2023高考数学二轮复习专题21 平面向量的概念、线性运算及坐标表示（解析版）

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专题21平面向量的概念、线性运算及坐标表示
【考点预测】
一．向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二．向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则平行四边形法则
①交换律

②结合律

减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差

三角形法则

数乘
求实数与向量的积的运算
（1）
（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；
当时，



【注意】
（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重
合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．
三．平面向量基本定理和性质
1．共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2．平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3.线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
D
A
C
B

4.三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
5.中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
D
A
C
B

四．平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
五．平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
【方法技巧与总结】
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即．
（2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（4）减法公式：，常用于向量式的化简．
（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．

【题型归纳目录】
题型一：平面向量的基本概念
题型二：平面向量的线性表示
题型三：向量共线的运用
题型四：平面向量基本定理及应用
题型五：平面向量的直角坐标运算

【典例例题】
题型一：平面向量的基本概念
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（       ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.
【详解】
在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
例2．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．
【详解】
对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
例3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足，且与同向，则；
③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；
④的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. ，为相反向量；④错误.   A与C，B与D不一定重合.
【详解】
①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.
④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.
故选：C
【点睛】
易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.
例4．（2022·江苏江苏·一模）平面内三个单位向量，，满足，则（       ）
A．，方向相同 B．，方向相同
C．，方向相同 D．，，两两互不共线
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，得，两边利用单位向量的平方等于1，即可求出，解得，方向相同.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，方向相同，
故选：A.
例5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得．
【详解】
易知是与垂直的向量，，
所以与平行的单位向量为或，
故选：D．
例6．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（       ）
A．若，则
B．
C．若向量是非零向量，则与方向相同
D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用向量的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
向量不等比较大小，故A选项错误.
向量加法、减法的结果仍为向量，故B选项错误.
与方向相同，C选项正确.
根据向量共线的知识可知D选项正确.
故选：CD
例7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状，判断正确的有（       ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
【答案】AB
【解析】
【分析】
依据平行四边形判定定理判断选项A；依据梯形判定定理判断选项B；依据菱形判定定理判断选项C；依据正方形判定定理判断选项D.
【详解】
选项A：若，则，，则四边形为平行四边形.判断正确；
选项B：若，则，，则四边形为梯形. 判断正确；
选项C：若，则，
则，即.仅由不能判定四边形为菱形.判断错误；
选项D：若，则，，则四边形为平行四边形，
又由，可得对角线，则平行四边形为菱形. 判断错误.
故选：AB
例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（       ）
A．若，则或
B．若，，则
C．若， ，则
D．若，，则或
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
对于A，模长相等的两个向量方向任意，不一定平行；对于B，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当时，无法推出这两点，故B不正确；对于C，当时，选项不正确；对于D，或，即可得到D错误.
【详解】
对于A，若，则两个向量的方向可以是任意的，不一定是平行的，故A不正确；
对于B，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当时，满足，
和的方向可以是任意的，且两者的模长也不一定相同，故B不正确；
对于C，若， ，当时，满足， ，但是不满足，故C错误；
对于D，或者，即或，故D错误；
故选：ABCD.

【方法技巧与总结】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.
题型二：平面向量的线性表示
例9．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，根据向量的线性运算，得到，结合，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
如图所示，设，且，
则，
又因为，
所以，解得，所以.
故选：B.

例10．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
所以.
故选：C.
例11．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如图，中，，，点E是的三等分点，则（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.
【详解】

故选：B.
例12．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果.
【详解】
．
故选：B.
例13．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（     ）


A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由平面向量的运算对选项逐一判断
【详解】
对于A，，故A正确，
对于B：因为，，所以，故B正确，
对于C：由题意是的外心，不是的重心
设中点为，则，
，故C错误，
对于D：，故D正确．
故选：C
例14．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､
垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误.
【详解】

依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
例15．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得，再分析求解即可.
【详解】
如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，
所以为三角形的重心，所以.
故选：B.

例16．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））中，是边上靠近的三等分点，则向量（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算，即可得出结论.
【详解】
解：因为点是边上靠近的三等分点，所以，
所以；
故选：C.
例17．（多选题）（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（       ）


A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
连接DH，AF，CH，BH，利用五角星的结构特征逐项分析判断作答.
【详解】
对于A，连接DH，如图，由DF=FH，得：，，A正确；


对于B，连接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，则，B正确；
对于C，与不共线，C不正确；
对于D，连接CH，BH，由选项A知，，而，则四边形是平行四边形，
，D不正确.
故选：AB
【方法技巧与总结】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
题型三：向量共线的运用
例18．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（       ）
A．且 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据充分条件的定义以及平面向量的有关概念即可解出．
【详解】
对于A，当且时，或，A错误；
对于B，当时，，B错误；
对于C，当时，或，C错误；
对于D，当时，，D正确．
故选：D．
例19．（2022·四川绵阳·二模（理））已知平面向量，不共线，，，，则（       ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.
【详解】
平面向量，不共线，，，，
对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，因，，则与不共线，B不正确；
对于C，因，，则与不共线，C不正确；
对于D，，即，
又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.
故选：D
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知，是不
共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（       ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线.
【详解】
对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在
，因为，是不共线向量，
故得到无解.
故选：A.
例21．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.
【详解】
因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
故选：C．
例22．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（       ）

A．4 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量共线定理可设，，，，再结合得，最后运用基本不等式可求解.
【详解】
设，，，，
则，，，，.
所以，
当且仅当，时等号成立.
所以的的最小值是.
故选：B
例23．（2022·全国·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ）
A．9 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】
因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A
例24．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据O，A，B三点共线，则，，，代入整理．
【详解】
因为O，A，B三点共线，则
所以，，即
整理得：
又∵向量，不共线，则，则
故选：A．
例25．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（       ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.
【详解】
因为，，，
选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；
选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
故选：A.
例26．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________ ．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】
根据向量相等的概念及向量共线的概念即可判断.
【详解】
对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则，显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确，
对于⑤，当时，，，但推不出，故⑤不正确.
故答案为：②③
例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
先利用条件找到，则，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】
，，又，
∴，
∴，
又、、三点共线，
∴，
∴，
当且仅当，即时取等，
∴的最小值为．

故答案为：
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，即求.
【详解】
根据条件：，

如图设D为BC的中点，则
因为G是的重心，，
，
又M，G，N三点共线，
，即.
故答案为：3.
例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．

【答案】8
【解析】
【分析】
设，，由，，，共线可得，
再利用乘“1”法求解最值.
【详解】
设，，
，，，共线，，．
，则，
点，是线段上两个动点，，．

则的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
由向量共线定理的推论得到是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法..
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
【答案】存在
【解析】
【分析】
由已知得，所以要使与共线，则应有实数，使，即，从而得，进而可求得结果
【详解】
因为向量，，
所以

要使与共线，则应有实数，使，
即，
即得.
故存在这样的实数λ，μ，只要，就能使与共线.

【方法技巧与总结】
要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）.若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=.

题型四：平面向量基本定理及应用
例31．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长
【详解】
在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．
设，
则

由，可得
则，解之得，则
则
又，则，解之得，即的长为4
故选：C
例32．（2022·全国·高三专题练习）在等边中，O为重心，D是的中点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用平面向量的线性运算计算作答.
【详解】
O为的重心，延长AO交BC于E，如图，

E为BC中点，则有，而D是的中点，
所以.
故选：D
例33．（2022·河南郑州·三模（理））在中，是上一点，，是线段上一点，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得，设，其中，利用平面向量的线性运算可得出，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值.
【详解】
因为，则，所以，，
，
因为是线段上一点，设，其中，
所以，，解得.
故选：D.
例34．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（       ）

A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算可求的值.
【详解】
，而，
故，
而且不共线，故，
故选：C.
例35．（2022·河南商丘·三模（理））如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意推出，可得，推出，根据向量的加减运算，用基底表示出，和比较，可得，即得答案.
【详解】
连结DE，

由题意可知，，
所以，则，
所以，所以，，
则，
故，
又，所以，，则，
故选：A
例36．（2022·山东济宁·三模）在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得，求出，所以，即，求解即可.
【详解】
因为，所以，又，
即，因为点在线段上，
所以，，三点共线，由平面向量三点共线定理得，，即，
所以，又是边长为的等边三角形，
所以
，故.
故答案为：.
例37．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由平面向量基本定理得到，，从而求出答案.
【详解】
由已知，得，
所以，
因为，所以，，
所以．
故答案为：
【方法技巧与总结】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三点共线定理： A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点.

题型五：平面向量的直角坐标运算
例38．（2022·江苏·高三专题练习）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（       ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.
【详解】
在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，

令，则，，
，因，
于是得，解得，
所以的值为.
故选：B
例39．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________.
【答案】         
【解析】
【详解】


解：以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，
所以，，
设，所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
故答案为：；10.
例40．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】
因为，，所以，
又，所以，解得．
故答案为：
例41．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知向量，且与共线，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求解作答.
【详解】
因向量，且与共线，则，解得，
所以.
故答案为：
【方法技巧与总结】
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．
（3）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则．
（4）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））下列说法错误的是（       ）
A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线
C．单位向量长度都相等 D．，，均为非零向量，若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的基本性质逐一判断即可.
【详解】
规定：零向量与任一向量都平行，故A正确；
方向相反的两个向量一定共线，故B正确；
单位向量长度都为1，故C正确；
当时，且成立，但不一定成立，故D错误；
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知下列结论：①；②；③；④⑤若 ，则对任一非零向量有；⑥若，则与中至少有一个为 ；⑦若与是两个单位向量，则.则以上结论正确的是（       ）
A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】
按照向量数乘和向量数量积的定义分析即可.
【详解】
（1） ，故错误；
（2） 根据数乘的定义，正确；
（3） 是表达式错误，0是数量， 是向量，这样的表达式没有意义，故错误；
（4） ，故错误；
（5）当向量 与 的夹角是 时， ，故错误；
（6）同（5），错误；
（7） ，故正确；
故选：C.
3．（2022·北京·101中学高三阶段练习）在边长为1的正方形ABCD中，若，，，则等于（       ）
A．0 B．1 C．2 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的几何运算计算即可.
【详解】
.
故选：C.
4．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）下面四个命题哪些是平面向量，共线的充要条件（       ）
A．存在一个实数， B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，方向相同或相反 D．存在不全为零的实数，，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量共线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
当为零向量，为非零向量时，，则AC选项错误.
当为非零向量且同向时，，则B选项错误.
根据共线向量基本定理的推论可知，D选项正确.
故选： D
5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由两个向量平行的条件求解即可.
【详解】
与平行，，向量不共线，
∴存在实数k，使得，
，解得，
故选：B．
6．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由向量共线定理求出，进而求出AD=3，再用余弦定理求出CD的长即可.
【详解】
在△ABC中，由余弦定理得：
设，，因为，
所以，即，
因为A、B、D三点共线，
所以，
解得：，
所以，
即

因为AB=5，
所以AD=3，BD=2
在三角形ACD中，由余弦定理得：
，
因为，所以.
故选：A

7．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在中，E，F分别为的中点，点D是线段（不含端点）内的任意一点，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定的关系和范围.
【详解】
因为点D是线段（不含端点）内的任意一点，
所以可设，
因为E，F分别为的中点，
所以，
所以，又，
所以，，，，
所以A，B，D错误，C正确，
故选：C.
8．（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（理））已知D，E为所在平面内的点，且，，若，则（       ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将用表示，求得，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
则，
所以，
所以，
所以，，
故.
故选：A.
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知向量不共线，且，其中，若三点共线，则角的值可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
三点共线即向量共线，由向量共线的坐标运算求得值再判断．
【详解】
三点共线，即共线，所以存在实数使得，
即，
又不共线，所以，，又，所以或．
故选：CD．
10．（2022·全国·模拟预测）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD， BC交于点F，H设，，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，特别联立方程组解得，再根据选项一一判断即可．
【详解】
以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
设，，则，，，，，．
又F为的重心，则，直线AG的方程为，直线BC的方程为，
联立解得，则，，，

因为，，
所以，，，．
故选：ACD．

11．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）已知向量，将向量绕原点逆时针旋转90°得到向量，将向量绕原点顺时针旋转135°得到向量，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意，求得，，的坐标，再逐项判断.
【详解】
解：由题意得，，，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确，
故选：BCD．
12．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是（       ）

A．当P是线段CE的中点时，，
B．当时，
C．若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．的最大值为
【答案】CD
【解析】
【分析】
结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
依题意，，
A选项，当是线段的中点时，
，A选项错误.

B选项，若
设分别是的中点，连接并延长，交的延长线于，
则，且，所以，
则点的轨迹是，，
所以，B选项错误.

C选项，，，
令、的中点为，
由于，即，
所以三点共线.
设分别是的中点，连接，交于，则，
是的中点，是的中点，则点的轨迹是，点的轨迹是，所以C选项正确.

D选项，，
由于平行四边形在的左上方，三点共线，所以，，
故当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，D选项正确.
故选：CD
三、填空题
13．（2022·安徽·模拟预测（理））给出下列命题：
①若同向，则有；   
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
【答案】①⑤
【解析】
【分析】
根据向量的模、共线向量的基本概念以及向量加法的法则，逐一分析即可．
【详解】
对于①，若同向，则与同向，所以，故正确；
对于②，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；
对于③，若不共线，则有，故③不正确；
对于④，若，则，故④不正确；
对于⑤，对任意两个向量，总有，故⑤正确；
对于⑥，若三向量满足，若中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．
故答案为：①⑤．
14．（2022·全国·模拟预测（文））在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
本题首先可根据题意得出，然后根据三点共线得出，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】
如图，结合题意绘出图象，

因为，为边的中点，
所以，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即、时取等号，
故的最小值为，
故答案为：.
15．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由平面向量基本定理得到，，从而求出答案.
【详解】
由已知，得，
所以，
因为，所以，，
所以．
故答案为：
16．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，E、F是边，上的点，，，若，则平行四边形的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算及数量积的定义求出AD，利用平行四边形的面积公式求解即可.
【详解】
如图，

，，
所以，
即，解得或（舍去），
所以平行四边形的面积为.
故答案为：．