2022-2023学年北京市北京教育学院附属中学高二上学期期中练习数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市北京教育学院附属中学高二上学期期中练习数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知，，线段中点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用中点坐标公式计算可得结果.
【详解】已知，，
所以线段中点的坐标为.
故选：D.
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解.
【详解】直线变形为，
所以，
设倾斜角为，
则，
因为，
所以.
故选：B
3．已知向量，，则（ ）
A．B．9C．1D．3
【答案】A
【分析】先由向量的坐标运算的减法公式求，再由向量的模的公式求.
【详解】因为，，所以，
所以，
故选：A.
4．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．内切D．外切
【答案】B
【分析】首先计算两圆的圆心之间的距离，利用圆心距与两圆半径之和比较，即可判断.
【详解】由题意知，两圆心之间的距离，圆与圆的半径之和为，，两圆相离.
故选：B
5．直线与直线关于轴对称,则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】取直线两点,找到其关于轴对称的点,利用两点求出所在方程即可.
【详解】解:已知直线,
不妨取直线两点
所以这两点关于轴对称的点为
则直线与直线关于轴对称的直线过这两点,
所以过这两点的直线方程为,
故选:A
6．已知直线，．若，则实数（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】利用两条直线斜率之积为求解.
【详解】若，则，解得或.
故选：C.
【点睛】若直线和直线，当直线时有，.
7．如图在长方体中，设，，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】A
【解析】利用向量加法化简，结合向量数量积运算求得正确结果.
【详解】由长方体的性质可知，
，
所以
.
故选：A
8．已知四棱锥，底面ABCD是平行四边形，点E为PD中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合已知条件，利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】因为四棱锥的底面ABCD是平行四边形，点E为PD中点，
所以
，
因为，，，
所以.
故选：C.
9．在空间直角坐标系中，平面过点，它的一个法向量为．设点为平面内不同于的任意一点，则点的坐标满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程即可.
【详解】因为，，所以，
由已知，，
所以，所以，
故选：C.
10．在平面直角坐标系中，圆方程为，点，P为圆O上一个动点，则的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】设出点的坐标，根据向量数量积的坐标运算，结合已知条件即可求得结果.
【详解】设点的坐标为，则，故，
当且仅当点的坐标为时取得最大值.
故选：D.
二、填空题
11．已知点，，若直线的斜率为－2，则___________．
【答案】－8
【分析】由斜率公式即可求解．
【详解】因为点，，直线的斜率为－2，
所以，解得，
故答案为：－8．
12．若直线：与直线：平行，则___________．
【答案】2
【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数，然后对参数进行检验即可求解.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，解得，，
当时，直线：，直线：，即，满足题意；
当时，直线：，直线：，即，
则此时两直线重合，不满足题意，舍去.
综上所述，.
故答案为：2.
13．已知，，且，那么___________．
【答案】
【分析】利用向量共线定理求解即可.
【详解】，，，则，解得：，.
故答案为：
14．如图，在正方体中，直线与平面所成的角等于____．
【答案】
【详解】正方体中，连接交于点M，连接，
由题可得：，,
所以直线平面,
所以直线与平面所成的角等于,
设正方体的边长为，
所以，，
所以,
所以
【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可．
三、双空题
15．如图，矩形ABCD中边AB与x轴重合，C（2，2），D（﹣1，2）．从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上点Q处．
①若OP的斜率为，则点Q的纵坐标为_________；
②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为_________．
【答案】 ##， ##.
【分析】①由题意可得在的中点上，则由反射光经过与轴的交点，即可求得点Q的纵坐标，
②由题意设，反射线与的交点，入射角和反射角相等， 的斜率与的斜率相等，从而可求出的斜率.
【详解】对于①，因为若OP的斜率为，矩形ABCD中边AB与x轴重合，C（2，2），D（﹣1，2），
所以得在的中点上，
所以反射光经过与轴的交点，即坐标为，
设，则，解得，
所以点Q的纵坐标为，
对于②，由题意设，反射线与的交点，
因为入射角和反射角相等，
所以，
因为的斜率与的斜率相等，
所以，
解得，
所以OP的斜率为，
故答案为：，
四、解答题
16．如图，在正方体中，设，为的中点．
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)异面直线与所成角的大小为；
(2)点到平面的距离为.
【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式计算求异面直线与所成角的大小；(2)求平面的法向量，再求向量在法向量上的投影的大小即可.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，
则有，，， ，，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，所以异面直线与所成角的大小为；
（2）设平面的法向量是 ，则，，
即，
又，，
所以 令，则，，
所以为平面的一个法向量，又，
所以点到平面的距离，
所以点到平面的距离为.
17．已知的顶点为，，．
(1)求边所在的直线的方程；
(2)求边的高线所在的直线的方程；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)10
【分析】（1）直接由点坐标得到两点式方程，化简即可；
（2），则边上高线的斜率为，直接写出点斜式方程，化简即可；
（3）首先求出到直线的距离，再求出的长，则可计算出三角形面积.
【详解】（1）直线的两点式方程为，化简得，故边所在的直线方程为.
（2）由（1）知，故边上高线的斜率为，
故其所在直线方程为，化简得
（3）边所在的直线方程为，故到直线的距离
,
故
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，，，，E为PD的中点．
(1)求证：平面AEC；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)直线与平面所成角的正弦值为.
【分析】（1）连接交于，连接，证明，根据线面平行判定定理证明平面AEC；（2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量和直线的方向向量，根据向量的夹角公式得到答案.
【详解】（1）如图所示：连接交于，连接，则为中点，是棱的中点，
故，平面，平面，故平面.
（2）以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，，
设平面的法向量为，则，所以，
取，可得，所以为平面的一个法向量，，
直线与平面所成角的正弦值为.
19．已知圆过点，，．
(1)求圆的方程；
(2)设直线经过点，且与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用向量，得，进而可求出圆心和半径，得到圆的方程；
（2）由已知，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，列出相应方程，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程.
【详解】（1），，，，
且，得，
故为直径，的中点即为圆的圆心，半径为，故圆心为，所以，
圆的方程为
（2）设圆心到直线的距离为，则，解得，
对于直线，当直线的斜率不存在时，为，满足，
当直线的斜率存在时，设为，故，解得，
故此时为；
综上，直线的方程为或
20．如图四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，点M是SA的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)判断在线段SC上是否存在一点E，使得平面？若存在，确定E点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在点为线段靠近点的三等分点满足条件.
【分析】（1）依题意易得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系．通过,证得平面；
（2）通过计算平面和平面的法向量，由此计算出面面角的余弦值，进而求得二面角的大小；
（3）设出的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，求出关于点坐标的参数，由此判断出点的位置.
【详解】（1）因为 平面.
所以，，又.
如图，以为原点建立空间直角坐标系．
由题意得
所以,,.
所以,,
所以,,平面，
所以平面.
（2）设平面的法向量为，
因为.
所以，即，
令，则.
于是.
因为⊥平面，所以为平面的法向量，
又.
所以.
由图可得所求二面角为钝角，所以二面角大小为.
（3）设，
，
，.
设平面的法向量，
则，即 ，
令，，. 于是，
如果直线平面，
那么，解得 .
所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面.
21．已知圆：与x轴的负半轴相交于点M．
(1)求点的坐标及过点与圆相切的直线方程；
(2)一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形．记圆的外切三角形为，且，．试用表示的面积；
(3)过点M作MA，MB分别与圆相交于点A，B，且直线MA，MB关于x轴对称，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)；
(3).
【分析】（1）对圆方程，令，结合题意即可求得点的坐标；设出过点的切线方程，根据直线与圆的位置关系，即可求得结果；
（2）设出直线的方程，根据其与圆相切，求得斜率以及点的坐标，再结合三角形的形状，即可由面积公式求得结果；
（3）设出直线的方程，联立圆方程，求得点的坐标，同理求得点的坐标，即可求得的斜率.
【详解】（1）对方程，令，解得（舍）或，故点坐标为；
显然过点与圆相切的直线斜率存在，设其为，
则，整理得，解得，
故过点与圆相切的直线方程为：，即.
（2）根据几何关系可得：△为直角三角形，直线斜率显然存在，且不为零；
设方程为，则，，解得（舍）或；
则直线方程为：，令，则，即点坐标为；
故，
即.
（3）显然直线的斜率不为零，故设其方程为，联立圆方程可得：
，则，故，
则，故点的坐标为；
又直线的斜率与直线的斜率互为相反数，故点坐标为，
则直线的斜率.