2022-2023学年北京市大峪中学高二上学期期中调研数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市大峪中学高二上学期期中调研数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解.
【详解】直线
变形为
所以
设倾斜角为
则
因为
所以
故选:B
【点睛】本题考查了直线方程中倾斜角与斜率的关系,属于基础题.
2．如图，直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.
【详解】由斜率的定义知，.
故选：D.
3．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.
【详解】由解得，则直线的交点，
又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.
故选：C.
4．已知方程表示圆，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题首先根据圆的一般式方程可知，再根据题意即可列出不等式，最后通过计算得出结果．
【详解】由圆的一般式方程可得即，解得，故选C．
【点睛】本题考查的是圆的相关性质，对圆的一般式方程的性质的了解是解决本题的关键，方程想要表示圆，则需要满足，是简单题．
5．经过三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
6．已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解之可求得答案.
【详解】解：因为，，三个向量共面，所以设，即，
所以，解得，
故选：D.
7．已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】构建空间直角坐标系，求面ABC的一个法向量及，由原点到平面ABC的距离为在上的投影长，应用空间向量夹角的坐标表示求，进而求点面距即可.
【详解】由题设，，若是面ABC的一个法向量，
∴，令，则，又，
若原点到平面ABC的距离为，则为在上的投影长，而，
∴.
故选：B
8．如图所示，在平行六面体中，与的交点为M．设，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意用向量去表示，再由，即可得出结果.
【详解】
由图可得，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查空间向量的运算，属于中档题.
9．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BA⊥AD，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体，使平面⊥平面BCD，则四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用面面垂直的性质定理证明平面，然后用等积法求解即可
【详解】由题意，平面⊥平面BCD，平面平面，
又BD⊥CD，平面，
所以平面，
因为AB=AD=CD=1，
所以，
所以，
所以四面体的体积为，
故选：A
10．如图，在边长为的正方体中，是棱上一点且，是面上的点.一质点从点射向点，遇到正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点，则线段与的长度之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，作点关于平面的对称点，计算出即可.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、，
作点关于平面的对称点，由对称性可知，
且、、三点共线，
故.
故选：C.
二、填空题
11．如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________．
【答案】
【分析】根据中点，得到∥，∥，然后根据平行得到为异面直线与所成角或其补角，最后求角即可.
【详解】
如图，连接，，，
因为，，，分别为，，，的中点，所以∥，∥，为异面直线与所成角或其补角，
因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以.
故答案为：.
12．若直线l：ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等，则a=____.
【答案】1
【分析】由题意知a≠0，再分别令x=0，y=0，求得在x轴和y轴上的截距，然后根据两者相等求解.
【详解】由题意知a≠0，当x=0时，y=2；当y=0时，x=，
因为直线l：ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等，
所以2=，
解得a=1.
故答案为：1
【点睛】本题主要考查直线的方程的应用，属于基础题.
13．过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是______．
【答案】
【分析】由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程.
【详解】解：由得，所以圆的圆心为，
所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得，
所以直线l的方程为，即，
故答案为：.
14．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离"：在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
③到M(-1，0)，N(1，0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线；
④到M(-1，0)，N(1，0)两点的“折线距离”之和为6的点的集合是面积为16的六边形.
其中正确的命题是_________.(写出所有正确命题的序号)
【答案】②③④
【分析】设动点，分别表示出“折线距离”，分类讨论去掉绝对值，依次判断4个命题即可
【详解】设动点，，由图像可知点的轨迹为正方形，
则①错误；②正确；
对③，，
当时，显然不成立；当时，化简得；
当时，显然不成立；即的集合是两条平行直线，③正确；
对④，，
当时，化简得；
当时，化简得；
当时，化简得，即；
当时，化简得；
当时，化简得；
由图像可知的集合是六边形，其面积为，④正确；
故答案为②③④.
三、解答题
15．已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.
（1）在中，求边中线所在直线方程；
（2）求平行四边形的顶点的坐标及边的长度.
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）求出边中点坐标，即可求出中线方程；
（2）由是BD中点即可求出的坐标，由距离公式可求出的长度.
【详解】（1）设边中点为，则点坐标为，
直线，
直线的方程为：，
即：，边中线所在直线的方程为：；
（2）设点的坐标为，由已知得为线段的中点，
有，解得，，
又，，
则.
16．已知直线.
(1)当a=1时，求两直线的距离；
(2)若.求a的值；
(3)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）利用两平行线间的距离公式求解即可；
（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；
（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解
【详解】（1）当a=1时，，
所以两直线的距离为；
（2）若，
则，
解得；
（3）原点到直线的距离为
，
当时，
17．已知两点D（4，2），M（3，0）及圆C：，l为经过点M的一条动直线．
(1)若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；
(2)若直线l与圆C相交于两点A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求△ABD的面积．
条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为－3．
【答案】(1)证明见解析
(2)任选一条件，面积皆为
【分析】（1）方法一：求出直线l的方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线l的距离，与半径比较得到结论；
方法二：观察到点D在圆C上，求出直线l的斜率及直线的斜率，得到直线l与直线垂直，从而证明出相切；
（2）选择①：得到直线l过圆心C（2，3），求出直线l的方程，得到D到直线l的距离及的长，从而求出面积；
选择②：求出直线l的方程，观察到圆心C（2，3）在直线l上，得到D到直线l的距离及的长，从而求出面积；
【详解】（1）方法一：若直线l经过点D，则直线l的方程为，即2x－y－6＝0．
由题意，圆C的圆心为C（2，3），半径，则圆心C（2，3）到直线l的距离为，
所以直线l与圆C相切．
方法二：由D（4，2）满足C：，可知点D在圆C上，圆心为C（2，3）．
若直线l经过点D，则直线l的斜率，
又，所以，所以l⊥CD．
所以直线l与圆C相切．
（2）选择条件①：若直线l平分圆C，
则直线l过圆心C（2，3），直线l的方程为，即3x＋y－9＝0．
，点D（4，2）到直线l的距离，
所以．
选择条件②：若直线l的斜率为－3，
则直线l的方程为，即3x＋y－9＝0，
此时圆心C（2，3）在直线l上，则，
点D（4，2）到直线l的距离，所以．
18．如图，在三棱柱中，平面ABC，为正三角形，侧面是边长为2的正方形，D为BC的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角大小的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）先证，，进而证得平面，即可证得平面平面；
（2）取的中点，先证，再由平面证得，则即为二面角的平面角，再由三角形知识求出余弦值即可.
【详解】（1）由为正三角形，D为BC的中点，可得，又平面ABC，平面ABC，则，
又，平面，则平面，又平面，则平面平面；
（2）
取的中点，连接，由为正三角形，可得，又平面ABC，，则平面ABC，
又平面ABC，则，又，平面，则平面，又平面，
则，则即为二面角的平面角，易得，，
，所以，所以二面角大小的余弦值为.
19．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，分别是，的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点，使得平面?若存在.求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）取的中点G，连接，，则，，证明出四边形是平行四边形，从而，进而得出平面；
（2）由底面，则，，建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量求与平面所成角的正弦值；
（3）侧棱底面，只要在上找到一点，使得，即可证明平面，根据第（2）问的向量坐标表示，利用向量的数量积为，求出坐标，进而得出的值.
【详解】（1）
取的中点G，连接，，
，分别是，的中点，
，，
底面是矩形，是的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面.
（2）底面，，，
又底面是矩形，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
，，
设平面的法向量，则
，即，
令，得，，
，又，
设与平面所成角为，
，
与平面所成角的正弦值为.
（3）
侧棱底面，
只要在上找到一点，使得，即可证明平面，
设上存在一点，则，，
，，
由，解得，
上存在一点，使得平面，
.
20．已知直线均过点P(1，2).
(1)若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程；
(2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）易得 ，由，得到，写出直线的方程；
（2）由直线的方程，分别令，，得到直线与坐标轴的交点，同理得到直线与x的交点，再转化为三角形面积求解.
【详解】（1）解：因为直线均过点P(1，2)，且直线又过点A(-1，3)，
所以 ，因为，
所以，则直线的方程，即；
（2）如图所示：
由题意得：直线的方程为：，
令，得，即，
令，得，即直线与x轴的交点为，
直线又过点，
所以直线的方程为：，
即，
令，得，即，
所以，
，
，
因为，
所以当时， PNOM面积的最小值为.
四、双空题
21．已知点，，则直线AB的一个方向向量为_________，一个法向量为_________．
【答案】 （不唯一）； （不唯一）.
【分析】直接由方向向量以及法向量的定义求解即可.
【详解】由题意知，直线AB的一个方向向量为；
直线的法向量与方向向量垂直，故数量积为0，可选取一个法向量为.
故答案为：（不唯一）；（不唯一）.