第四章 4.4.2 第2课时 课后课时精练

第2课时　对数函数性质的应用

(教师独具内容)

课程标准：了解并掌握对数函数的图象、性质及单调性．知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．

教学重点：对数函数的单调性及应用．

教学难点：对数函数性质的综合应用.

【知识导学】

知识点一　　　对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的性质

(1)定义域：(0，＋∞)．

(2)值域：(－∞，＋∞)．

(3)定点：(1,0)．

(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数．

(5)函数值变化

当a>1，x>1时，y∈(0，＋∞)，

0<x<1时，y∈(－∞，0)；

当0<a<1，x>1时，y∈(－∞，0)，

0<x<1时，y∈(0，＋∞)．

(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．

知识点二　　　反函数的概念

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域．

【新知拓展】

(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．互为反函数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示：

 (2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性．

(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．

(4)求反函数的步骤：

①求出函数y＝f(x)的值域；

②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；

③把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．

(5)如何解以下三类不等式：①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论．

②形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．

③形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　)

(2)函数y＝logax的图象与y＝ax的图象关于直线y＝x对称．(　　)

(3)函数y＝logax的图象过定点(1,0)．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f＝________.

(2)函数y＝2loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．

(3)已知loga<loga1，则a的取值范围为________．

答案　(1)－5　(2)(2,0)　(3)(1，＋∞)

题型一  对数函数单调性的应用

例1　(1)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围；

(2)已知loga>1，求a的取值范围；

(3)求函数y＝log (1－x2)的单调递增区间．

[解]　(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.7(2x)<log0.7(x－1)，得

解得x>1.∴x的取值范围为(1，＋∞)．

(2)由loga>1，得loga>logaA．

①当a>1时，有a<，此时无解．

②当0<a<1时，有<a，所以<a<1.

∴a的取值范围是.

(3)要使函数有意义，则有1－x2>0⇔x2<1⇔－1<x<1.

∴函数的定义域为(－1,1)．

令t＝1－x2，x∈(－1,1)．

在(－1,0)上，x增大，t增大，y＝logt减小，

即在(－1,0)上，y随x的增大而减小，为减函数；

在[0,1)上，x增大，t减小，y＝logt增大，即在[0,1)上，y随x的增大而增大，为增函数．

∴y＝log (1－x2)的单调递增区间为[0,1)．

[结论探究]　本例(3)中改求此函数的值域．

解　由y＝logu，u＝1－x2，可知0<u≤1，

∴y＝logu的值域为[0，＋∞)．

金版点睛

求对数型函数单调区间的方法

(1)求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．

(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求证；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，利用“同增，异减”的结论，判定y＝logaf(x)的单调性并确定单调区间．

(3)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．

　求函数y＝lg (x2－2x)的单调递增区间．

解　由已知，得x2－2x>0，解得x>2或x<0.因为y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数，而y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，所以y＝lg (x2－2x)的单调递增区间为(2，＋∞).

题型二  对数函数性质的综合应用

例2　已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log (x＋7)．

(1)求f(1)，f(－1)；

(2)求函数f(x)的表达式；

(3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值范围．

[解]　(1)f(1)＝log8＝－3，

f(－1)＝－f(1)＝3.

(2)因为f(x)在R上为奇函数，

所以f(0)＝0，

令x＜0，则－x＞0，

所以f(x)＝－f(－x)＝－log (－x＋7)，

(3)当x∈(0，＋∞)时，y＝log (x＋7)，令u＝x＋7，则y＝logu.由于u＝x＋7是增函数，y＝logu是减函数，则y＝log (x＋7)在(0，＋∞)上是减函数，又由于f(x)是奇函数且f(0)＝0，所以y＝f(x)是R上的减函数．

由f(a－1)<f(3－a)，得a－1>3－a，解得a>2.

[条件探究]　本例中，若函数f(x)是偶函数，试求当x＜0时，函数f(x)的表达式．

解　令x＜0，则－x＞0，因为函数f(x)是偶函数，

所以f(x)＝f(－x)＝log (－x＋7)＝log (7－x)．

故当x＜0时，f(x)＝log (7－x)．

金版点睛

图象与性质是解决对数函数问题的常用方法

对数函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提．

　已知函数f(x)＝lg .

(1)若f(x)为奇函数，求a的值；

(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值．

解　(1)∵f(x)为奇函数，

∴f(x)＋f(－x)＝0，

即lg ＋lg ＝0，∴＝1，

解得a＝1(a＝－1舍去)．

(2)由(1)知f(x)＝lg ，则>0，

即或解得－1<x<1，即其定义域为(－1,1)．

∵x∈(－1,1)时，t＝＝－1＋为减函数，而y＝lg t在其定义域内为增函数，∴f(x)＝lg 在其定义域内是减函数，则m＝－1，由题意知f(n)＝lg ＝－1，解得n＝，即m＝－1，n＝.

题型三  反函数的应用

例3　写出下列函数的反函数(用x表示自变量，用y表示函数)：

(1)y＝2.5x；(2)y＝logx.

[解]　(1)函数y＝2.5x的反函数是y＝log2.5x(x>0)．

(2)由y＝logx得x＝y，所以函数y＝logx的反函数为y＝x.

金版点睛

1互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.

2若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称.

　已知函数f(x)＝ax－k(a>0，且a≠1)的图象过点(1,3)，其反函数的图象过点(2,0)，求函数f(x)的解析式．

解　由于函数f(x)的反函数的图象过点(2,0)，

∴f(x)的图象过点(0,2)，∴2＝a0－k，即k＝－1，

∴f(x)＝ax＋1.

又f(x)的图象过点(1,3)，∴3＝a＋1，即a＝2，

∴f(x)＝2x＋1.

1．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)＝(　　)

A．－log2x B．log2(－x)

C．logx2 D．－log2(－x)

答案　D

解析　令x<0，则－x>0，根据题意f(－x)＝log2(－x)，－f(x)＝log2(－x)，即f(x)＝－log2(－x)，故选D．

2．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg (x＋1)的图象关于直线x－y＝0对称，则f(x)＝(　　)

A．10x－1 B．1－10x

C．1－10－x D．10－x－1

答案　A

解析　若两函数图象关于直线y＝x对称，则两函数互为反函数，故y＝lg (x＋1)，则x＋1＝10y，x＝10y－1，即y＝10x－1.故选A．

3．函数f(x)＝lg 的奇偶性是(　　)

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

答案　A

解析　∵f(x)的定义域为R，

f(－x)＝lg ＝lg (＋x)

＝lg －1＝－lg ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，选A．

4．设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝，则a＝________.

答案　－2

解析　∵函数f(x)＝log2x的反函数为y＝2x，即g(x)＝2x.又∵g(a)＝，∴2a＝，∴a＝－2.

5．已知2loga(x－4)>loga(x－2)，求x的取值范围．

解　由题意，得x>4，原不等式可变为loga(x－4)2>loga(x－2)．

当a>1时，y＝logax为定义域内的增函数，

∴解得x>6.

当0<a<1时，y＝logax为定义域内的减函数，

∴解得4<x<6.

综上所述，当a>1时，x的取值范围为(6，＋∞)；

当0<a<1时，x的取值范围为(4,6)．