2023高考数学二轮复习专题21 平面向量的概念、线性运算及坐标表示（原卷版）

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专题21平面向量的概念、线性运算及坐标表示
【考点预测】
一．向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二．向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则平行四边形法则
①交换律

②结合律

减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差

三角形法则

数乘
求实数与向量的积的运算
（1）
（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；
当时，



【注意】
（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重
合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．
三．平面向量基本定理和性质
1．共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2．平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3.线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
D
A
C
B

4.三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
5.中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
D
A
C
B

四．平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
五．平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
【方法技巧与总结】
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即．
（2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（4）减法公式：，常用于向量式的化简．
（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．

【题型归纳目录】
题型一：平面向量的基本概念
题型二：平面向量的线性表示
题型三：向量共线的运用
题型四：平面向量基本定理及应用
题型五：平面向量的直角坐标运算

【典例例题】
题型一：平面向量的基本概念
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（       ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形

例2．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

例3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足，且与同向，则；
③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；
④的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

例4．（2022·江苏江苏·一模）平面内三个单位向量，，满足，则（       ）
A．，方向相同 B．，方向相同
C．，方向相同 D．，，两两互不共线

例5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（       ）
A． B．
C．或 D．或

例6．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（       ）
A．若，则
B．
C．若向量是非零向量，则与方向相同
D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使

例7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状，判断正确的有（       ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形

例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（       ）
A．若，则或
B．若，，则
C．若， ，则
D．若，，则或


【方法技巧与总结】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.
题型二：平面向量的线性表示
例9．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ）
A． B． C． D．

例10．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）


A． B． C． D．

例11．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如图，中，，，点E是的三等分点，则（       ）


A． B． C． D．

例12．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD中，，G
为EF的中点，则（　　）
A． B．
C． D．

例13．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（     ）


A． B．
C． D．

例14．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（       ）
A． B．
C． D．

例15．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（       ）
A． B． C． D．

例16．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））中，是边上靠近的三等分点，则向量（       ）
A． B．
C． D．

例17．（多选题）（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（       ）


A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
题型三：向量共线的运用
例18．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（       ）
A．且 B． C． D．

例19．（2022·四川绵阳·二模（理））已知平面向量，不共线，，，，则（       ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线

例20．（2022·全国·高三专题练习）已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（       ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

例21．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（       ）
A．2 B． C． D．

例22．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（       ）

A．4 B． C． D．2

例23．（2022·全国·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ）
A．9 B．8 C．4 D．2

例24．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（       ）
A． B． C． D．

例25．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（       ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D

例26．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________ ．

例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________．


例28．（2022·全国·高三专题练习）已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．

例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．


例30．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？


【方法技巧与总结】
要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）.若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=.

题型四：平面向量基本定理及应用
例31．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

例32．（2022·全国·高三专题练习）在等边中，O为重心，D是的中点，则（       ）
A． B． C． D．

例33．（2022·河南郑州·三模（理））在中，是上一点，，是线段上一点，，则（       ）
A． B． C． D．

例34．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（       ）

A．1 B． C． D．2

例35．（2022·河南商丘·三模（理））如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（       ）

A． B． C． D．

例36．（2022·山东济宁·三模）在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.

例37．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．

【方法技巧与总结】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三点共线定理： A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点.

题型五：平面向量的直角坐标运算
例38．（2022·江苏·高三专题练习）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（       ）
A． B． C． D．2

例39．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________.

例40．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为______．

例41．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知向量，且与共线，则_________．

【方法技巧与总结】
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．
（3）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则．
（4）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））下列说法错误的是（       ）
A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线
C．单位向量长度都相等 D．，，均为非零向量，若，则
2．（2022·全国·高三专题练习）已知下列结论：①；②；③；④⑤若 ，则对任一非零向量有；⑥若，则与中至少有一个为 ；⑦若与是两个单位向量，则.则以上结论正确的是（       ）
A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤
3．（2022·北京·101中学高三阶段练习）在边长为1的正方形ABCD中，若，，，则等于（       ）
A．0 B．1 C．2 D．2
4．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）下面四个命题哪些是平面向量，共线的充要条件（       ）
A．存在一个实数， B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，方向相同或相反 D．存在不全为零的实数，，
5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（       ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（       ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在中，E，F分别为的中点，点D是线段（不含端点）内的任意一点，，则（       ）
A． B． C． D．
8．（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（理））已知D，E为所在平面内的点，且，，若，则（       ）
A．-3 B．3 C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知向量不共线，且，其中，若三点共线，则角的值可以是（       ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·模拟预测）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD， BC交于点F，H设，，则（       ）

A． B． C． D．
11．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）已知向量，将向量绕原点逆时针旋转90°得到向量，将向量绕原点顺时针旋转135°得到向量，则（       ）
A． B．
C． D．
12．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）如下图所示，B是AC的中点，，P
是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是（       ）

A．当P是线段CE的中点时，，
B．当时，
C．若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．的最大值为
三、填空题
13．（2022·安徽·模拟预测（理））给出下列命题：
①若同向，则有；   
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
14．（2022·全国·模拟预测（文））在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．
15．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．
16．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，E、F是边，上的点，，，若，则平行四边形的面积为_________．