2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高二上学期10月月考数学试题（解析版 ）

2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．在复平面内，复数的对应点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】复数的对应点为，可得．再利用复数的运算法则即可得出．

【详解】因为复数的对应点为，所以，

则，

故选：D．

2．已知向量，是平面内的两个不共线的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案.

【详解】解：由题意，，.

因为向量，是平面内的两个不共线的非零向量，

所以，根据平面向量基本定理，对于平面内的任意直线，其方向向量为，存在唯一实数对使得成立，

所以，，即，

所以直线与平面内的任意直线都垂直，故；

若，根据线面垂直的定义，可以得到，且.

所以“，且”是的充分必要条件.

故选：C.

3．襄阳五中高二年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为130，90，85，103，93，99，101，116．则这8名学生数学成绩的第70百分位数为（　　）

A．102 B．103 C．101 D．99

【答案】B

【分析】先将8名学生某次考试的数学成绩按递增排序，再由求解.

【详解】解：8名学生某次考试的数学成绩分别为85，90，93，99，101，103，116，130，

因为，

所以这8名学生数学成绩的第70百分位数为103，

故选：B

4．若向量与向量的夹角为，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据数量积定理求出两向量夹角的正弦值，再根据正余弦值之间的关系求出.

【详解】因为，，

所以，

所以

故选：D

5．两条平行直线和间的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出m，利用两平行线间的距离公式即可求解.

【详解】因为两直线和平行，

所以，解得：，

即可化为：，

所以两平行线间的距离.

故选：B.

6．直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分斜率存在不存在，若斜率存在，根据直线方程求出斜率，由斜率求倾斜角.

【详解】设直线的倾斜角为，

当时，；

当时，则．

因为

所以

综上可得：．

故选：A

7．如图，焦点在轴上的椭圆：的左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，若的内切圆在边上的切点为，且，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

【答案】D

【分析】由的内切圆在边上的切点为，根据切线长定理，可得，再结合，求得，即可得到的值．

【详解】解：如图，的内切圆在边上的切点为，设内切圆与、分别切于点、，

根据切线长定理可得，，

，

，

，

，

则，

即，，

故选：D．

8．若直线与函数的图象恰有3个不同的交点，则k的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】可得的图象是由一段线段和半圆构成，画出函数图象，数形结合即可求出.

【详解】当时，，表示线段，

当时，，即，其中，此时函数图象为以为圆心，1为半径且在轴下方的半圆，

的图象如图所示，直线过定点.

当直线与圆的下半部分相切时，，

解得或（舍去），

当直线经过点时，.

数形结合可得.

故选：C.

二、多选题

9．已知圆C和直线及轴都相切，且过点，则该圆的方程是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】首先设出圆的方程，根据直线与圆相切以及圆经过的点，列出等量关系即可求解.

【详解】由题意设所求圆的方程为，圆与轴相切，.

依据其他条件则有，解得或，所以该圆的方程为

或

故选：AB

10．一箱产品有正品4件､次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（    ）

A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B．“至少有1件次品”和“都是次品”

C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D．“至少有1件次品”和“都是正品”

【答案】AD

【分析】根据题意,由互斥事件的定义分析所给的四个选项，可得答案.

【详解】根据题意，依次分析所给的4个事件：

对于A：“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”与“恰有2件次品”不会同时发生，是互斥事件；

对于B：“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件；

对于C:“至少有1件正品”包括“恰有1件正品和“2件都是正品”，“至少有1件次品” 包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，因此两事件不是互斥事件；

对于D:“至少有1件次品”包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，与“都是正品”不会同时发生,是互斥事件，故AD是互斥事件.

故选：AD

11．已知，是椭圆C：的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则（　　）

A．当时，满足的点P有2个

B．当时，满足的点P有4个

C．的周长等于4a

D．的面积一定小于

【答案】AB

【分析】以为直径的圆为，根据圆和椭圆的交点个数判断AB正确，的周长为，C错误，取，面积等于，D错误，得到答案.

【详解】以为直径的圆为，

当时，，此时圆与椭圆的交点为椭圆的上下两个顶点，A正确；

当时，，此时圆与轴的交点在椭圆的外面，圆与轴的交点在椭圆里面，故椭圆与圆有4个交点，故B正确；

的周长为，C错误；

的面积最大值为，取，此时面积等于，D错误.

故选：AB

12．在正方体中，点M在线段上运动，则下列说法正确的是（　　）

A．直线平面

B．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

C．异面直线AM与所成角的取值范围是

D．三棱锥的体积为定值

【答案】ABD

【分析】根据空间点线面之间的关系，逐项分析判断即可得解.

【详解】

对A选项，在正方体中，如图，又平面，

所以，所以平面，所以，同理，所以直线平面，故A正确；

对选项B，连接交于点，连接交于点，根据对称性，当点M位于点时，直线与平面所成角最大为，设正方体的边长为2，则，此时，故B正确；

对C，由，异面直线AM与所成角为直线AM与所成角，故当在点处时所成角最大，此时，所成角为，当在点或处时，所成角最小为，故C错误；

对D，因为，平面，所以平面，又直线，

所以动点到平面的距离恒定，故三棱锥的体积为定值，D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为_________．

【答案】或

【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.

【详解】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．

当时，直线l过点，

又直线l过点，故直线l的斜率，

故直线l的方程为，即；

当时，直线l的方程为，即，

∴直线l过点，

∴，

∴，

∴直线l的方程为．

综上可知，直线l的方程为或．

故答案为：或.

14．设空间向量，，若，则________．

【答案】9

【分析】先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出和的值，进而可得的坐标，再由模长公式即可求解.

【详解】因为空间向量，，

由，即，

可得，解得：，，

所以，，则，

所以．

故答案为：．

15．已知椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若＝2，则椭圆C的离心率是__．

【答案】

【分析】根据已知条件利用内角平分线定理，结合合比定理得到，然后根据椭圆的定义和离心率的定义求得离心率.

【详解】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有，即有,即有，

故答案为：．

四、双空题

16．函数的最大值为________，最小值为________．

【答案】     1    

【分析】令，则，相当于过，直线的斜率.

【详解】由题，得，故设，

则，相当于过A，B直线的斜率.

点B所对应图形为以原点为圆心，半径为1的在轴上侧的半圆，

如下图所示.

如图，当，即点B坐标为时，直线AB斜率最大为.

如图，当直线AB与半圆相切时，直线AB斜率最小设为，

则直线AB方程为，因其与半圆相切，

则其到圆心距离.

解得或（舍，因其大于1）.

故答案为：1；

五、解答题

17．中，内角的对边分别为，且满足．

（1）求；

（2）若，且向量与共线，求的周长

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式化简得到，即可得解；

（2）由向量共线的坐标表示得到，再利用正弦定理将角化边即可得到，再利用余弦定理求出，即可得解；

【详解】解：（1），

，

，，，

，

（2）因为与共线，，所以

由余弦定理得：，即，即，所以

周长为

18．2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；

（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．

【答案】（1）86；86分；（2）.

【分析】（1）根据频率分布直方图，结合众数和中位数的公式，即可计算；

（2）首先根据频率可知在中抽取2人，中抽3人，再分别编号，列举所有的基本事件和满足条件的基本事件，即可计算概率.

【详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名党员成绩的众数为，

成绩在的频率为，

成绩在的频率为，

故中位数位于之间，中位数是（分）．

（2）∵与的党员人数的比值为2:3，

采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，

设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，

则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：

，，，，，，，，，，共10个样本点，

这2人中至少有1人成绩低于76分的有：

，，，，，，，共7个样本点，

故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．

19．已知方程．

(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；

(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值；

(3)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值．

【答案】(1)，且

(2)

(3)

【分析】(1)根据直线方程的特征列出方程，解之即可；

(2)根据（1）直接得出结论；

(3)根据直线的倾斜角与斜率之间的关系，列出方程，解之即可求解.

【详解】（1）当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，

令，解得，；

令，解得，；

∴方程表示一条直线的条件是：，且．

（2）由（1）易知，当时，方程表示的直线的斜率不存在，

此时的方程为：，它表示一条垂直于x轴的直线．

（3）∵直线l的倾斜角是45°，∴其斜率为1，

∴，解得或（舍去）．

∴直线l的倾斜角是45°时，．

20．如图，在四棱锥中，底面，四边形中，，.

（1）求证：平面平面；

（2）设，若直线与平面所成角大小为30°，求线段的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得，再利用线面垂直及面面垂直的判定定理可证得结果；

（2）以为原点，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出线面夹角，得到关于t的方程，求解即可.

【详解】（1）证明：底面，平面，

又，且，平面，

又平面，所以平面平面；

（2）如图以为原点，以，，所在直线为轴建立空间坐标系，

在底面内，作交于E，则，

在直角中，

设，则，，

由，则，则，，，

所以，，

设平面的法向量为，得，

取，则

故由直线与平面所成角大小为30°，则有，

即，化简得：，

解得：或（舍去，因为），即.

【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：

设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

①两直线所成的角为(),；

②直线与平面所成的角为(),；

③二面角的大小为(),

21．已知椭圆的离心率是，一个顶点是.

（1）求椭圆C的标准方程

（2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据离心率、点坐标求得，由此求得椭圆方程.

（2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，结合列方程，化简求得所过定点.

【详解】（1）椭圆焦点在轴上，所以，解得，

所以椭圆方程为.

（2）依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，

由消去并化简得，

则①，

，即.

因为，且直线的斜率均存在，

所以，整理得②，

因为，

所以，，代入②整理得：

，

将①代入上式并化简得，解得或（舍去），

使成立.

所以直线恒过定点.

22．已知的内切圆的圆心M在y轴正半轴上，半径为1，直线截圆M所得的弦长为．

(1)求圆M方程；

(2)若点C的坐标为，求直线AC和BC的斜率；

(3)若A，B两点在x轴上移动，且，求面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由题意，设出圆心坐标，利用点到直线的距离以及垂径定理，建立方程，可得答案；

（2）分直线斜率存在与不存在两种情况，利用切线的性质，圆心到切线的距离等于半径，建立方程，可得答案；

（3）由题意，设出点的坐标，利用几何法表示出直线的斜率，写出直线方程，联立求点的坐标，点的纵坐标取最小值时，可得答案.

【详解】（1）设的内切圆的圆心，，圆心到直线的距离为，

又因为直线截圆M所得的弦长为，所以，

解得，所以圆M方程；

（2）当直线AC和BC的斜率不存在时，设直线方程为，

则圆心到直线的距离，不成立，

当直线AC和BC的斜率存在时，

设过点的直线方程为，即，

圆心到直线的距离，解得．

（3）因为，设，，

所以直线AC的斜率为：，

同理直线BC的斜率为：，

所以直线AC的方程为：，

直线BC的方程为：，

由，解得，即，

又，

当时，点C的纵坐标取得最小值，

所以面积的最小值：．