2022-2023学年重庆市南开中学校高二上学期网课质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市南开中学校高二上学期网课质量检测数学试题

一、单选题

1．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（    ）

A．1，0，1，0 B．0，1，0，1 C．，0，，0 D．2，0，2，0

【答案】A

【分析】由，分别令=1，2，3，4求解.

【详解】因为，

所以分别取1，2，3，4，

可得．

故选：A．

2．双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：根据双曲线的离心率为，求得，即可得到双曲线的渐近线方程.

详解：由题意，双曲线的离心率为，

即，所以，解得，

所以双曲线的渐近线方程为，故选B.

点睛：本题考查了双曲线的几何性质——渐近线方程的求解，根据双曲线的离心率，得到是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.

3．若直线与圆相切，则实数m的值为（    ）

A．−1或3 B．1或−3 C． D．55

【答案】A

【分析】求出圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径，列出方程，求出实数m的值.

【详解】变形为，故圆心为，半径为1，

则，解得：m=3或−1.

故选：A

4．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，测量得水面宽8米．当水面升高0.5米后，水面宽度是（    ）米.

A．3 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意确定点的坐标，代入方程求得p，继而可求得水面升高米后的水面宽度，即得答案.

【详解】由题意，以拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，

设抛物线的标准方程为，∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米，

∴点在抛物线上，代入方程得，p＝4，∴，

当水面升高0.5米后，设水面如图中,则A点纵坐标为 ，

代入方程得：，

∴水面宽度是米，

故选：D．

5．已知是等差数列的前n项和，若，，则（    ）

A．40 B．45 C．50 D．55

【答案】A

【分析】根据等差数列片段和性质可得，解方程即可求得结果.

【详解】由等差数列性质知：，，成等差数列，

所以，即，解得：.

故选：A.

6．已知椭圆C：（）的长轴为4，直线与椭圆C相交于A、B两点，若线段的中点为，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设的中点坐标为，代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解.

【详解】设，直线交椭圆于，两点，

若的中点坐标为，所以直线斜率，

代入椭圆方程得，

两式相减得

，

又，所以

所求的椭圆方程为.

故选:B.

7．在等差数列中，成公比为3的等比数列，则（    ）

A．14 B．34 C．41 D．86

【答案】C

【分析】根据等差数列，等比数列的概念即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

因为成公比为3的等比数列，所以，

所以即，所以，

所以，

又因为成公比为3的等比数列，

所以，因为，

所以，解得.

故选:C.

8．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．

【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：

由抛物线的定义知，

故，

所以，

即，

解得或（舍去），

故M的横坐标为，

设直线，

将代入，

得，

则，

解得，

故直线l的方程为．

故选：C．

【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．

二、多选题

9．已知，圆：，：，则（    ）

A．两圆可能外离 B．两圆可能外切 C．两圆可能相交 D．两圆可能内含

【答案】ABC

【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断.

【详解】圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径；

则，，

当时，，两圆外离；

当时，，两圆相交；

当时，，两圆内切；

当时，，两圆外切；

综上所述，两圆可以外离，可以外切，可以相交，不能内含.

故选：ABC.

10．已知椭圆M：（）的左､右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】对所有可能的等边三角形分类讨论，得的关系，从而求得离心率.

【详解】不妨设为长轴端点，为短轴端点，己知关于原点对称，，关于原点对称，关于原点对称，相应的三角形只取其中一个即可；

首先可能是等边三角形，因为，所以，此时不可能是等边三角形，不合题意；

若为等边三角形，则，所以选项B有可能;

若为等边三角形，则,所以选项A有可能;

若为等边三角形，则；

综上可知，可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.

故选：AB.

11．设等差数列的前n项和为，若，且（），则（    ）

A．数列为递增数列 B．

C．存在正整数k，使得 D．存在正整数m，使得

【答案】ACD

【分析】根据已知条件求得的关系式以及的符号，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设等差数列的公差为，

，，

，，

，

由得，数列为递增数列，A选项正确.

，，B选项错误.

由上述分析可知，所以当时，，

所以存在正整数k，使得，C选项正确.

，

若，则，（舍去），D选项正确.

故选：ACD

12．已知点，点P是双曲线C：左支上的动点，为其右焦点，N是圆D：的动点，直线交双曲线右支于Q（O为坐标原点），则（    ）

A． B．过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条

C．的最小值为 D．若的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为

【答案】ACD

【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和的位置关系可判断C，最后根据焦点三角形的内切圆圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为可求其半径.

【详解】如下图所示：

由双曲线方程和圆方程可知，，

所以左焦点为，右焦点；

对于A，由于在双曲线左支上，根据焦半径公式可知，故A正确；

对于B，由过点的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，

设直线斜率为，则直线的方程为，

联立直线和双曲线的方程得：

；

①当时，即，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根，

所以直线和双曲线仅有一个公共点，此时直线与双曲线的渐近线平行，

即此时有两条直线与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意；

②当时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知，

该方程仅有一个实数根，所以，

整理得，即，

此时直线为双曲线的切线，分别为，所以过点可作两条切线；

综上可知，过点可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B错误；

对于C，由双曲线定义可知，，

，当且仅当三点共线时等号成立；

，当且仅当三点共线时等号成立；

所以， ，即C正确；

对于D，如图所示，分别设的内切圆与三边切点为，

又因为，

所以，

又因为在轴上，，，不妨设,

由，得，即；

所以即为双曲线的左端点，又因为，

所以圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为，

设，则圆的半径为，由于圆与圆外切，

所以，，解得；所以D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．若直线：与直线：垂直，则实数______.

【答案】

【分析】两直线垂直说明它们的法向量也垂直，法向量的数量积为0.

【详解】

，

两直线垂直解之：

故答案为：

14．已知等差数列的前n项和为，且，则的前15项和______.

【答案】30

【分析】设出公差，利用等差数列通项公式和前n项和公式得到，进而计算出.

【详解】设等差数列的公差为，则，

又，，

所以，即，

.

故答案为：30.

15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为A，x轴上一点，满足，则的面积为______．

【答案】

【分析】由得，由抛物线定义得，结合几何性质可得，即可求得，则的面积为

【详解】由题意得，焦点为，准线为，由得，

由抛物线定义得，故，代入抛物线方程得，故的面积为.

故答案为：

16．曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆C：（）上点处的曲率半径公式为.若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为4，最小值为，则椭圆C的标准方程为______.

【答案】

【分析】根据函数单调性将和带入公式计算得到答案.

【详解】，，

设，易知函数单调递减，

当取或时，曲率半径最大；

当取或时，曲率半径最小；

解得，，椭圆的标准方程为

故答案为：

四、解答题

17．已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点.

(1)求圆C的方程

(2)若圆C与直线l：交于A，B两点，，求m的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）令圆心为，由题意得求得，且半径，即可写出圆的方程；

（2）由题意知到直线l的距离为，利用点线距离公式列方程求参数m.

【详解】（1）由题意，设圆心为，又与y轴相切于点，故，即，

所以，且半径，故圆C的方程为.

（2）由（1）及题意，如下图示：，，故到直线l的距离为，

所以，可得.

18．设数列满足，且．等差数列的公差d大于0．已知，且成等比数列．

(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）根据等差数列得定义证明等于一个定值即可得证，从而可求得数列的通项，再利用累加法即可求出的通项公式；

（2）先求出数列的通项，再利用裂项相消法即可得出答案.

【详解】（1）证明：因为，

所以，

又，

所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列，

则，

当则

，n=1成立

所以；

（2）解：由，得，

又成等比数列，使用，

即，解得（舍去），

所以，

则，

所以.

19．已知定点，，动点，直线、的斜率之积为.

(1)求点的轨迹C的方程：

(2)直线l：与点的轨迹C相交于M、N两点，M关于x轴的对称点为，设，若、E、N三点共线，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）化简方程即得解；

（2）联立直线和C的方程得到韦达定理，再化简即得解.

【详解】（1）解：由题得.

所以点的轨迹C的方程.

（2）解：联立直线和C的方程化简得，

所以.

因为、E、N三点共线，

所以，

所以，

所以，

所以对于任意的都成立，

所以.

20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，分别是的中点.

(1)证明：平面

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理，结合勾股定理、线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可求解；

（2）根据（1）中结论及已知条件，建立空间直角坐标系，求出相关的的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式与二面角的关系即可求解.

【详解】（1）取的中点，连接，

因为是等边三角形，

所以

又平面平面，平面平面，平面PAD，

所以平面，

因为底面是正方形，是等边三角形，

所以，

又因为是的中点，，

所以，

因为底面是正方形，不妨令，连接，

因为平面，平面，

,

在中，,

同理可得，，

所以

又因为是的中点，

所以

因为，平面，

所以平面

（2）由（1）知，因为平面，底面 是正方形，

所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

则由（1）可得，，，，，，，所以，，

设平面的法向量，则

,即，令，则，，

所以

由（1）知，平面

所以是平面的一个法向量，

设二面角所成的角为，则

所以

所以二面角的余弦值为

21．已知等轴双曲线    的右焦点为，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P 在第一象限，O是原点.

(1)求直线l斜率的取值范围；

(2)设的面积分别为，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）已知等轴和焦点坐标，可求出双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线l斜率的取值范围.

（2）由直线与渐近线方程联立可求出M，N两点的坐标，再求出P到两条渐近线的距离，整体代入求出，分割利用韦达定理结合三角形面积公式，可求得，进而得到关于t的函数关系式，即可得到答案.

【详解】（1）已知双曲线等轴，可设双曲线方程为，因为右焦点为，故，由得，所以双曲线方程的方程为，设直线l的方程为，联立双曲线方程得， ，解得

即直线l斜率的取值范围为.

（2）设，渐近线方程为，则P到两条渐近线的距离满足，，而，，同理，所以，由，，所以，，

22．已知椭圆：（）的右焦点与抛物线：的焦点重合，过作x轴的垂线，与和分别交于A、B和C、D，且.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线l：（）与交于两点P、Q（Q在x轴上方），点Q关于原点O的对称点为，M为线段的中点，N为线段的中点，若M、N都在椭圆上，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的焦点为，可得，进而根据结合椭圆的通径公式求解即可；

（2）设，表达出，代入椭圆方程作差，结合抛物线方程可得或.再讨论当时不满足，从而得到，进而可得，设，分别代入椭圆与抛物线方程，求解可得，进而根据焦半径公式求解即可.

【详解】（1）由题意，的焦点为，又垂直于轴，故，，.

故，解得，，椭圆：；

（2）设，则.

由题意在椭圆上，

故，，

两式相减可得.

又在上，

故，故，解得或.

当时，，

又在椭圆上，故，即.

易得，由基本不等式可得，故，，与矛盾，故.

因为Q在x轴上方，故，此时，

故可设，则，

故，即，

易得，故，

所以

【点睛】关键点点睛：为了计算简便，得到之后，将其代入椭圆，两式子进行相减可得到，这样大大减低了计算难度