初中数学北师大版九年级下册8 圆内接正多边形当堂检测题

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8　圆内接正多边形(打√或×)1．任何一个正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，它们是同心圆，圆心叫正多边形的中心．(√)2．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心．(×)3．正n边形中心角的度数与正n边形的一个外角相等，等于.(√)4．正多边形的半径等于它内切圆的半径．(×)5．正多边形外接圆的半径就是它的边心距．(×)6．圆有一个内接正多边形和一个外切正多边形．(×)·知识点　正多边形的相关概念及性质1．(概念应用题)正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据应(A)A．把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形B．把圆n等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形C．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形D．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法2．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的直径为2，则该正六边形的周长是(C)A．12    B．6    C．6    D．33．(2021·龙岩期末)在正六边形ABCDEF中，若BE＝10，则这个正六边形外接圆的半径是(B)A．    B．5    C．    D．54．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为(D)A．8    B．7    C．6    D．55．边长为6的正三角形的外接圆的周长为(D)A．π    B．2π    C．3π    D．4π6．(2021·福州质检)正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为(C)A．1∶    B．∶2    C．2∶    D．∶17．某正多边形外接圆的半径为4，边心距为2，则该正多边形的边长为__4__．8．(2021·厦门期中)边长为2的正方形ABCD的外接圆半径是____．9.如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P.(1)求证：△ABG≌△BCH；(2)求∠APH的度数．【解析】(1)∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，在△ABG与△BCH中，∴△ABG≌△BCH；(2)由(1)知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG＝∠HBC，∴∠BPG＝∠ABG＝120°，∴∠APH＝∠BPG＝120°.1．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是(B)A．互余    B．互补    C．互余或互补    D．不能确定2．若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3，a4，a6，则a3∶a4∶a6等于(D)A．1∶∶    B．1∶2∶3    C．3∶2∶1    D．∶∶13．(2021·厦门期末)如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF、BE，则关于△BFE外心的位置，下列说法正确的是(D)A．在△ABF内    B．在△BFE内    C．在线段BF上    D．在线段BE上4．(2021·泉州期中)如图，若干相同的正五边形排成环状．图中已经排好前3个正五边形，还需________个正五边形完成这一圆环．(B)A．6    B．7    C．8    D．95．如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM∶S四边形MCDN的值为(A)A．    B．    C．    D．6．(2021·莆田期末)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADC的度数是__72°__．7．(2021·福州期末)如图，正△ABC内接于半径是1的圆，则阴影部分的面积是__π－__．8．如图1，2，3，…，n，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是________，图3中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).【解析】见全解全析·易错点　误认为正多边形的边心距是正多边形的半径【案例】一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(A)A．2    B．    C．1    D．            8　圆内接正多边形__必备知识·基础练【易错诊断】1．√　2.×　3.√　4.×　5.×　6.×　【对点达标】1．A　正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形．2．C　∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的直径是2，∴⊙O的半径为1，∴正六边形ABCDEF的边长为1，∴正六边形ABCDEF的周长是：1×6＝6.3．B　∵BE＝10，∴正六边形外接圆直径长为10，∴这个正六边形外接圆的半径长为5.4．D　这个正多边形的边数是360÷72＝5.5．D　如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，作OD⊥BC于D，连接OB，OC.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3.在Rt△OBD中，∠OBD＝30°，OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝2，∴⊙O的周长＝2π×2＝4π.6．C　设正六边形的半径是r，则外接圆的半径是r，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2∶.7．【解析】∵正多边形外接圆的半径为4，边心距为2，∴正多边形的边长的一半为：＝2，∴边长为2×2＝4.答案：48．【解析】作OE⊥AD于E，连接OD，则AE＝DE＝1，∵∠EOD＝45°，∴OE＝ED＝1.在Rt△ODE中，OD＝＝.答案：9．解析见正文__关键能力·综合练1．B　设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为，正多边形的一个外角等于，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．2．D　设圆的半径是r，如图1，内接正三角形的边长a3＝r，如图2，内接正方形的边长是a4＝r，如图3，正六边形的边长是a6＝r，因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比a3∶a4∶a6＝∶∶1.3．D　∵六边形ABCDEF是正六边形，∴六边形ABCDEF的内角和为(6－2)×180°＝720°，∴∠A＝∠AFE＝＝120°，∵AB＝AF，∴∠AFB＝＝＝30°，∴∠BFE＝∠AFE－∠AFB＝120°－30°＝90°，∴△BFE是直角三角形，BE是斜边，∴△BFE的外心在BE边上．4．B　延长正五边形的相邻两边，交于圆心O，∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°－72°－72°＝36°，∴360°÷36°＝10，∴排成圆环需要10个正五边形，故排成圆环还需7个正五边形．5．A　设正六边形的边长为a.则S△PCD＝×a×a＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2.由题意MN是△PCD的中位线，∴S△PMN＝S△PCD＝a2，∴S四边形MNDC＝a2－a2＝a2，∴S△BMC＝S△DNE＝(a2－a2)＝a2，∵PM＝CM，∴S△PBM＝S△BMC＝a2，∴S△PBM∶S四边形MCDN＝1∶2. 6．【解析】如图，连接OA，OB.∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴∠ADB＝∠AOB＝36°.∵AB＝BC，∴＝，∴∠ADB＝∠BDC＝36°，∴∠ADC＝72°.答案：72°7．【解析】设该圆的圆心为O，连接OA、OB，延长AO交BC于点D，∵正△ABC内接于半径是1的圆，∴O为△ABC的中心，OA＝OB＝1，∠ABC＝60°，∴∠1＝∠ABC＝30°，AD⊥BC.在Rt△ODB中，OD＝OB＝，BD＝＝，∴AD＝OA＋OD＝，BC＝2BD＝，∴S阴影＝S圆－S△ABC＝π×12－BC·AD＝π－.答案：π－8．【解析】分别连接OB，OC，(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OC＝OB，O是外接圆的圆心，∴CO平分∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OMB≌△ONC，∴∠BOM＝∠NOC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°；∴∠MON＝∠BOC＝120°；(2)同(1)可得，图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°.答案：90°　72°(3)由(1)可知，在图1中∠MON＝＝120°；在图2中，∠MON＝＝90°；在图3中，∠MON＝＝72°…，故当为正n边形时，∠MON＝.【易错必究】·易错点【案例】A　设多边形的边数为n.因为正多边形内角和为(n－2)·180°，正多边形外角和为360°，根据题意得：(n－2)·180°＝360°×2，n－2＝2×2，n＝6.故正多边形为六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.