2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高一下学期3月月考数学试题（解析版 ）

 2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，全集，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解分式不等式求集合A，由二次函数值域求集合U，再应用集合的补运算求即可.

【详解】，，

所以．

故选：C．

2．若“”是假命题，则实数m的最小值为（    ）

A．1 B．- C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得“”是真命题，故只要即可，求出的最大值，即可求出的范围，从而可得出答案.

【详解】解：因为“”是假命题，

所以其否定“”是真命题，

故只要即可，

因为的最大值为，

所以，解得，

所以实数m的最小值为.

故选：C.

3．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性，以及特殊值，即可判断选项.

【详解】函数的定义域是，，即，函数是偶函数，故排除AB；

当时，，故排除D，只有C满足条件.

故选：C

4．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】可设，且，根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】由题意，非零向量，满足，

可设，且

因为，可得，解得，

则，

又因为，所以，所以与的夹角为.

故选：A.

5．函数其中，的图象如图所示，为了得到的图象只要将的图象（    ）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

【答案】A

【分析】由图计算，再将代入计算得，所以可得，然后即可判断出函数是由函数向右平移个单位得到.

【详解】由图可知，，得，所以，从而，

将代入可得，，因此，得，又，所以，所以，为了得到，所以将函数向右平移个单位即可.

故选：A.

6．已知向量，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出关于的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.

【详解】由题意可得，

所以，，

故当时，取得最小值.

故选：C.

7．当函数取得最大值时，的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.

【详解】，其中，，

当时，函数取得最大值，此时，

∴，，

∴

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查了两角差的正弦公式的逆用，解题的关键是辅助角公式的应用与正弦函数的性质，考查学生的运算求解能力，属于中档题.

8．已知函数关于x的方程在上有四个不同的解，，，，且．若恒成立，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由分段函数先画出图象，将方程变形得，故只有时才有四个不相同的解，由余弦函数对称性可求，令可求范围，令可得，则等价于，结合基本不等式可求的取值范围.

【详解】画出函数的图象，如图所示：

，由图易知，当时，方程无解，故只有时才有四个不相同的解，且．由，解得或，从而，

由余弦函数的性质知，关于直线对称，则，

由，即①，解得x＝1或x＝9，从而，

令得，则，

故等价于，故，恒成立，所以（当且仅当时取得最小值），所以，

故选：D．

二、多选题

9．已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，若，则下列命题中正确的是（    ）

A．有三个零点 B． C． D．

【答案】ABD

【分析】先通过函数为奇函数，判断出函数单调性，其中A利用零点存在性定理以及奇函数的性质判断；BC利用函数的单调性来判断；D利用奇函数的性质求出值来判断.

【详解】由已知函数在上单调递减，上也单调递减，，

由，得

对于A，在上单调递减，且，，故有且只有一个，使，同理在上单调递减，且，，故有且只有一个，使，又，所以有三个零点，A正确；

对于B，因为在上单调递减，所以，B正确；

对于C，因为在上单调递减，，C错误；

对于D，，，D正确；

故选：ABD.

10．设，且，则下列不等式成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AC

【分析】对于选项A，利用已知求出的关系式，然后由即可求出的范围；对于选项BCD，利用基本不等式以及“1”的代换即可求解，判断是否正确．

【详解】对于选项A，因为，且，则，

由，则，即，解得，故A正确，

对于选项B，因为，所以，当且仅当时取等号，此时，解得，故B错误；

对于选项C，，且，则，即，由选项B可得：，当且仅当时取等号，故C正确；

选项D：因为 ，当且仅当时取等号，故D错误.

故选：AC．

11．已知向量，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则向量可以表示平面内任一向量

B．若，则

C．若，则

D．若，则与的夹角是锐角

【答案】BC

【分析】A选项，根据平行得到k的范围；B选项，根据条件得到两向量垂直，进而求出k的值；C选项，列出不等式，求出k的范围；D选项，举出反例.

【详解】当与不共线，可以表示平面内任一向量，所以，

解得:且A错误；

若，则，所以，得：，B正确；

若，有，解得：，C正确；

当时，与平行，夹角不是锐角，错误.

故选：.

12．已知函数，，，在上单调，则的取值可以是（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】AC

【分析】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案.

【详解】函数，,

则①,

又 ，则是函数的一个对称中心，

故②,

两式相减得： ，

在上单调递增， 则 ,则 ，

故的取值在1,3,5,7,9,11之中；

当时， ，，故 ，

此时在单调递增，符合题意；

当时， ，，不符合题意；

当时， ，，故 ，

此时，因为，则 ，

在单调递减，符合题意；

当时， ，，故 ，

此时，，

故在上不单调，不符合题意；

故选：AC

三、填空题

13．已知圆心角为2rad的扇形的周长为12，则该扇形的面积为____________.

【答案】9

【分析】根据题意条件，先设出扇形的半径和弧长，并找到弧长与半径之间的关系，通过已知的扇形周长，可以求解出扇形的半径和弧长，然后再利用完成求解.

【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得，圆心角，则，

因为扇形的周长为12，所以，

所以，，

则.

故答案为：9.

14．设函数则满足不等式的x的取值范围是 _____.

【答案】

【分析】根据函数的单调性，然后分类讨论求解．

【详解】易知是增函数，是增函数，又，

所以在定义域内是增函数，

当时，，，所以，

当时，，，，所以成立，

综上，不等式的解集是．

故答案为：．

15．已知向量 ，，则向量在向量上的投影向量为________（用坐标表示）．

【答案】

【分析】先计算两个向量的夹角的余弦值，再计算向量 在向量 上的投影向量.

【详解】因为，，则 ，

所以向量 在向量 上的投影向量为.

故答案为：

16．已知为正数，函数在区间和上的最大值分别记为和，若，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】根据题意分析可得，从而确定，则，再结合三角函数的性质即可求得答案.

【详解】函数在区间和上的最大值分别记为和，

则，

若 ，则,与矛盾；

若 ，则,则，与题意矛盾；

故，则，则，

则 ，而，

故 ，即 ，

故答案为：

四、解答题

17．求下列两个式子的值.

(1)；

(2)

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算法则及对数的运算性质计算可得；

（2）通分，利用二倍角公式及两角差的余（正）弦公式计算可得.

【详解】（1）解：

；

（2）解：

.

18．设向量，，其中.

(1)若，求实数x的值；

(2)已知且，若，求的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据给定条件结合向量的坐标运算，向量共线的坐标表示计算得解.

(2)由向量垂直的坐标表示求出，再借助数量积建立函数关系求解作答.

【详解】（1）因向量，，则，

又，则有，即，于是得，

而，解得，

所以实数x的值是.

（2）因为且，则，即，有，

，因，则，，即，

所以的值域.

19．已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足

(1)求函数f（x）和g（x）的表达式；

(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由两函数的奇偶性列方程组可求出两函数的解析式，

（2）原不等式转化为对恒成立，，则恒成立，令，然后利用二次函数的性质可求出其最小值，或恒成立，再由的单调性可求得答案

【详解】（1）∵①

∴

即②.

联立①②解得；

（2）对恒成立.

对恒成立，

令，t（x）为减函数，，

则.

法一：令，

当，即时，符合题意.

当，即时，，

解得.

∴

当，即时，，解得：.

∴

综上，a的取值范围为

法二：恒成立，

令，，

任取，且，则

，

因为，所以，，

所以，

所以在上单调递减，

∴，

∴a的取值范围为

20．如图所示，中，F为BC边上一点，，若，

(1)用向量、表示；

(2)，连接DF并延长，交AC于点，若，，求和的值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）由得，进而得答案；

（2）由题知，，进而得，再结合（1）得以，解得，．

【详解】（1）解：因为，

所以，即，

所以

（2）解：若，，则，

所以

由于，

所以，，解得，．

所以，．

21．某中学在荣获省级多样化发展示范学校后，征得一块形状为扇形的土地用于建设新的田径场，如图，已知扇形圆心角，半径米，关于轴对称.欲在该地截出内接矩形建田径场，并保证矩形的一边平行于扇形弦，设，记.

(1)写出、两点的坐标，并以为自变量，写出关于的函数关系式；

(2)当为何值时，矩形田径场的面积最大？并求出最大面积.

【答案】(1)，，

，，，

(2)当时，最大面积为平方米

【分析】（1）由题意得到，从而得到点坐标，且两点的纵坐标相同，求出直线的解析式，从而确定点的横坐标，得到点的坐标，从而得到关于的函数关系式；

（2）在第一问的基础上，利用三角恒等变换得到，结合，求出最值.

【详解】（1）由题意得：米，，

所以，，

因为轴，

所以两点的纵坐标相同，

其中直线，

将代入，解得：，

故，，

∴

，；

（2）

，

因为，所以，

∴当，即时，平方米.

22．已知函数.

(1)若关于的方程在区间，上有两个不同的解，.

①求的取值范围；

②若，求的取值范围；

(2)设函数在区间，上的最大值和最小值分别为（a），（a），求（a）（a）（a）的表达式.

【答案】(1)①；②，

(2)

【分析】（1）①求得的分段函数作出函数的图象，求出最值，即可得到所求的范围；②由①消去，可得；（2）求得，对讨论，当时，当时，当时，当时，当时，讨论单调性，可得和，即可得到所求的解析式.

【详解】（1）由，，，

得.

①作出函数图象，

由函数的最小值为1，最大值为.

在区间，上有两个不同的解，可得，

故的取值范围是.

②，，，

则有，即，

又，，，

故的取值范围是，.

（2），

当时，有，，在，上为减函数，

则（a）（2）=2a-2.

当时，有，，在，上为减函数，在，上为增函数，

此时（a），（a），（2），

则（a）

当时，有，，在，上为减函数，在，上为增函数，

此时（a）（1），（a），（2），

则（a）.

当时，有，，在，上为增函数，在，上为减函数，在，上为增函数，

此时（a），（1），

（a），（2），

则（a）.

当时，有，，在，上为增函数，

则（a）（2）.

则（a）.

【点睛】熟练分段函数的图象和性质，利用函数的单调性求取值范围和最值，注意运用绝对值的意义和分类讨论数形结合的思想方法，在计算过程中注重化简整理的运算能力，在平时的练习中善于培养逻辑推理、转化等数学思想方法.