【期中真题】天津市南开中学2022-2023学年高二上学期阶段性质量检测(一)数学试题.zip

高二年级数学阶段性质量检测（一）

第I卷

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共10小题，每小题4分，共40分．

1. 已知向量，，则（    ）

A. （2，3，4） B. （2，3，3） C. （2，5，8） D. （2，4，6）

【答案】A

【解析】

【分析】由空间向量坐标运算法则可得答案.

【详解】因，则，则.

故选：A

2. 已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出的中点，再用两点式求AB边上的中线所在直线的方程

【详解】边的中点为，

∴边上的中线所在直线的方程，即.

故选：C

3. 圆与圆的公切线有（    ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

【答案】C

【解析】

【分析】分别求两圆的圆心和半径，进而确定两圆的位置关系，分析判断.

【详解】，即，则圆心，半径，

，即，则圆心，半径，

∵，即，则圆与圆外切，

故两圆的公切线有3条.

故选：C.

4. 与直线切于点，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用待定系数法，结合点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】因为该圆的圆心在x轴上，

所以设该圆的方程为，

于是有：，

即该圆的方程为，

故选：D

5. 若过点的直线l与直线的交点位于第一象限，则直线l斜率的范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】用直线l斜率表示出l方程，再求出直线l与直线交点坐标，利用其位于第一象限，可得答案.

【详解】由题直线l斜率存在，则设直线l斜率为，则l方程为：.

将其与联立得：，解得，

故交点坐标为.因其在第一象限，则，

解得.

故选：C

6. 从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出点关于直线的对称点 ，再结合D在反射光线上，反射光线恰好通过点，即可求解．

【详解】设点关于直线的对称点为，

 则 ，解得 ，

由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点，

则 ，即反射光线所在直线的斜率为，

故选：B﹒

7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知三棱柱为一堑堵，，，，，则直线与直线夹角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】平移直线到其与直线相交，再解三角形即可.

【详解】连接，交于点，取中点为，连接，如下所示：

显然点为的中点，故在△中，

点分别为的中点，故//，

则直线所成的夹角与直线所成的夹角相等，

则即为所求角或其补角；

三角形中，，

，

，

故由余弦定理可得：，

故直线所成的夹角的余弦值为.故选：A
 

8. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数b的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】圆的圆心坐标为，半径为，

因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，

所以圆心到直线直线的距离为1，所以有，

故选：D

9. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点M为线段的中点（O为坐标原点），点P在椭圆上且满足轴，点M到直线的距离为，则椭圆的离心率为（    ）

A. 或 B.  C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据几何关系求出P和M的坐标，写出直线的方程，根据M到的距离即可求出离心率．

【详解】∵轴，∴将代入椭圆可得，

∴不妨设，∴直线的斜率为，

则直线的方程为，即，

则到直线的距离为，

整理得，所以，解得或，

即或，

则椭圆的离心率为或

故选：A

10. 已知斜率存在的直线l与椭圆交于A，B两点，且l与圆切于点P.若P为线段AB的中点，则直线PC的斜率为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】利用点差法，结合点的坐标满足圆方程，以及与直线垂直，联立方程组求得点的坐标，即可求得直线的斜率.

【详解】设点的坐标分别为，

则：，作差后可得：，

即：；

又因为直线与直线垂直，故可得，

与联立后可得：，解得，

又因为点在圆上，故可得：，解得，

则，即直线的斜率为或.

故选：C.

第II卷

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．

11. 已知直线，直线，当____________时，.

【答案】

【解析】

【分析】确定当时不合题意，则时，可求出两直线斜率，根据直线垂直可得斜率之积为，即可求得答案.

【详解】当时，斜率不存在，，的斜率为，不合题意；

故时，的斜率为 ，的斜率为 ，

由于，故，解得，

故答案为：.

12. 圆与圆的公共弦长为____________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出公共弦的方程利用勾股定理即可求得.

【详解】由已知圆与圆公共弦所在直线方程为

因为圆圆心为，半径

所以

弦长为

故答案为：

13. 在空间直角坐标系中，已知三点A（3，2，0），B（2，1，3），C（3，1，0），则点C到直线AB的距离为____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】由A（3，2，0），B（2，1，3），C（3，1，0），

可得：，，

所以可得：，

因此，

于是点C到直线AB的距离为，

故答案为：

14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.

【答案】

【解析】

【分析】由线段与y轴交于点Q，得点横坐标，代入椭圆方程得点纵坐标，由为等腰三角形，得，用表示此等式转化为离心率的方程，解之可得．

【详解】，线段与y轴交于点Q，，在右侧，则，，，

为等腰三角形，则，

所以，，整理得，

，，

故答案为：．

15. 如图，在平行六面体中，，，点E为线段上靠近于点B的三等分点，设，，，则____________（用含有，，的表达式表示）；若点G为棱上的一个动点，则的最小值为____________.

【答案】    ①.     ②. ##2.75

【解析】

【分析】第一空，根据空间向量的线性运算，即可求得答案；

第二空，设，用含有，，的表达式表示出，根据数量积的运算律，将展开化简为关于的二次函数，结合二次函数性质，求得答案.

【详解】由题意得

；

设,则，

，

由题意可知，

故

，

当时，取得最小值 ，

即则的最小值为，

故答案为：；.

16. 已知圆与过点的直线交于A，B两点，若三角形ABC面积的最大值为8，则实数a的取值范围是____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据三角形面积公式，结合圆的性质进行求解即可.

【详解】由，

所以该圆的半径为，圆心，

，

所以当时，有最大值8，此时三角形ABC是等腰直角三角形，

因此点到直线AB的距离为，

所以有，或，

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用三角形面积公式，得到三角形ABC是等腰直角三角形时面积最大是解题的关键.

三．解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知椭圆，直线l过点与椭圆Γ交于A，B两点，O为坐标原点.

（1）设C为线段AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；

（2）当直线l的斜率为时，求三角形AOB的面积.

【答案】（1）   

（2）1

【解析】

【分析】（1）写出直线方程，与椭圆方程联立方程组，消去得的一元二次方程，设，，，应用韦达定理得，从而得中点的坐标后可得；

（2）同样写出直线方程，与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得弦长，再计算出到直线的距离后可得三角形面积．

【小问1详解】

当直线的斜率为时，直线的方程为.

由，得.

设，，，则有，

由于是线段的中点，则有，.

所以.

【小问2详解】

当直线的斜率为时，直线的方程为.

由，得.

设，，有，.

.

原点到直线的距离.

所以.

18. 为方便师生行动，我校正实施翔宇楼电梯加装工程．我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设，，O为底面ABCD的中心，正四棱柱与正四棱柱分别代表电梯井与电梯厢，设，M为棱的中点，N，K分别为棱，上的点，，．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO2的中点I，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF与平面ABCD重合）运行至顶端（平面与平面重合）的过程中，点O到平面INK距离的最大值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明平面；

（2）由（1）知，平面法向量，然后利用直线与平面所成角的公式求解；

（3）设，，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求得点到平面的距离的表达式，进一步求得的最大值．

【小问1详解】

以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，．

设为平面的一个法向量，则

因为，，所以

取，则．

因为，所以，所以，

因为不在平面内，所以平面．

【小问2详解】

因为，所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

【小问3详解】

设，，

又因为，，所以，．

设为平面的一个法向量，则，即

取，则，

所以点到平面的距离，

所以当，即时，取得最大值为，

所以点到平面的距离的最大值为．

19. 已知椭圆的离心率为，直线被椭圆C截得的线段长为.

（1）求椭圆C方程；

（2）直线l是圆的任意一条不垂直于坐标轴的切线，l与椭圆C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求：

（i）圆O的方程；

（ii）的最大值.

【答案】（1）   

（2）（i）；（ii）

【解析】

【分析】（1）根据离心率和椭圆中的关系即可求得方程.

（2）（i）问利用直曲联立可以求得圆的方程，（ii）问中利用弦长公式和基本不等式即可求得最值.

【小问1详解】

因为，所以，所以，所以椭圆，联立直线，得，所以，所以，

所以椭圆.

【小问2详解】

（i）设直线，

因为与圆相切，所以，即……（1）.

由得，

，所以（*）

设，，得，

所以

由题意得，，即，

所以，符合（*）式.

结合（1）式，得，所以圆的方程为：.

（ii）

，等号成立当且仅当

所以的最大值为.