求出A包含的一切基本数m；（3）代入公式P(A)=，求出P（A）．．
21. 如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，连接EF．
（1）若EF=2，求△AEF的面积；
（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．
【正确答案】（1） （2）证明见解析
【分析】（1）先证明△CDE≌△CBF，得到CD=CB，可得▱ABCD是菱形，则AD=AB，由DE=BF得AE=AF，则△AEF是等边三角形，根据EF的长可得△AEF的面积；
（2）延伸DP交BC于N，连结FN，证明△CPN≌△EPD，得到AE=BN，证明△FBN≌△DEF，得到FN=FD，根据等腰三角形三线合一的性质可得结论．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，
∵BF=DE，∠DCE=∠BCF，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CD=CB，
∴▱ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴AD﹣DE=AB﹣BF，即AE=AF，
∵∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵EF=2，
∴S△AEF=×22=；
（2）证明：如图2，延伸DP交BC于N，连结FN，
∵四边形ABCD菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EDP=∠PNC，∠DEP=∠PCN，
∵点P是CE的中点，
∴CP=EP．
∴△CPN≌△EPD，
∴DE=CN，PD=PN．
又∵AD=BC．
∴AD﹣DE=BC﹣CN，即AE=BN．
∵△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°，EF=AE．
∴∠DEF=120°，EF=BN．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
又∵∠A=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠ABC=∠DEF．
又∵DE=BF，BN=EF．
∴△FBN≌△DEF，
∴DF=NF，
∵PD=PN，
∴PF⊥PD．
构造全等三角形和利用等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
22. 如图，在△ABC中，AB=8，BC=5，AC=7，点D在△ABC的外接圆⊙O上，BC=BD，CD交AB于点E．
（1）求证：△ABC∽△CBE．
（2）求BE的长．
【正确答案】（1）证明见解析（2）
【详解】分析：（1）根据等腰三角形的性质圆周角定理可得出∠BCE=∠BAC，∠CBE=∠ABC即可证出△ABC∽△CBE；
（2）根据类似三角形的性质可得出，代入数据即可求出BE的长．
详解：（1）证明：∵BC=BD，
∴∠BCE=∠BDC．
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠BCE=∠BAC．
∵∠CBE=∠ABC，
∴△ABC∽△CBE．
（2）∵△ABC∽△CBE，
∴，即，
∴BE=．
点睛：本题考查了类似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆与外心，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质圆周角定理找出∠BCE=∠BAC；（2）利用类似三角形的性质求出BE的长．
23. 重庆市的严重惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内处理低支出人群的住房成绩，前6年，每年竣工投入运用的公租房面积y（单位：百万平方米），与工夫x的关系是，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入运用的公租房面积y（单位：百万平方米），与工夫x的关系是（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等要素的影响，每年的租金也随之上调，估计，第x年投入运用的公租房的租金z（单位：元/m2）与工夫x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足函数关系如下表：
z（元/m2）
50
52
54
56
58
…
x（年）
1
2
3
4
5
…
（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；
（3）若第6年竣工投入运用的公租房可处理20万人的住房成绩，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积进步a%，这样可处理住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．
（参考数据：，，）
【正确答案】（1）z=2x+48；（2）第3年租金最多，最多为243百万元；（3）a=20；
【详解】试题分析：（1）设z=kx+b（k≠0），然后把表格中的两组数据代入解析式，解方程组即可；（2）设收取的租金为W百万元，分别求出当1≤x≤6时和当7≤x≤10时的W与x的函数关系式，然后分别求出两个函数的值，比较大小，可确定收取的租金的值；（3）先求出第6年和第10年的投入运用的公租房面积，然后根据题意列方程得：20×（1-1．35a％）×20×（1+a％）=350，然后解方程即可．
试题解析：解：（1）由题意，z与x成函数关系，
设z=kx+b（k≠0）．把（1，50）．（2，52）代入，
得 ∴z=2x+48． （2分）
（2）当1≤x≤6时，设收取的租金为W1百万元，则
W1=（-x+5）•（2x+48）
=-x2+2x+240，
∵对称轴x=-≠=3，而1≤x≤6，
∴当x=3时，W1=243（百万元）．
当7≤x≤10时，设收取的租金为W2百万元，则
W2=（-x+）·（2x+48）
=-x2+x+228．
∵对称轴x=-=7，而7≤x≤10，
∴当x=7时，W2=（百万元）．
∵243>，
∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元． （6分）
（3）当x=6时，
y=-×6+5=4百万平方米=400万平方米；
当x=10时，
y=-×10+=3．5百万平方米=350万平方．
∵第6年可处理20万人住房成绩，
∴人均住房为400÷20=20平方米．
由题意20×（1-1．35a％）×20×（1+a％）=350．
设a％=m，化简为54m2+14m-5=0，
Δ=142-4×54×（-5）=1276，
∴m=
∵≈17．8，∴m1=0．2，m2=-（不符题意，舍去）．
∴a％=0．2，∴a=20．
答：a的值为20． （10分）
考点：1．待定系数法求解析式；2．二次函数的运用；3．一元二次方程的运用．
24. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长．
【正确答案】（1）CF=；（2）y=（0＜x＜2）；（3）AB=2.5.
【详解】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形类似，可得△CEF∽△CAE，然后根据类似三角形的性质和勾股定理可求解；
（2）根据类似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；
（3）由（2）中的类似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由∠ABE的正切值求解.
试题解析：（1）∵AD=CD．
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠CEB=45°，
∴∠DAC=∠CEB，
∵∠ECA=∠ECA，
∴△CEF∽△CAE，
∴，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE= ，
∵CA=，
∴，
∴CF=；
（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，
∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，
∴∠ECA=∠ABF，
∵∠CAE=∠ABF=45°，
∴△CEA∽△BFA，
∴（0＜x＜2），
（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，
∴，
∴，
∴AB=x+2，
∵∠ABE的正切值是，
∴tan∠ABE=，
∴x=，
∴AB=x+2=．
25. 已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，能否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并阐明抛物线平移的方向；若不存在，请阐明理由．
【正确答案】(1) 抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；C（ ，﹣ ）．(2) ﹣1＜m＜0或3＜m＜4;(3)
【详解】分析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
（2）由于AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′关于x轴对称点的坐标为C″，得到直线P″C″的解析式，然后把A点的坐标代入即可．
详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，
∴C（，﹣）．
（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M（，0），⊙M的半径=．
∵P′是抛物线与y轴的交点，
∴OP′=2，
∴MP′=，
∴P′在⊙M上，
∴P′的对称点（3，﹣2），
∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．
（3）存在；
抛物线向左或向右平移，由于AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只需AC′+BP′最小；
种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，﹣2），
又∵C（，﹣）
∴C'（﹣t，﹣），P'（3﹣t，﹣2），
∵AB=5，
∴P″（﹣2﹣t，﹣2），
要使AC′+BP′最短，只需AC′+AP″最短即可，
点C′关于x轴的对称点C″（﹣t，），
设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，
，
解得
∴直线y=，
当P″、A、C″在一条直线上时，周长最小，
∴=0
∴t=．
故将抛物线向左平移个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．
点睛：利用轴对称性质处理几何图形中的最值成绩借助的次要基本定理有两个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边.
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