2022-2023学年北京市平谷区北京实验学校高二上学期期中练习数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市平谷区北京实验学校高二上学期期中练习数学试题

一、单选题

1．己知向量，若，则实数m的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量平行列方程，化简求得的值.

【详解】由于，所以，解得.

故选：A

2．设，向量，，若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量垂直，结合数量积公式，即可求得答案.

【详解】因为，

所以，解得.

故选：B

3．圆的圆心坐标和半径分别是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把圆的方程化为标准方程即可求解

【详解】由可得

，

所以圆心坐标和半径分别是，

故选：D

4．如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算法则，数形结合，即可得答案.

【详解】由题意得：.

故选：C

5．经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】B

【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.

【详解】由于直线的倾斜角为，

则该直线的斜率为，

又因为，，

所以，解得.

故选：B.

6．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】C

【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.

【详解】由解得，则直线的交点，

又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.

故选：C.

7．已知圆与直线切于点，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．

【详解】圆可化为，

所以点与圆心连线所在直线的斜率为，

则所求直线的斜率为，

由点斜式方程，可得，

整理得.

故选：A.

8．“”是“直线与互相垂直”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】判断两直线垂直的方法：设两直线为，，，代入求解参数，根据充分必要性的判断法则即可得答案.

【详解】解：由题意得：

的充要条件是

即，故解得

于是“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.

故选：A

9．如图，是正方体，，则与所成角的余弦值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.

【详解】过点A在平面内作，再过点在平面内作，如图，

则或其补角即为与所成的角，

因为是正方体，不妨设，

则，，

所以在中，.

故选：A.

10．如图，菱形边长为2，，为边的中点，将沿折起，使A到，且平面平面，连接，则下列结论中正确的个数是（       ）

①

②点到平面的距离为

③异面直线与所成角的余弦值为

A．个 B．个

C．个 D．个

【答案】C

【分析】利用反证法，假设，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即，与菱形矛盾，假设不成立，故①错误；如图建系，求得各点坐标，进而可得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，计算求值，即可判断②的正误；根据异面直线夹角的向量求法，即可判断③的正误，即可得答案.

【详解】对于①：反证法：假设，

因为ABCD为菱形，且为边的中点，

所以，

又因为平面平面，平面平面，，

所以平面，

又平面，

所以，又，

所以平面，

所以，

因为ABCD为菱形，所以，且，

所以与矛盾，故假设不成立，

所以错误，即①错误；

对于②：因为两两垂直，以E为原点分别为x，y，z轴正方向建系，如图所示：

所以，

所以，

设平面的法向量，

则，令，则法向量可取，

所以点到平面的距离，故②正确；

对于③：，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为，故③正确.

故选：C

二、填空题

11．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________

【答案】

【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，

 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，

 因为的坐标为，所以,

 所以.

12．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量两两的夹角均为60°，且=1，||=2，||=3，则||等于_____.

【答案】5

【分析】根据已知，用基底表示，由向量的数量积运算法则，求，即可求解

【详解】由平行六面体ABCD-A1B1C1D1可得:，

∴

=12+22+32+2cos60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴=5.

故答案为:5.

【点睛】本题考查空间向量的基本定理，以及向量的模长和向量的数量积运算，属于基础题.

13．已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值______.

【答案】

【分析】设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，

连接交于，交轴于，则此时的周长取最小值，且最小值为，利用对称知识求出和，再利用两点间距离公式即可求解.

【详解】如图：

设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，

连接交于，交轴于，

则此时的周长取最小值，且最小值为，

与关于直线：对称，

，解得：，

，易求得：，

的周长的最小值.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.

三、解答题

14．在平面直角坐标系中，已知，线段的中点M；

(1)求过M点和直线平行的直线方程；

(2)求边的高线所在直线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，求得点M的坐标，和直线直线的斜率，写出直线方程；

（2）根据，得到边的高线的斜率，写出直线方程；

【详解】（1）解：因为，

所以，，

所以过M点和直线平行的直线方程为，

即；

（2）因为，

所以边的高线的斜率为-3，

所以边的高线所在直线方程，

即

15．已知直线经过两点，，圆．

(1)求直线的方程：

(2)设直线与圆交于，两点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由直线过和两点，根据和的坐标，表示出直线的两点式方程，整理可得直线的方程；

（2）由圆的标准方程找出圆心的坐标及半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理及勾股定理，即可求出的长．

【详解】（1）直线经过两点，，

直线的方程为：，即；

（2）由圆的方程得到圆心，半径，

圆心到直线的距离，

弦长．

16．如图，在四棱锥中，平面平面，．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)求点B到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

（2）利用空间向量点到平面的距离公式进行求解即可

【详解】（1）取中点为，连接，，

∵，∴，

又∵，∴，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

在中，，在中，，

以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图

则，，，，

则，，，

设为平面的法向量，

则由，得，令，则，故，

设与平面所成角为，

则直线与平面所成角的正弦值

（2）由（1）可得点B到平面的距离

17．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；

【详解】（1）[方法一]：几何法

因为，所以．

又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，

过E作的平行线分别与交于其中点，连接，

因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，

易证，则．

又因为，所以．

又因为，所以平面．

又因为平面，所以．

 [方法二] 【最优解】：向量法

因为三棱柱是直三棱柱，底面，

，，，又，平面．所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

，．

由题设（）．

因为，

所以，所以．

  [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．

（2）[方法一]【最优解】：向量法

设平面的法向量为，

因为，

所以，即．

令，则

因为平面的法向量为，

设平面与平面的二面角的平面角为，

则．

当时，取最小值为，

此时取最大值为．

所以，此时．

 [方法二] ：几何法

如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．

作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．

设，过作交于点G．

由得．

又，即，所以．

又，即，所以．

所以．

则，

所以，当时，．

[方法三]：投影法

如图，联结，

在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．

设，在中，．

在中，，过D作的平行线交于点Q．

在中，．

在中，由余弦定理得，，，

，，

当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．

【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.

第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．

四、双空题

18．已知点，则直线AB的一个方向向量为____，线段AB的长度为____

【答案】     （答案不唯一）；     5

【分析】直接由方向向量的定义及两点之间的距离求解即可.

【详解】由题意知，直线AB的一个方向向量为；线段AB的长度为.

故答案为：（答案不唯一）；5.

19．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方体的表面及其内部运动，且.

则（1）所有满足条件的点构成的图形的面积为__________；

（2）的最小值为___________.

【答案】          1

【分析】取AD中点E，AB中点F，连接MD、、EF、、，根据射影定理，可证、，进而可证平面，即可得P点的运动轨迹，分别求得等腰梯形各个边长，代入公式，即可得答案；如图建系，求得各点坐标，即可得坐标，根据点到面距离的向量求法，代入公式，计算即可得答案.

【详解】取AD中点E，AB中点F，连接MD、、EF、、，如图所示：

因为平面，

所以MD即为MC在平面内的射影，

因为M、E分别为中点，

所以，

所以，则，

所以，

根据射影定理可得，

同理为MC在平面内的射影，且，

所以，

又E、F分别为AD、AB中点，

所以，

所以四点共面，

所以平面，

因为，则平面，

所以P点的轨迹即为平面，

在等腰梯形中，，

不妨将等腰梯形取出画成平面图，过E、F分别作EG、FH垂直，如下图所示：

所以，

所以，

所以等腰梯形的面积，

所以所有满足条件的点构成的图形的面积为；

由题意可得，当平面时，MP有最小值，即求点M到平面的距离，

分别以为x，y，z轴正方向建系，如下图所示

则，

所以

因为平面，

所以即为平面的法向量，

所以点M到平面的距离，

所以的最小值为1