2022-2023学年北京市海淀区玉渊潭中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市海淀区玉渊潭中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．复数的实部是虚部的2倍，则的值为

A． B． C．-2 D．2

【答案】D

【解析】根据复数的概念，可直接得出结果.

【详解】的实部为，虚部为1，实部是虚部的2倍，所以，.

故选D

【点睛】本题主要考查由复数的实部与虚部的关系求参数，熟记复数概念即可，属于基础题型.

2．下列直线中，倾斜角为45°的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解.

【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为，

对于A，直线斜率为，

对于B，直线无斜率，

对于C，直线斜率，

对于D，直线斜率，

故选：C

3．若直线与直线垂直，则a的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.

【详解】由于直线与直线垂直，所以，解得.

故选：A

4．圆的一条直径的两个端点是，则此圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】用中点坐标公式求出圆心，再求出直径，即可得到圆的方程.

【详解】解：因为圆的一条直径的两个端点是，，所以圆心坐标为，直径为，则半径为，

所以圆的方程为.

故选：B

5．原点到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.

【详解】由点到直线距离可知所求距离.

故选：D

【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.

6．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】设点A到平面PBC的距离为，根据等体积法求解即可.

【详解】因为平面ABC，

所以,

因为，，

所以

又，，

所以,

所以,

设点A到平面PBC的距离为，

则,

即,

，

故选：A

7．如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的基本定理，用，，表示向量．

【详解】因为是的中点，是的中点，

，．

故选：B

8．已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，先求夹角的余弦，再求点A到直线BE的距离.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．

∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.

故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×.

故答案为B

【点睛】本题主要考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.

9．设集合，，若，则实数a的值为（    ）

A．4 B． C．4或 D．或2

【答案】C

【分析】本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.

【详解】解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，

集合B表示直线上的点，

当时，

直线与平行或直线过点，

所以或，

解得或．

故选：C.

【点睛】本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.

10．如图所示，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据题意，确定的轨迹为过且平行于平面的平面与平面的交线，即、边上的中点的连线，再根据线面角的定义可得与平面所成角的正切值为，进而根据的范围求解正切值范围即可.

【详解】设，，分别为、、边上的中点，则因为且，故四边形为平行四边形，故，又，故，则四点共面.

又同理，平面，平面，故平面.

同理平面，又平面，且交于，故平面平面.

又∵面，

∴落在线段上，设的中点为，易得三角形为等腰直角三角形，故，设正方体棱长为4，则.

因为平面，故与平面所成角的正切值为.

则当与重合时，与平面所成角的正切值有最大值；

当与或重合时，与平面所成角的正切值有最小值；

故与平面所成角的正切值构成的集合是．

故选：B

二、填空题

11．已知复数，则____.

【答案】

【详解】

12．过点的直线方程是__________.

【答案】（形式不唯一）

【分析】由两点坐标求出斜率，由点斜式求得方程

【详解】，故过点的直线方程是，即.

故答案为：（形式不唯一）

13．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小为___________.

【答案】900

【详解】不妨设BB1=1，则AB=，

∴直线AB1与C1B所成角为90°

故答案为900.

点睛：这个题目考查的是立体中异面直线的夹角的求法，常用方法是建系法，直接找两个直线的方向向量，求方向向量的夹角即可；或者将异面直线平移到同一个平面中，转化为平面直线的夹角问题．

14．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：

①点与点间的距离为3；

②直线到平面的距离是；

③存在点，使得；

④△面积的最小值是.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①③

【分析】对①，由空间两点距离公式可求；

对②，证平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，由等体积法列式即可求；

对③，设 ，可得，由向量垂直的坐标表示，存在点使等价于有解；

对④，由点到直线距离求P到的距离d，则△面积为，讨论最小值即可

【详解】由题，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，

对①， ，①对；

对②，分别是棱的中点，∴，平面，平面，故平面，

故直线到平面的距离等于点到平面的距离.

，，，，

由得，即为点到平面的距离，②错；

对③，设 ，则，则，，

由即得，

由，故存在点，使得，③对；

对④，由③得到的投影为，故P到的距离，

△面积为 ，由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错.

故选：①③

三、解答题

15．设直线l经过点A（1，0），且与直线3x+4y﹣12＝0平行.

（Ⅰ）求直线l的方程；

（Ⅱ）若点B（a，1）到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）首先求出直线的斜率，再利用点斜式计算可得；

（Ⅱ）利用点到线的距离公式得到不等式，解得即可；

【详解】解：（Ⅰ）因为直线的斜率，又直线过点，所以直线的方程为，整理得

（Ⅱ）点到直线的距离，依题意可得，即，解得，即

【点睛】本题考查两直线平行求直线方程以及点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

16．如图，在直三棱柱中，，，.M为侧棱的中点，连接，，CM.

(1)求与平面所成角的正弦值；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)1；

(2)

【分析】（1）平面ABC，，以C为原点建立空间直角坐标系如图所示，由向量法可得，，则由线线垂直可证平面，即可求正弦值；

（2）由向量法求二面角的余弦值，即可求得角度

【详解】（1）直三棱柱中，平面ABC，又，以C为原点建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，，，

∵，，∴，又平面，∴平面，

∴与平面所成角的正弦值为1；

（2）由（1）知是平面的法向量，是平面的法向量，

设二面角为，故，故.

故二面角的大小为

17．求满足下列条件的圆的方程.

(1)经过点，圆心为点；

(2)经过点，且圆心在轴上.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面直角坐标系上两点间的距离公式求出即圆的半径，再根据圆心坐标，即可得到圆的方程；

（2）设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为，将点、坐标代入得到方程组，解得、，即可得解.

【详解】（1）解：因为，即圆的半径，

又圆心为，所以圆的方程为.

（2）解：设圆心坐标为，半径为，

所以圆的方程为，

因为圆经过点，，

所以，解得，

所以圆的方程为.

18．已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形.在三棱锥中：

(1)求点到平面的距离；

(2)若点在棱上，满足，点在棱上，且，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据四边形为正方形，得到，再利用勾股定理得到，即可证得平面，然后利用等体积的方法即可求得点到平面的距离；

（2）建立空间直角坐标系，通过设，，得到和的坐标，再利用列等式，得到的关系，根据的范围即可得到的范围.

【详解】（1）

如图，取，中点，，连接，，，

∵展开图中四边形为边长为的正方形，为中点，

∴，，

又和均为正三角形，∴，，

∵，∴，

∵，平面，平面,

∴平面，

设点到平面的距离为，

，解得，

所以点到平面的距离为.

（2）

如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，，,

∵，∴，，

设，则,

∵，∴，整理得，

∵，∴，

∴的范围为.

四、双空题

19．圆的圆心坐标为___________；半径为___________.

【答案】         

【分析】配方后可得圆心坐标和半径．

【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是，

圆心坐标为，半径为．

故答案为：；．