湖北省襄阳市第五中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题及答案

湖北省襄阳市第五中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知i是虚数单位，复数，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（    ）

A．144种 B．72种 C．36种 D．18种

3．已知，，，，则（    ）

A．或 B．

C． D．

4．已知函数，则（    ）

A．404 B．4044 C．2022 D．2024

5．武钢六中近期迎来校庆，学生会制作了4种不同的精美卡片，在学校书店的所有书本中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买书本6册，那么小明获奖的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数．设，则（    ）

A． B． C． D．

7．己知的上、下焦点分别是，，若椭圆C上存在点P使得，，则其离心率的值是（    ）

A． B． C． D．

8．数列满足，，则下列说法错误的是（    ）

A．若且，数列单调递减

B．若存在无数个自然数，使得，则

C．当或时，的最小值不存在

D．当时，

二、多选题

9．下列命题是真命题的有（    ）

A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30

B．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4

C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67

D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5

10．若，且，则（    ）

A． B．

C． D．

11．如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．该几何体外接球的体积为

C．若为中点，则平面 D．的最小值为

12．如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率

三、填空题

13．设，其中，，，成公差为d的等差数列，，，成公比为3的等比数列，则d的最小值为______.

14．空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是，，的中点，则的值为___________.

15．已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，分别为的重心、内心，若平行于轴，则的外接圆面积为___________.

16．已知函数，其中．若恒成立，则a的取值范围是_________．

四、解答题

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且______.

(1)求；

(2)求的取值范围.

18．数列满足，．

(1)证明：数列为等差数列．

(2)若，求数列的前项和．

19．四棱柱中，底面为正方形，面，点M，N，Q分别为棱的中点．

(1)求证：平面∥平面；

(2)若，棱上存在点P，使得二面角的余弦值为，求的值．

20．多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额，的数据（，2，，12），该团队建立了两个函数模型：①②，其中均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令，计算得如下数据：

(1)设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？

附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；

②参考数据：.

21．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.

22．已知函数.

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

参考答案：

1．B

【分析】根据复数运算法则即可得到答案.

【详解】因为,所以复数的虚部为.

故选：B.

2．A

【分析】由题意知，语文生物相邻用捆绑法“捆绑法”，先与不受限学科全排列，数学物理不相邻，用“插空法”后排列，最后要考虑语文生物的顺序，根据排列数公式以及分步乘法原理即可求出结果.

【详解】语文与生物要相邻，将语文与生物捆绑看作一个整体. 数学与物理不能相邻，采用插空法，后排.

第一步，将语文与生物捆绑看作一个整体后，与英语、化学共3个，排列种类为；

第二步，第一步完成后共有4个位置，将物理和数学排好，排列种类为；

第三步，语文与生物的排列种类为.

所以，总的排列顺序有.

故选：A.

3．C

【分析】根据角度范围得到，，计算，得到答案.

【详解】，，，故，故；

，，，，

故，；

，，故.

故选：C

4．B

【分析】利用倒序相加法求得正确答案.

【详解】，

，

所以，

以替换得，

令，

则，

两式相加得.

故选：B

5．B

【分析】先求出6册书本中卡片的可能情况，再讨论可以获奖的情况，最后利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】这6册书本中卡片总共有种可能情况，

其中可以获奖的情况分为两类，

第一类是有3册书的卡片相同的获奖情况有种；

第二类是有2册书的卡片相同的获奖情况有种；

所以小明获奖的概率是，

故选：B

6．B

【分析】根据为奇函数，得到，两边同时求导得到的图象关于直线对称，同理由为偶函数，得到函数的图象关于点对称，两者联立得到 为周期函数，且周期为求解.

【详解】解：因为为奇函数，

所以，即，

两边同时求导，则有，

所以的图象关于直线对称．

因为为偶函数，

所以，即，

两边同时求导，则有，

所以函数的图象关于点对称．

所以，，，

所以，函数为周期函数，且周期为，

则有，，

所以．

故选：B.

7．C

【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、椭圆离心率的公式进行求解即可.

【详解】设，

利用向量加法法则知，则，

即，

故①，

设，

则，

②，

由①②得，即，

又，所以，即，即，

所以椭圆离心率的值是，

故选：C

【点睛】关键点睛：利用平面向量加法的几何意义是解题的关键.

8．B

【分析】作差得，并由二次函数性质得，由得或，

由此可判断ABC，对选项D，时命题成立，在时，证明（易得）和，从而只要证明，为证此不等式，只要对最后一项用放缩法，，然后从后向前依次相加即可得．

【详解】A．， 只要，则，

，

若，即，则或，

显然时，，

若，则，因此，

若，则，

所以当且时，对任意的，，从而，，递减，A正确，

B．由上面推理，时，也有无数个正整数，使得，B错；

C．由选项A知，或时，递减，无最小值，C正确；

D．，，又由以上推理知递减，所以，

时，，时，，则，

所以对任意，，

下证，

时，，

时，，设，

，

，

，，

依次类推，，

所以，

综上，对任意，，

综上，，D正确．

故选：B．

【点睛】易错点点睛：本题考查数列的单调性，考查数列不等式的证明，数列作为特殊的函数，其单调性与函数的单调性有相似之处（可以利用函数的单调性得数列的单调性），又与函数的单调性不尽相同，如本题，在作差后如果直接由得数列是递减数列的结论，则出现错误，错误的原因在于是数列中项，而不是自变量，此式只能说明时，，而不能直接说明数列就是递减的，它必须利用数列的递推性质进行推理判断．由此可得时数列也不是递减的．本题选项D的证明是难点，不等式的放缩法只对和式中最后一项进行放缩，然后从后向前依次求和可得．这个求和不是通常的裂项求和，实质上只对最后一项由放缩法进行了裂项操作，然后即依次求和得出结论．本题属于困难题．

9．BD

【分析】根据分层抽样的性质判断A选项；利用落在区间内的个数除以总数计算概率，即可判断B选项；由甲、乙两队的人数比，计算出两队在所有队员中的所占权重，然后利用平均数的计算公式，即可判断C选项；由百分位数的性质，即可判断D选项.

【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误；

对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确；

对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，故选项C错误；

对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确.

10．BD

【分析】A选项，先得到，，进而构造，，求导后得到在上单调递增，进而得到，A错误；

B选项，变形为，利用基本不等式进行求解；

C选项，化简得到，根据基本不等式得到，从而得到，C错误；

D选项，将式子变形得到，结合基本不等式“1”的妙用求解即可.

【详解】因为，且，所以，，

A选项，构造，，

则，因为，所以恒成立，

所以在上单调递增，

所以，即，A错误；

B选项，因为，

由基本不等式得：，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，B正确；

C选项，因为，所以

，

其中，当且仅当时，等号成立，

但，故等号取不到，，

故，C错误；

D选项，因为，所以

，

因为，所以，故，

其中

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，D正确.

故选：BD

11．ACD

【分析】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得，，，，，的坐标，由，的数量积可判断A选项；该几何体外接球的球心为矩形的对角线交点，即可求得半径，可判断B选项；求得的坐标，求得平面的法向量，计算可判断C选项；设（），由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断D选项．

【详解】由题意以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，

可得，，，，，，

对于A选项：有，，由，可得即，所以A选项正确；

对于B选项：由球的截面性质可知，球心在过正方形的中心的垂面上，即为矩形的对角线的交点，

则该球的半径，

即该几何体外接球的体积，所以B选项错误；

对于C选项：若为中点，则，

即，，，

设平面的法向量为，

由，令，可得，

即，可得，

又平面，则平面，所以C选项正确；

对于D选项：由三角形是等腰直角三角形，可设（），

则，

又，则当时，取得最小值，所以D选项正确．

故选：ACD.

12．BCD

【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出的坐标，即可得，由的取值范围即可得，从而可判断A，由中点坐标公式可判断是的中点，由此可判断BC，由余弦定理结合可判断D.

【详解】先求双曲线上一点的切线方程：

不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.

由，得，所以，

则在的切线斜率，

所以在点处的切线方程为：

又有，化简即可得切线方程为： .

不失一般性，设是双曲线在第一象限的一点，

是切线与渐近线在第一象限的交点，

是切线与渐近线在第四象限的交点,

双曲线的渐近线方程是，

联立：，解得：，

联立：，解得：，

则，

又因为，所以，即，A错误；

由，

可知是的中点，所以，B正确；

易知点的坐标为，

则，

当点在顶点时，仍然满足，C正确；

因为，所以，，

因为，则，解得，即，

代入，得，

所以

，

，

所以，

所以，，所以离心率，D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点的切线方程，并联立渐近线方程，求得的坐标，判断出是中点.

13．

【分析】由已知利用等差数列及等比数列的通项可知，进而得解.

【详解】，设，则

又，，，成公差为d的等差数列，，，成公比为3的等比数列，

即，

可得，只需即可，所以.

当m取最小值时，由不等式组得，故d的最小值为.

故答案为：

14．##

【分析】由题意，四面体是正四面体，每个三角形都是等边三角形，利用向量的数量积的定义解答．

【详解】

故答案为：.

15．

【分析】首先根据平行于轴，得到内切圆半径，再结合内切圆半径与三角形面积的等量关系得到面积表达式，然后利用双曲线定义求出和，再结合余弦定理以及正弦定理即可求解.

【详解】不妨设在第一象限，由于平行于轴，则内切圆半径，

又 ，则=12，

又，则，.

在中，由余弦定理得，则，

设的外接圆半径为，则，则，

所以的外接圆的面积为.

故答案为：.

16．

【分析】根据题意得，令，求导得，单调递增，得，得，令，求导，求即可解决.

【详解】由题知，， ，恒成立，

所以，

所以，

所以，

令，

所以，

因为，

当时，，单调递增，

所以，

所以，

所以，

令，

所以，

因为，当时，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，

所以，

所以，

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）选①，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简即可求出角；

选②，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后将代入，最后根据恒等变换化简即可求出角；

选③，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简求出，即可求出角.

（2）首先将代入，然后利用恒等变换将其化简成正弦型函数，最后根据正弦函数的性质求解取值范围即可.

【详解】（1）选①

，所以，

所以，

整理得.

因为，所以.因为，所以.

选②

因为，所以，

所以，整理得.

因为，所以，因为，所以.

选③

因为，

所以，

所以，

整理得.

因为，所以.

因为，所以，.

（2）因为，

所以.

因为，所以，所以，

所以，所以，故.

18．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据已知证明等于一个定值即可；

（2）利用裂项相消法求解即可.

【详解】（1）证明：因为，

所以，又，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列；

（2）解：由（1）得，

，

则

.

19．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）先证明分别与面平行，再由面面平行的判定定理证明；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）∵分别为棱中点，

，，

四边形MQBD为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面，

∵N为棱AD的中点，，

又，，

∵平面，平面，

 平面.

又，平面，

平面∥平面.

（2）由题意知两两垂直，以为原点，方向分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

设（），，

则，

故，，

设，则由可得， ，

则

设平面的一个法向量为，则，

取，则，

设平面MNQ的一个法向量为，则，

取，则，

由题知，

解得或（与矛盾，舍去），

故，即.

20．(1)模型的拟合程度更好

(2)（i）（ii）预测下一年的研发资金投入量是亿元

【分析】（1）由题意计算相关系数,比较它们的大小即可判断；（2）（i）先建立关于的的线性回归方程,再转化为y关于的回归方程；(2)利用回归方程计算时x的值即可.

【详解】（1）由题意进行数据分析：

则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好

（2）（i）先建立关于的线性回归方程.

由，得，即.

由于

所以关于的线性回归方程为，

所以，则.

（ii）下一年销售额需达到80亿元，即，代入得，，

又

所以，解得，

所以预测下一年的研发资金投入量是亿元

21．(1)

(2)或

【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆，再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立，根据韦达定理得到中点坐标，将点Q坐标代入抛物线方程得到，将此式代入得到，解不等式即可.

【详解】（1）

易知点是抛物线的焦点，，

依题意，

所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，

设该椭圆的方程为，

则，

，

故点的轨迹的方程为.

（2）易知直线1的斜率存在，

设直线1：，

由得：，

，

即①又，

故，将，代，

得：，

将②代入①，得：，

即，

即，即，

且，

即的取值范围为或.

22．（Ⅰ）和.

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）.

【分析】(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；

(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；

(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.

【详解】（Ⅰ），令得或者.

当时，，此时切线方程为，即；

当时，，此时切线方程为，即；

综上可得所求切线方程为和.

（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；

而，所以，即；

同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

所以是中的较大者，

若，即时，；

若，即时，；

所以当最小时，，此时.

【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.