第四章 4.4.2 第1课时 课后课时精练

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4.4.2　对数函数的图象和性质第1课时　对数函数的图象和性质(教师独具内容)课程标准：能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．教学重点：对数函数的图象及性质．教学难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的应用.【知识导学】知识点一　　　对数函数的图象和性质  知识点二　　　指数函数与对数函数的关系【新知拓展】底数对函数图象的影响对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx的图象如图所示，可得如下规律：①y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称；②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　)(2)当0<a<1时，y＝logax在定义域上单调递增．(　　)(3)函数y＝logax的定义域和值域均为(0，＋∞)．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y＝log3x(1≤x≤9)的值域为(　　)A．[0，＋∞) B．RC．(－∞，2] D．[0,2](2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．(3)已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)答案　(1)D　(2)(－∞，0)　(3)增  题型一  对数函数的图象和性质例1　如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．[解析]　由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0<c<1,0<d<1.过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c，d，a，b，显然b>a>1>d>c>0.[答案]　b>a>1>d>c>0 金版点睛根据对数函数的图象判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．   　已知0<a<1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)答案　D解析　因为0<a<1，所以y＝ax单调递减，y＝logax单调递减，而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称，所以选D．  例2　若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．[解析]　∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋C．又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2，由loga(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.[答案]　－2,2金版点睛画对数函数图象时要注意的问题(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1.(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和.   　函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．答案　(0，－2)解析　因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).题型二  对数式的大小比较例3　比较下列各组中两个值的大小：(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)．[解]　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32.(2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπ<loga3.14.综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14.金版点睛比较对数式大小的常用方法(1)比较同底的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性．(2)比较不同底数的两个对数式的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小．(3)比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量(如1,0，－1等)．(4)比较多个对数式的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可．(5)比较含参数的两个对数式的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件．例如：比较loga(b2－b＋1)与loga的大小时，要注意隐含条件：b2－b＋1＝2＋≥>.   　比较下列各组中两个值的大小：(1)3log45,2log23；(2)log30.2，log40.2；(3)log3π，logπ3；(4)log0.20.1,0.20.1.解　(1)∵3log45＝log4125,2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，又125>81，∴3log45>2log23.(2)∵0>log0.23>log0.24，∴<，即log30.2<log40.2.(3)∵函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且π>3，∴log3π>log33＝1.同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.(4)∵函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，且0.1<0.2，∴log0.20.1>log0.20.2＝1.∵函数y＝0.2x在R上是减函数，且0<0.1，∴0.20.1<0.20＝1.∴log0.20.1>0.20.1. 题型三  与对数有关的函数的值域问题例4　求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log (3＋2x－x2)．[解]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2.所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.因为u>0，所以0<u≤4.又y＝logu在(0,4]上为减函数，所以logu≥log4＝－2，所以y＝log (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．金版点睛1求与对数函数相关的复合函数的值域最值，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围.2对于形如y＝logafxa>0，且a≠1的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y＝logau，u＝fx两个函数；②求fx的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解.    　函数y＝lg (1＋32－x2)的值域为(　　)A．(－∞，1) B．(0,1]C．[0，＋∞) D．(1，＋∞)答案　B解析　∵2－x2≤2，∴0<32－x2≤9，∴1<1＋32－x2≤10，∴0<lg (1＋32－x2)≤1，∴y＝lg (1＋32－x2)的值域为(0,1].题型四  与对数函数有关的函数图象问题例5　作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．[解]　第一步，作y＝log2x的图象，如图①所示．第二步，将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示．第三步，将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示．第四步，将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④所示．金版点睛1一般地，函数y＝fx±a±ba，b为正数的图象可由函数y＝fx的图象变换得到.将y＝fx的图象向左或向右平移a个单位长度可得到函数y＝fx±a的图象，再向上或向下平移b个单位长度可得到函数y＝fx±a±b的图象记忆口诀：左加右减，上加下减.2含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换，一般地，y＝f|x－a|的图象是关于x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象是将y＝fx的图象在x轴上方的部分保留，将在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换得到的.3y＝fx的图象与y＝f－x的图象关于y轴对称，y＝fx的图象与y＝－fx的图象关于x轴对称. 　当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　)A．(0,1) B．(1,2)C．(1,2] D．答案　C解析　设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图所示，要使当x∈(1,2)时，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，所以1<a≤2，故选C．  1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是(　　)A．5   B．C．   D．答案　A解析　∵函数y＝logax的图象逐渐上升，∴函数y＝logax为单调增函数，∴a>1，故选A．2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)A．a>c>b   B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案　D解析　a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c，故选D．3．函数f(x)＝log3(x2＋1)的值域为(　　)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)答案　B解析　因为x2＋1≥1，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以log3(x2＋1)≥log31＝0，故该函数的值域为[0，＋∞)．4．若函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．答案　(2,2)解析　令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．5．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg (x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．解　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝lg (1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg (1－x)，∴f(x)的解析式为f(x)＝f(x)的大致图象如图所示．