2023高考数学二轮复习专题24 等差数列及其前n项和（解析版）

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专题24 等差数列及其前n项和
【考点预测】
一．等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
（2）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
二．等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
三．等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
（1）通项公式的推广：．
（2）在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（3），…仍是等差数列，公差为．
（4），…也成等差数列，公差为．
（5）若，是等差数列，则也是等差数列．
（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
（7）若项数为偶数，则；；．
（8）若项数为奇数，则；；．
（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若
，则满足的项数使得取得最小值．
四．等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列⇔（为常数）．
五．等差数列的前n项和的最值
公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
特别地
若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
六．其他衍生等差数列．
若已知等差数列，公差为，前项和为，则：
①等间距抽取为等差数列，公差为．
②等长度截取为等差数列，公差为．
③算术平均值为等差数列，公差为．
【方法技巧与总结】
（1）等差数列中，若，则．
（2）等差数列中，若，则．
（3）等差数列中，若，则．
（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．
【题型归纳目录】
题型一：等差数列的基本运算
题型二：等差数列的判定与证明
题型三：等差数列的性质
题型四：等差数列前n项和的性质
题型五：等差数列前n项和的最值
题型六：求数列的通项
题型七：关于奇偶项问题的讨论
题型八：对于含绝对值的数列求和问题
题型九：利用等差、等比数列的单调性求解
题型十：等差数列中的范围与最值问题

【典例例题】
题型一：等差数列的基本运算
例1．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列，都是等差数列，且，，则（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】解：因为数列，都是等差数列，
所以数列是等差数列，
又，，
所以其公差为，
所以则，
故选：A
例2．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（       ）
A．10 B．14 C．23 D．26
【答案】D
【解析】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列．
由题意可知，等差数列中，前5项和为100，
设公差为，前项和为，
则，解得，
所以，
所以公士出的钱数为，
故选：D．
例3．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为．若，，则
（       ）
A．72 B．74 C．75 D．76
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，，
，
.
故选：C.
例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
故选：D.
例5．（2022·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意得：
设的公差为


又


又，

故选：D
例6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列中，为数列的前
项和，则（       ）
A．115 B．110 C． D．
【答案】D
【解析】设数列的公差为，则由得，解得，
．
故选：D．
【方法技巧与总结】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
题型二：等差数列的判定与证明
例7．（2022•安徽月考）设数列，，，，中的每一项都不为0．证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有．
【解析】证明：先证必要性
设数列的公差为，若，则所述等式显然成立．
若，则


．
再证充分性：
用数学归纳法证明：
①设所述的等式对一切都成立，首先在等式①
两端同时乘，即得，
所以，，成等差数列，记公差为，则．
②假设，②，
则有：，
将②代入③得，
在该式两端同时乘，得，
把代入后，整理得．
由数学归纳法原理知对任何，都有．
所以，是公差为的等差数列．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
【解析】(1)因为，
所以，即，
则．
又，，满足，
所以是公差为4的等差数列．
(2)由（1）得，，
则．
又，
所以，
化简得，解得m＝7或（舍）．
所以m的值为7．
例9．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知首项为2的数列满足，记.
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)求数列的前10项和.
【解析】(1)，
，即
故是首项为2，公差为2的等差数列，
.
(2)知，
，
故.
例10．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；
【解析】证明：，，，则，即，解得，
所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.
例11．（2022·山东济宁·二模）已知数列满足，
(1)设，证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前2n项和.
【解析】(1)由题意，，
当时，，
所以，则是以1为公差，为首项的等差数列.
(2)由题设，


，
由（1）知：，则.
其中，即，
所以，
两式相减得，
所以，
综上，.
例12．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】(1)当时，由，得或，
∵，∴，
由，得
当时，
由，得，
整理得，
∵，∴≠0，∴，
∴数列是首项为，公差为的等差数列；
(2)由（1）得，
，
∴．
例13．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列的前n项和为，满足：
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由题设，，则，
所以，整理得，则，
所以，即，，
所以，故数列为等差数列，得证.
(2)由，可得，又，结合（1）结论知：公差，
所以，故，则，
所以，且，
所以，即，
所以，在且上递减，则，
要使对任意恒成立，即，
所以.
例14．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））记数列的前n项和为，满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的前n项和.
【解析】(1)证明：因为，①
所以当时，，得或7，
又，则.
当时，，②
①-②得，，
，
由，得，
故，即为等差数列.
(2)由（1）知，为等差数列且公差为4，所以，
所以数列的前n项和

，
故的前n项和为.
例15．（2022·安徽淮南·一模（文））已知数列满足，．
(1)求的值并证明数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式并证明：．
【解析】(1)解：当时，，，
当时，；，
两式相除得，
整理为：，即，
∴为等差数列，公差；
(2)证明：由（1）得，
整理得：，
∵，
又∵单调递增，∴，
所以.
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，设数列
(1)求证数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
【解析】(1)解：因为，
所以，
所以
又因为，
所以，
，
，
（为常数）
所以数列是公差为的等差数列；
(2)由（1）知：，
所以，
所以，
.
例17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足
(1)问数列{an}是否为等差数列或等比数列？说明理由；
(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
【解析】(1)由，解得：，，，，∵a3－a2＝2，a4－a3＝3，∴，
∴数列{an}不是等差数列.
又∵，，∴，∴数列{an}也不是等比数列.
(2)证明：∵对任意正整数n，为偶数，所以，∴，即，其中，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
从而对∀n∈N*，，则.
∴数列的通项公式是 (n∈N*).
例18．（2022·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项.
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，且，求数列的通项公式.
【解析】(1)证明：由题知，
得，
所以是以为首项，公差为2的等差数列，
即，
当时，
，
当时，也符合题意，
所以，又
所以.
(2)解：由题得，
所以，
所以
所以，又时符合该式，故.
例19．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，当时，其前n项和满足：.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若对一切正整数n恒成立，求实数k的最大值.
【解析】(1)，
即，所以
，故数列是等差数列；
(2)（2） ，
令，则
，
令得，.
由令，解得
所以数列中当时单调递减，时单调递增.
所以

例20．（2022·全国·高三开学考试（理））已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
【解析】解：（1）证明：，.
，
是等差数列.
（2）由（1）可得，.
时，；
时，.
而，，，均不满足上式.
（）.
【方法技巧与总结】
方法
解读
适合题型
定义法
为同一常数 ⇔是等差数列

解答题中的证明问题
等差中项法
成立⇔是等差数列
通项公式法
为常数）对任意的正整数都成立
⇔是等差数列

选择、填空题中的判定问题
前项和公式法
验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列

【注意】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．

题型三：等差数列的性质
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，则（       ）
A．74 B．81 C．162 D．148
【答案】B
【解析】因为是等差数列，所以，即，
所以.
故选：B
例22．（2022·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（       ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【解析】是等差数列


又，
∴公差，

故选：D．
例23．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为，若，则（       ）
A．60 B．75 C．90 D．105
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，则由题意可得，
故，即，，故.
故选：D
例24．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（       ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】因为，又，
所以，
所以，即，
设等差数列的公差为，
则，
所以，又，
所以，
所以．
故选：C.
例25．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等差数列中，，是方程的两根，则的前21项的和为（       ）
A．6 B．30 C．63 D．126
【答案】C
【解析】，是方程的两根，由韦达定理得：，
所以等差数列的前21项的和．
故选：C
【方法技巧与总结】
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值．
题型四：等差数列前n项和的性质
例26．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知项数为的等差数列的前项和为，最后项和为，所有项和为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
两式相加得，所以，又，所以．
故选：B．
例27．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知等差数列，，，…，，，前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则该数列的项数（       ）
A．26 B．30 C．36 D．48
【答案】C
【解析】由题意知，，
两式相加得，所以，
又，所以．
故选：C．
例28．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））设为等差数列{an}的前n项和，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
故选：C.
例29．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】两个等差数列和的前项和分别为、，且，
所以.
故选：A
例30．（2022·四川凉山·三模（理））等差数列满足且，，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为等差数列满足，且，
所以，所以，
因为，所以，
同理
所以
，
故选：D
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（       ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【答案】D
【解析】等差数列的前n项和为，，
则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列
则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20
故选：D
例32．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则(       )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设的公差为d，
∵
∴，
即{}为等差数列，公差为，
由知，
故﹒
故选：A﹒
例33．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，.则，，所以.
故选：B.
例34．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，.
故选：C.
例35．（2022·全国·模拟预测）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意可得
．
设，，
因为函数是增函数，
所以当时，函数取最小值，
所以．
故实数的最大值为．
故选：B
【方法技巧与总结】
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
题型五：等差数列前n项和的最值
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，其前项和为，且．若
存在最大值，则满足的的最大值为_______．
【答案】19
【解析】
【详解】
试题分析：因为有最大值，则数列单调递减．又，则，，且．
所以，，故的最大值为19．
考点：1、等差数列；2、等差数列的前项和．
【思路点晴】本题考查的是等差数列的性质、前项和最大值问题；解题的关键是由已知及它们的前项和有最大值，灵活运用等差数列性质和前项和的公式得到，是解决本题的关键点，本题属于中档题．
例37．（2022·浙江·高三阶段练习）设公差为的等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为_______.
【答案】9
【解析】
【详解】
试题分析：因为等差数列的公差满足，所以是递减数列.又.为负数. ,即,.,,.即时，；，.所以当时，取最大值.
考点：等差数列的性质、等差数列的前n项和
例38．（2022·江西·高三单元测试（文））等差数列中， 是它的前 项之和，且 ， ，则：①数列的
公差； ②一定小于 ； ③ 是各项中最大的一项；④ 一定是 中的最大
值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号）．
【答案】①②④
【解析】则等差数列是递减数列,所以 并且等差数列从第8项起为负数．所以①④正确,③错误;
因为,所以②正确．
考点：等差数列性质．
例39．（2022·全国·高三专题练习）首项为正数的等差数列，前项和为，且，当________时，取到最大值.
【答案】5或6
【解析】由题意，设等差数列为且，公差为，
因为，
所以，即，
因为，所以，即，
所以为单调递减的等差数列，即
故当或时，最大.
故答案为：5或6.
例40．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】由，，得，
解得：，
则．故．
由于，故当或4时，.
故答案为：
例41．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，为的前n项和，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，所以是以为首项，2为公差的等差数列，是以为首项，2为公差的等差数列.
当为奇数时，，当为偶数时，，
所以，
当为偶数时，

，故当时，的最小值为；
当为奇数时，，
故当或时，取最小值.
综上，的最小值为.
故答案为：.
例42．（2022·江西赣州·二模（文））已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（       ）
A．2022 B．2021 C．1012 D．1011
【答案】D
【解析】解：因为等差数列的前项和为，，，
所以，
所以，，
所以，，即等差数列的公差，
所以，时，；时，，
所以，使得前项和取得最大值时的值为.
故选：D
例43．（2022·全国·高三专题练习（文））设为等差数列的前项和，.若，则（       ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
【答案】D
【解析】由得：，整理可得：，
等差数列为递增数列，又，，，
当且时，；当且时，；
有最小值，最小值为.
故选：D.
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，
，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最小值
【答案】C
【解析】对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，∴，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵，，当时，，
所以，，B选项正确．
故选：C．
例45．（2022·全国·高三专题练习）等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵等差数列中，，
∴，即．又，
∴的前项和的最小值为．
故选：B
例46．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
【答案】D
【解析】由题知，，则，
等差数列的公差d满足，数列单减，
且，，则当取得最大值时，的值为8或9
故选：D
例47．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，，则数列的最大项为.
对于A选项，，当时，且数列为递增数列，此时无最大项，A选项不满足条件；
对于B选项，由，可得，故数列中最大，B选项不满足条件；
对于C选项，，数列为递增数列且当时，，此时无最大项，C选项不满足条件；
对于D选项，由，可得，故数列中最大，D选项满足条件.
故选：D.
例48．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时（       ）．
A．2 B．14 C．7 D．6或7
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，∵，，
∴，，
联立解得：，，
∴，
令，解得．
当取得最小值时或7．
故选：D．
例49．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知等差数列的公差是d，且，则的最大值为________．
【答案】【解析】因为，
所以，
，
所以，
所以当时，取最大值，最大值为.
故答案为：.
例50．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解析】(1)解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
例51．（2022·全国·高三专题练习（文））在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
设等差数列的前n项和为，且,．
(1)求的最小值；
(2)若数列满足____________，求数列的前10项和．
【解析】(1)由题，，，所以，
则，
所以当时，的最小值为.
(2)设数列的前项和为，
选①，由（1），，令，即,
所以，
所以；
选②，由（1），，
所以；
选③，由（1），，，
所以



例52．（2022·福建泉州·高三阶段练习（理））已知数列，，，且，是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求的最大值．
【解析】(1)由题可知，即，则，
∴数列是公比为2的等比数列，
∵是与的等差中项，
∴，即，
解得，
∴数列的通项公式为；
(2)由(1)知，∴，
∴，
∴数列是一个公差为－2的递减等差数列，
且，，
故的最大值为.
例53．（2022·辽宁葫芦岛·一模）记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值．
【解析】(1)设等差数列的公差为，
则，解得：，.
(2)由（1）得：，
则当时，.

【方法技巧与总结】
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
题型六：求数列的通项
例54．（2022·河南·模拟预测（理））已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满足，则其通项______．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
令得： ，即，
令得：
则，
由，两式相减得：，
即，
因为等差数列的各项均为正数，所以，
解得：，代入中，解得：，
所以.
故答案为：
例55．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】(1)∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)
∴
例56．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知数列的前项和为，
，现有如下三个条件分别为：条件①；条件②；条件③；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.
您选择的条件是___________和___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
【解析】(1)选①②时：
解法1：由
可知数列是以公差的等差数列，
又得，
得，
故，即
解法2： 由可知数列是以公差的等差数列，
又得，
则，
即
选②③时：
由可知数列是以公差的等差数列，
由可知，即
得，
故，即
选①③这两个条件无法确定数列.
(2)



所以
例57．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知非零数列满足．
(1)若数列是公差不为0的等差数列，求它的通项公式；
(2)若，证明：对任意．
【解析】(1)解：因为数列是公差不为0的等差数列，故设公差为.
又，则，
化简得，又，故，
因为，则，且
所以，
故数列的通项公式为.
(2)解：因为，
所以，又，则，
故，即，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
故，，
则对任意的，
，当时等号成立.
例58．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知数列各项都不为，且满足，
(1)求的通项公式；
(2)若，的前n项和为，求取得最小值时的n的值．
【解析】(1)①
当时，②
①②


的奇数项和偶数项各自成等差数列且
为奇数），（为偶数
(2)，
当时，，
当时，
当时，取得最小值
例59．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】(1)由，为整数知，等差数列的公差为整数.
又，故，.
于是，，解得，
因此，故数列的通项公式为.
(2)，
于是
.
题型七：关于奇偶项问题的讨论
例60．（2022·山东聊城·高三期末）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
【解析】(1)因为，令n取，则，
即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以
(2)令n取2n，则，
所以，
由（1）可知，；
；所以
例61．（2022·河南·罗山县教学研究室高三阶段练习（理））已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.
(1)求，；
(2)设，求数列的前8项和.
【解析】(1)解：由原式可得：，
当时，；
当时，，
两式作差可得：，
所以，
又因为，则，所以，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，，
∴，；
(2)解：，
即，
所以
，
即数列的前8项和.
例62．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，前n项和满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求．
【解析】解：（1）∵①
∴②
①②：③
∴④
④③：
∴
∴是以首项，2为公差的等差数列，
（2）由（1）得是以首项，2为公差的等差数列，
同理可得是以为首项，2为公差的等差数列，
又，
∴前101项的偶数项和为，
前101项的奇数项和为，
∴．
例63．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列中，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，
所以，，
当为偶数时，，则，两式相减得，
所以，，
故，
故选：D.
例64．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知数列满足：
(1)求、、；
(2)将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，
①证明：是等差数列；
②设数列的前m项和为，求证：．
【解析】(1)由题意知：，
，        
；
(2)①当n为奇数时，n+1为偶数，
\，
\，
\，
当时，，
是以为首项，2为公差的等差数列．       
②由①知，                    
，               
，
.
例65．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））已知数列的通项公式为
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】(1)解：由题意得：
，则为等差数列，首项．
∴．
(2)
∴①
∴②
①-②得，
∴

．
例66．（2022·天津静海·高三阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，，   
(1)求数列和的通项公式；
(2)设 ，求数列的前2n项和.
(3)设，，的前n项和，求证：.
【解析】(1)由题意， ，设公比为q，
则有 解得 或 （由于 是正数列，舍），
由 ， ，
；
对于 由等差中项可知 ，
设公差为d， ， ，
；
(2)设数列 的前n项和为 ，
则有：
=   
设 …①，
…② ，
①-②得：，
K        ，
；
(3) ，

；
综上， ， ， 的前2n项和=       .
例67．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）数列满足，则前项的和______．
【答案】
【解析】
【详解】
设，因，故由此可算得则前40项中奇数项为，其和；偶数项为，其和，故所求数列前项的和为，应填答案．
例68．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
【答案】330
【解析】由题意，当为奇数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，
当为偶数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，

，
故答案为：330
【方法技巧与总结】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型八：对于含绝对值的数列求和问题
例69．（2022·全国·高三专题练习（文））记为等差数列的前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
【解析】(1)设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知：
，解得
所以
(2)由（1）知：当 时，，当 时，
所以



例70．（2022·山西大附中三模（文））已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：；          条件②：；       条件③：.）
选择条件　　　　和　　　　　．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
【解析】(1)选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故
选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知，
选①③，无法确定数列.
(2)，其中,
当，时，
当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.
例71．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.
(1)证明数列为等差数列，并求通项公式；
(2)记，求.
【解析】(1)证明：，，，则，即，解得，
所以，，即，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.
(2)解：，
所以，.
例72．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列的前n项和.
(1)求的通项公式．
(2)的前多少项和最大？
(3)设，求数列的前n项和.
【解析】(1)解：因为，当时，当时，所以，经检验当时也成立，所以；
(2)解：令，即，所以，
故数列的前17项大于或等于零．
又，故数列的前16项或前17项的和最大．
(3)由（2）知，当时，；
当时，，
所以当时，．
当时，
．
故．
【方法技巧与总结】
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
题型九：利用等差、等比数列的单调性求解
例73．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【详解】
∵等差数列是递增数列，且，∴，又∵，∴，，，，即的取值范围为，故答案为.
例74．（2022·全国·高三专题练习（理））已知递增数列的前项和为，且满足（），则首项的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
当时，，
当时，，
则，
即， 又，故，
所以数列是偶数项以4为公差的等差数列，奇数项从起奇数项也是以4为公差的等差数列，若数列单调递增，所以需满足，
又，
所以，解得，故的取值范围为.
例75．（2022·上海徐汇·高三阶段练习）已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】Sn＝na1．
∵数列{Sn}是递增数列，
∴Sn+1＞Sn，
∴（n+1）a13＞na1．
化为：a1＞﹣3n，对于∀n∈N*都成立．
∴a1＞﹣3．
故答案为：（﹣3，+∞）．
例76．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，因此有，
得：，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由可得：，
因为数列单调递增，所以有，
即，解得：，
故选：C
例77．（2022·辽宁丹东·高二期末）已知等差数列的公差为，若为递增数列，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】数列是递增数列，则．
故选：A．
例78．（2022•江西二模）已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】解：已知函数，
若数列满足，且是递增数列，
，即．
例79．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则，即，此时，数列为单调递增数列，
即“”“数列为单调递增数列”；
若等差数列为单调递增数列，则，
即“”“数列为单调递增数列”.
因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.
故选：C.
例80．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，
对任意的，都有成立，即，即，
又数列是首项为，公差为1的等差数列，
，且是单调递增数列，当时，，
，即，解得.
故选：B.
【方法技巧与总结】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．
（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．
题型十：等差数列中的范围与最值问题
例81．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，数列是公差为d的等差数列，数列为递减数列，
所以，，.
故选：D
例82．（2022·青海·模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，满足，，若数列满足，则m＝（       ）
A．9 B．10 C．19 D．20
【答案】B
【解析】等差数列的前n项和为，则，有，
，有，显然数列是递减的，且，
因，所以.
故选：B
例83．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，则，故数列为递增数列，
因为，，
且当时，，所以，当时，，
所以，满足当时，的最大值为.
故选：C.
例84．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，，则使数列
的前n项和成立的最大正整数n是（       ）
A．2021 B．4044 C．4043 D．4042
【答案】D
【解析】因为，所以和异号，
因为，所以，，
因为 ，所以，
所以，
所以，
，
所以使数列的前n项和成立的最大正整数n是4042，
故选：D
例85．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，则，
因为，可得，则，
设等差数列的公差为，则，
由题意可得，可得.
即的取值范围是.
故选：C.
例86．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，又，可得，
由，可得，则，，，
故使得的正整数的最小值为19.
故选：B.
例87．（2022·江西·二模（文））己知等差数列的前n项和是，若公差，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由,故可知或
,可知等差数列单调递增.所以只能是.故可知
故选:D
例88．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由是等差数列，得，解得，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
故选：B．
例89．（2022·河南·模拟预测（文））记为等差数列的前项和，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，，故C正确；
若，则公差，此时，则不合题意，A错误；
若，则，此时，
，故B、D错误.
故选：C．
例90．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知为等差数列的前项和，且满足，，，若对任意的正整数，恒有，则正整数的值是（       ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【答案】A
【解析】由，，
所以，，所以，，
所以的公差，
所以当时，；当时，，
所以，，，，，…，
所以，
又，故为的最小值，
故，
故选：A.
例91．（2022·北京丰台·二模）设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：因为，
所以，故A错误；
，所以，
则公差，故B错误；
所以等差数列为递增数列，
则，，
则，
所以，
所以，故D正确；
对于C，当时，
，。
此时，故C错误.
故选：D.
例92．（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列 满足，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【解析】因公差非零的等差数列{an}满足，则有，有， 异号且均不为0，
对于A，，A不正确；
对于B，，而，此时，，B不正确；
对于C，由选项A知，，即，则，于是得，
数列是递增数列，即，，C正确；
对于D，由得，则，于是得，数列是递减数列，即，，D不正确.
故选：C
例93．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，

故选：B
例94．（2022·浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，所以，即，所以，又，所以，
由得，，，
所以时，，时，．
，，由，，
即，（*），
令，，（*）式为，其中，且，
由已知和是方程的两个解，
记，且，是一次函数，是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）．
如图，作出和的图象，它们在和时相交，
无论还是，由图象可得，，，
时，，时，，
因此，，，，
即，
故选：B

例95．（2022·广东广州·模拟预测（理））首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（       ）
A．d>3 B．d C．3≤d D．3 【答案】D
【解析】an＝﹣21+（n﹣1）d．
∵从第8项起开始为正数，
∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，
解得3＜d．
故选：D．
例96．（2022·湖南师大附中高三阶段练习（理））设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，则使成立的最大自然数的值为（       ）
A．9 B．10
C．18 D．19
【答案】C
【解析】由，可得一个大于，另一个小于，由，可得大于.
又其中一个大于，则都大于，故.
若，由，可得均大于，与题意矛盾.
故，由，可得：，.
因为，又，当时单调递增，当时单调递减.
故当时，单调递增，于是此时.
当时，单调递减，而..
故当时都有，而是满足成立的最大自然数.
故选：
例97．（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：
①公差
②
③
④数列中的最大项为
⑤
其中正确命题的个数是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】等差数列中，最大，且，
，，①正确；
，
，，，，，最大，
④不正确；，
，
③⑤正确，②错误.
故选：B．
例98．（2022·湖北武汉·高三期末（理））若是等差数列的前项和，其首项，， ，则使成立的最大自然数是（       ）
A．198 B．199 C．200 D．201
【答案】A
【解析】
∵， ∴和异号；
∵，，
有等差数列的性质可知，等差数列的公差，
当时，；当时，；
又 ，，
由等差数列的前项和的性质可知，使前项和成立的最大自然数是.
故选：A．
例99．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于 ，
所以可得．
这样，
而>0， ，
所以在中最大的是．
故选C．
例100．（2022·全国·高二课时练习）等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（       ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
【答案】C
【解析】因为，，
由等差数列的性质可得，
所以，所以该数列的公差，
所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，
因为，所以，
所以绝对值最小的项为，
故选：C
例101．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（       ）
A．9 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由题意，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立．
故选：B．

【过关测试】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知等差数列满足，，则的前项的和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列公差为，
，，，
解得：，，解得：，
的前项的和为.
故选：C.
2．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（       ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：，解得：，
设等比数列的公比是，因为，所以，解得：，
显然，所以，所以，
所以
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列中，前4项为1，3，5，7，则数列前10项的和（       ）
A．100 B．23 C．21 D．17
【答案】A
【解析】设公差为，则，则.
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（       ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【解析】不妨设插入两个正数为，即
∵成等比数列，则
成等差数列，则
即，解得或（舍去）
则
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（       ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，则（       ）
A．2021 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，即，则
∴数列是以首项，公差的等差数列
则，即
∴
则
故选：B．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（       ）
A．351 B．353 C．531 D．533
【答案】B
【解析】依题意，，
显然，当n为奇数时有，
即有，，…，，
令，故，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
故；
当n为偶数时有，
即，，…，，
于是，

，
故选：B．
8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
当时，
，
当时，，，，所以
.
故
，
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2022·全国·高三专题练习）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（       ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】设等差数列的公差为d，当时，.
对于A，，为常数，
因此是等差数列；故A正确
对于B，，不为常数，
因此不是等差数列；故B错误
对于C，，为常数，
因此是等差数列；故C正确
对于D，，为常数，
因此是等差数列.故D正确
故选：ACD.
10．（2022·全国·高三专题练习）公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（       ）
A．d＝2 B．
C． D．的前n项和为
【答案】ABD
【解析】由题意得，
，即，
解得，所以，故A、B正确；
得，
故，故C错误；
所以数列的前n项和为
，故D正确.
故选：ABD.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（       ）
A．d＜0 B．a10＝0 C．S18＜0 D．S8＜S9
【答案】BC
【解析】 ， ，所以B正确
又 , , ,所以A错误

，故C正确
,故D错误
故选：BC
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，记的前项和为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，
所以当为奇数时，；当为偶数时，.
所以，选项错误；又因为，所以，选项B正确；


故C正确
，选项D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列__________
【答案】
【解析】解：由两边取倒数可得，即
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，
所以；
故答案为：
14．（2022·上海虹口·二模）已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.
【答案】
【解析】由题可得，，而，解得：，所以，即，所以．
故答案为：．
15．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））设数列前n项和为，若，，则___________.
【答案】
【解析】解：当时，，
，整理可得，
，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，
.
故答案为：
16．（2022·全国·高三专题练习）设函数，，．则数列的前n项和______．
【答案】
【解析】由题设，，
所以，
即且n ≥ 2，
当时，，
当时，，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
【解析】证明：当时，，得，
当时，有，，相除得
整理为：，即，
∴为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为：.
18．（12分）
（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项.
(1)求；
(2)设，求的前n项和.
【解析】(1)设等差数列的公差为，，
则，得，得，
因为，所以，解得，
所以，
所以，，所以等比数列的公比，
所以.
(2)，
所以
.
19．（12分）
（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
【解析】(1)，，则当时，，即，而，
因此，数列是公比为2的等比数列，则，即，
所以.
(2)记，由（1）知，，
不妨假设存在三项成等差数列，则，
因为，所以，
令，则，于是有对是递增的，
则，即，
因此，即，其左边为负数，右边为正数，矛盾，
所以数列中不存在成等差数列的三项．
20．（12分）
（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求证：.
【解析】(1)当时，，即.
当时，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以数列为常数列，
所以，即.
(2)证明：由（1）得，
所以，
所以.
21．（12分）
（2022·山东潍坊·模拟预测）已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【解析】(1)设等差数列的公差为，
与的等差中项为，，解得：；
，，
；
(2)由（1）得：，即，
.
22．（12分）
（2022·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
【解析】(1)证明：因为时，，
则，
即，，·
因为，·
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，
即，·
所以为等差数列.
(2)解：由（1）可得的首项为，公差为，所以，
所以，
所以，则，
记的前n项和为，
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，·
所以，·
所以.·