2022-2023学年北京市陈经纶中学高二上学期期中质量检测数学试题(解析版)
展开一、单选题
1.已知,,. 若,则( ).
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】求出向量的坐标,由空间向量垂直的坐标表示可求得的值.
【详解】由已知可得,由题意可得,
解得.
故选:A.
2.点到直线的距离是( ).
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】利用点到直线的距离公式求距离即可.
【详解】.
故选:B.
3.直线经过点,且倾斜角,则直线的方程为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】利用直线的点斜式方程求解.
【详解】解:因为直线的倾斜角,
所以直线的斜率为1,
又直线经过点,
所以直线的方程为,
即,
故选:B
4.若圆与圆相外切,则实数 ( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】由两圆外切圆心距等于半径之和求解即可
【详解】的圆心,半径为2,
的圆心,半径为1,
因为两圆外切,
所以,
即,解得,
故选:C
5.已知两个不重合的平面与平面ABC,若平面的法向量为,,,则( ).
A.平面平面ABC
B.平面平面ABC
C.平面、平面ABC相交但不垂直
D.以上均不可能
【答案】A
【分析】求出平面的法向量,利用向量关系即可判断.
【详解】设平面的法向量为,
则,即,令,可得,
所以,
因为,所以平面平面.
故选:A.
6.在平面直角坐标系中,椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为 ,过的直线交椭圆于两点,且的周长为16,则椭圆的方程为
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】结合椭圆定义可知的周长为,由此求得;利用离心率可求得;根据椭圆可求得,进而得到椭圆方程.
【详解】设椭圆方程为
由椭圆定义知: 的周长为
即,解得:
椭圆的方程为
故选:
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解,涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.
7.三棱锥中,,平面,,,则直线和直线所成的角的余弦值为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】将三棱锥放到长方体中,然后利用长方体的特征和余弦定理求角即可.
【详解】
如图,将三棱锥放到长方体中,由题意知,∥,所以或其补角是直线和直线所成角,
因为,,所以,,,.
故选:C.
8.“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由两直线平行得出的值,再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线与直线平行,则有解得或,所以当时,直线与直线平行,当直线与直线平行时,或.
故选:A
9.已知椭圆的左、右焦点分别是,,若离心率,则称椭圆为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是( )
①在黄金椭圆中,;
②在黄金椭圆中,若上顶点、右顶点分别为,,则;
③在黄金椭圆中,以,,,为顶点的菱形的内切圆过焦点,.
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据黄金椭圆的概念及可判断①,根据条件及勾股定理可判断②,根据条件可求内切圆的半径进而可判断③.
【详解】对①,因为,所以,则
,故①正确;
对②,因为在中,,由①知,,
所以,
即,故②正确;
对③,由题可知以为顶点的菱形的内切圆是以原点为圆心,设圆心的半径为,
所以,
代入离心率得到,所以圆过焦点,故③正确.
故选:D.
10.如图,等腰直角中,,点为平面外一动点,满足,,给出下列四个结论:
①存在点,使得平面平面;
②存在点,使得平面平面;
③设的面积为,则的取值范围是;
④设二面角的大小为,则的取值范围是.
其中正确结论是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
【答案】B
【解析】①当时,结合条件,利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判断;②取AP的中点M,根据,得到,利用反证法判断;③由AP=4,AC=2,得到,由点P在平面上的极限位置判断;④根据,由点在平面内时 ,当点运动时,设点A到平面的距离为h,根据,由判断.
【详解】如图所示:
①当时,又,所以平面ABC,所以,又,所以平面PBC,又平面PAC,所以平面平面,故正确;
②取AP的中点M,连接BM,CM,因为,所以,假设平面平面,则平面PAC,则,而BM=BC=2,,不成立,故错误;
③因为AP=4,AC=2,所以,当点P在平面上,且C,P在A,B的异侧 ,当C,P在A,B的同侧时,A,C,P共线, ,因为点为平面外,则的取值范围是,故错误;
④因为,当点在平面内时 ,当点运动时,设点A到平面的距离为h,因为,则,所以,所以的取值范围是,故正确.
故选:B
【点睛】关键点点睛:本题③④的解决关键在于理解点P是绕AB轴在旋转,从而找到极限位置而得解.
二、填空题
11.写出一个圆心在直线上,且经过原点的圆的方程:______.
【答案】(答案不唯一)
【分析】利用圆心在直线上设圆心坐标为,由于圆过原点,得半径,对赋值,可得一个符合条件的圆的方程.
【详解】解:因为圆心在直线,则设圆心坐标为
又圆经过原点
则圆的半径为,且
故取,得圆心为,半径
所以圆的方程为:.
故答案为:(答案不唯一)
12.已知直线,,,若.则的倾斜角为______.
【答案】60°##
【分析】根据可求得的斜率,再根据直线斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】因为的斜率为,且,故的斜率为,故的倾斜角为60°.
故答案为:60°
13.不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为,则m的值为______.
【答案】-4
【分析】根据圆的弦长公式计算即可.
【详解】由题意知曲线C是圆心坐标为(1,1),半径为2的圆,∴圆心到直线l的距离,
∴,
解得或.
∵直线不经过坐标原点,
∴,
故答案为:-4.
14.在空间四边形中,则______.
【答案】0
【分析】选取一组基底,利用空间向量的加减法,结合数量积的运算律,可得答案.
【详解】如图:
令,,,
则.
故答案为:.
15.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度AD为m,行车道总宽度BC为m,侧墙EA、FD高为2m,弧顶高MN为5m.为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m.请计算车辆通过隧道的限制高度是_________.
【答案】##
【分析】通过已知数据求出圆弧的半径,再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度,最后减去安全高度差即可.
【详解】如下图,圆弧的圆心O在直线MN上,过B作,交圆弧于点G,作于点H,连接OE、OG.
由题可知,,,
设,则
在中,有
即,解得
故车辆通过隧道的限制高度是.
故答案为:
16.如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点在线段上运动,给出下列四个结论:
①平面截正方体所得的截面图形是五边形;
②直线到平面的距离是;
③存在点,使得;
④△面积的最小值是.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③
【分析】作出截面图形判断①,利用等积法可判断②,利用坐标法可判断③④.
【详解】对于①,如图直线与、的延长线分别交于,连接分别交于,连接,
则五边形即为所得的截面图形,故①正确;
对于②,由题可知,平面,平面,
∴平面,故点到平面的距离即为直线到平面的距离,
设点到平面的距离为h,由正方体的棱长为2可得,
,,
∴,
,
∴由,可得,
所以直线到平面的距离是,故②错误;
对于③,如图建立空间直角坐标系,则,
设,
∴,又,
∴,,
假设存在点,使得,
∴,整理得,
∴(舍去)或,
故存在点,使得,故③正确;
对于④,由上知,所以点在的射影为,
∴点到的距离为:
,
∴当时,,
∴故△面积的最小值是,故④错误.
故答案为:①③.
三、解答题
17.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=2CC1=2,点是的中点.
(1)求点D到平面AD1E的距离;
(2)求证:平面AD1E⊥平面EBB1.
【答案】(1);
(2)证明过程见解析.
【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用点到平面距离公式求出答案;
(2)利用空间向量的数量积为0证明出,从而证明出线面垂直,进而证明出面面垂直.
【详解】(1)以D为坐标原点,分别以DA,DC,为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则,
设平面的法向量为,
则,
令得:,
所以,
则点D到平面AD1E的距离为;
(2),
所以,,
所以,
因为,平面,
所以平面,
因为平面,
所以平面⊥平面.
18.已知圆过点,圆心为.
(1)求圆的方程;
(2)判断直线与圆的位置关系;
(3)已知过点的直线交圆于两点,且,求直线的方程.
【答案】(1)
(2)直线与圆相切
(3)或
【分析】(1)由两点间的距离公式求出半径,即可得解;
(2)求出圆心到直线的距离,即可判断;
(3)分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论,利用垂径定理与勾股定理表示出弦长,即可求出参数的值,从而得解.
【详解】(1)解:由题意,圆的半径为,
所以圆的方程为.
(2)解:设圆心到直线的距离为,则,故直线与圆相切;
(3)解:若斜率不存在,则直线方程为,弦心距,半径为,
则,符合题意;·
若斜率存在,设直线方程为,即.
所以弦心距,所以,
解得,直线方程为,
综上所述,直线的方程为或.
19.已知在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,过焦点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)从下面两个条件中任选其一作为已知,证明另一个成立:
①;②直线的斜率满足:.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)由椭圆的性质求解,
(2)联立直线与椭圆方程公式,由弦长公式与韦达定理化简求解,
【详解】(1)依题意,有:,则,
故椭圆的标准方程为:·
(2)选①作为已知:
当直线斜率不存在时,与椭圆交点为,此时,不合题意,
当直线斜率存在时,设,联立,有:,
,
则,
令,则有:,
解得,
选②作为已知:
依题意,,则直线,
联立,有,
,
则,
即
20.如图,在四棱锥中,,,,,平面,且,点在棱上,点为中点.
(1)证明:若,则直线平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)是否存在点,使与平面所成角的正弦值为?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在点,此时或
【分析】(1)构造平面与平面平行,从而得到直线平面;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量计算二面角的余弦值;
(3)假设存在点M,设点M的坐标,由已知建立等式,求解所设,若无解则点M不存在,若有解,则点M存在,解即为点M的坐标,再代入求原式即可.
【详解】(1)
如图所示,在线段上取一点,使,连接,,
,
,
平面
平面
又,,
,四边形为平行四边形,
,
平面
平面
又,
所以平面平面,
平面,
平面;
(2)
如图所示,以点为坐标原点,以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
又是中点,则,
所以,,,
设平面的法向量,
则,令,则,
设平面的法向量,
则,令,则,
所以,
(3)存在,或
假设存在点,设,即,,
由(2)得,,,且平面的法向量,
则,,
则,
,
解得或,
故存在点,此时或.
21.对于向量,若三个实数互不相等,令向量,其中,,,().
(1)当时,直接写出向量;
(2)证明:对于,向量中的三个实数至多有一个为0;
(3)若,证明:,.
【答案】(1);
(2)证明见解析;
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据已知条件,结合的定义,直接写出即可;
(2)假设三个数中有2个数为0,或三个数均为0,利用反证法,结合题意,推出矛盾即可证明;
(3)设三个数中最大的为,结合(2)中所证,分类讨论,即可证明.
【详解】(1)根据题意,,
.
(2)假设三个数中有2个数为0,或三个数均为0.
不妨设,
则,即,
这与矛盾;
当三个数均为0时,显然,
则,
所以(定值),
由三个数互不相等,得,
且,
不妨设,则有
由得,
所以,即
以此类推得
这与三个数互不相等矛盾,
所以对于任意的三个数中至多有一个为0.
(3)设三个数中最大的为,记作
因为且
所以其中
由题意可得,其中
所以不可能单调递减,即必存在某个,使得.
根据的定义,可得向量中的三个数中必有0.
由(2)知中有且仅有一个为零,不妨设,
若,由题意,不妨设,
则,
所以同理
所以
又因为
所以此种情形不可能一直出现(至多出现次).
所以一定能找到某个,使得
若,由题意可得:
所以存在正整数,使得.
综上,存在正整数,使得.
【点睛】关键点点睛:本题考查新定义问题,处理问题的关键是要充分把握新定义的内核,以及熟练的使用证明方法,属综合困难题.
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