2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高一下学期6月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则z的虚部是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由复数的综合运算求得，再根据复数的定义得结论．

【详解】由题意，所以其虚部为．

故选：C．

2．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用正弦的二倍角公式可求解

【详解】

.

故选：B

3．下列命题中正确的有

（1）；（2）；（3）；（4）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】根据向量的运算律及数量积的定义逐一验证即可得出结果.

【详解】由向量加法三角形法则可知，，故（1）正确；

，故（2）错误；

由向量的加法法则可知，故（3）错误；

向量乘法不满足分配律， 不一定成立，故（4）错误.

故选：A

【点睛】本题考查向量运算律，考查基本分析判断能力，属基础题.

4．如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】A

【分析】先由图像求得，再由辅助角公式化简，最后由三角函数的平移变换即可求解.

【详解】由题图知：，又，，

解得，又，

将向左平移得.

故选：A.

5．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意有，可得，从而可得

【详解】由图1可得，又，

所以，所以，

所以，

该地的纬度约为北纬，

故选：．

6．半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由八个正三角形和六个正方形构成的（如图所示），则异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意将图形放到正方体中，如图所示，由正方体的性质可得为异面直线与所成的角，即可得解；

【详解】解：二十四等边体可认为是由正方体切去八个全等的三棱锥得到的，如图所示，可知，，

所以为异面直线与所成的角，因为是等边三角形，所以，

故异面直线与所成的角为；

故选：C

7．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则

A．和都是锐角三角形

B．和都是钝角三角形

C．是钝角三角形，是锐角三角形

D．是锐角三角形，是钝角三角形

【答案】D

【详解】的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，，矛盾，所以是钝角三角形，故选D.

8．已知矩形．将沿矩形的对角线 所在的直线进行翻折，在翻折过程中

A．存在某个位置，使得直线与直线 垂直

B．存在某个位置，使得直线与直线 垂直

C．存在某个位置，使得直线与直线 垂直

D．对任意位置，三对直线“与 ”，“与 ”，“与 ”均不垂直

【答案】B

【详解】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项B是正确的

二、多选题

9．如图是某市5月1日至10日PM2.5的日均值（单位：μg/m3）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法错误的是（　　）

A．这10天日均值的83%分位数为78；

B．这10天的日均值的中位数为41；

C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差；

D．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差．

【答案】BC

【分析】根据折线图可得10天中的PM2.5日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根据统计相关概念运算辨析．

【详解】对于选项A：将10天中的PM2.5日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，

根据第80百分位数的定义可得，这10天中PM2.5日均值的第80百分位数是，

由于这10天日均值的83%分位数估计值大于这10天日均值的80%分位数估计值下一个

所以这10天日均值的83%分位数估计值为78，故选项A正确；

对于选项B：这10天中PM2.5日均值的中位数为，故选项B错误；

对于选项C：由折线图和方差的定义可知，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的差，故选项C错误；

对于选项D：前5天的日均值的极差为41﹣30＝11，后5天的日均值的极差为80﹣45＝35，故选项D正确．

故选：BC．

10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．在向量上的投影向量的模为

【答案】AB

【分析】首先明确正八边形的特征，然后数量积的定义进行计算，可判断A,C;根据向量的加发运算可判断B;根据向量投影的概念可判断D.

【详解】图2中的正八边形中，每个边所对的角皆为，其中，

对于，故正确；

对于，故正确．

对于，，的夹角为 ,的夹角为 ,故，故错误．

对于在向量上的投影向量的模为，故错误．

故选：．

11．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有：（    ）

A． B． C． D．∠BAD的最大值为60°

【答案】ABC

【分析】利用向量的数量积公式,余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可.

【详解】∵．A正确；

∵，

∴

，故B正确；

由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立），由A选项知，∴，解得，故C正确；对于D，（当且仅当时，等号成立），∵，∴，又，∴∠BAD的最大值30°，D选项错误．

故选: ABC

12．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）

A．存在点，使得

B．存在点，使得异面直线与所成的角为

C．三棱锥体积的最大值是

D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大

【答案】AD

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积解决垂直，夹角问题，利用等体积法求三棱锥体积最大值.

【详解】以A为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则；

，，，，，，，；

对于选项A，假设存在点，使得，

则，又，

，解得：，

即点与重合时，，选项A正确；

对于选项B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，

，，

，方程无解；

不存在点，使得异面直线与所成的角为，选项B错误；

对于选项C，连接；

设，

，

当，即点与点重合时，取得最大值；

又点到平面的距离，

，选项C错误；

对于选项D，由上分析知：，，

若是面的法向量，则，

令，则，而面的法向量，

所以，令，

则，而，

由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，

所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，

故二面角先变小后变大，选项D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．为了考查某种小麦的长势，从中抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的极差是______．

【答案】11

【分析】根据已知数据，利用极差的定义计算.

【详解】苗高数据中最大的为19，最小的为8，所以极差为，

故答案为：11

14．已知非零向量满足，且，则__________．

【答案】

【分析】先求得，从而求得.

【详解】由两边平方得，

，.

所以.

故答案为：

15．在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________(填写序号)．

①平均数；  ②标准差；  ③平均数且极差小于或等于2；

④平均数且标准差；      ⑤众数等于1且极差小于或等于4．

【答案】③⑤

【分析】按照平均数、极差、方差依次分析各序号即可.

【详解】连续7天新增病例数：0，0，0，0，2，6，6，平均数是2<3，①错；

连续7天新增病例数：6，6，6，6，6，6，6，标准差是0<2，②错；

平均数且极差小于或等于2，单日最多增加4人，若有一日增加5人，

其他天最少增加3人，不满足平均数，所以单日最多增加4人，③对；

连续7天新增病例数：0，3，3，3，3，3，6，平均数是3且标准差小于2，④错；

众数等于1且极差小于或等于4，最大数不会超过5，⑤对.

故答案为：③⑤.

16．如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧面内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.

【答案】

【分析】分别取棱的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断P位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求出结果．

【详解】如下图所示，

分别取棱的中点、，连接，

∵分别为所在棱的中点，则，

∴，又平面， 平面，

∴平面．

∵， ，∴四边形为平行四边形，

∴，

又平面，平面，

∴平面，又，

∴平面平面．

∵是侧面内一点，且平面，

∴点必在线段上．

在中，．

同理，在中，可得，

∴为等腰三角形．

当点为中点时，即 ，此时最短；

又，

∴线段长度的最小为．

故答案为：．

四、解答题

17．已知方程的两复数根分别为，，其中的虚部大于0

(1)求复数，；

(2)若复数，且，求实数的取值范围

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）直接解方程即可求解；

（2）利用复数的模，再解不等式即可求解.

【详解】（1）由，得，

所以，所以，

而的虚部大于0，所以，.

（2）由（1）中可知，

所以可化为，

即，

所以，解得，

即实数的取值范围是.

18．2022年2月8日，中国选手谷爱凌在北京冬奥会女子大跳台项目决赛中以之前从未有人在正式比赛中完成的“左转1620”动作一举夺得冠军，为中国代表团揽入一枚里程碑式的金牌．受奥运精神的鼓舞，某滑雪俱乐部组织100名滑雪爱好者进行了一系列的大跳台测试，并记录他们的动作得分（单位：分），将所得数据整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该100名射击爱好者的射击平均得分（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)该俱乐部计划招募成绩位列前10%的滑雪爱好者组成集训队备战明年的滑雪俱乐部联盟赛，请根据图中信息，估计集训队入围成绩（记为k）．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率和为1列式求解；（2）用该组区间的中点值估计，代入计算；（3）根据题意入围成绩的临界值为，则计算求解．

【详解】（1）由题意可得：，解得

（2）由题意可得：

估计该100名射击爱好者的射击平均得分

（3）根据频率分布直方图可知：的频率为

设入围成绩的临界值为，则，即

估计集训队入围成绩

19．如图，在三棱锥中，D，E分别为的中点，且平面．

(1)证明：；

(2)若，求锐二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)根据线面垂直可证，再证平面即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.

【详解】（1）∵D为中点，且，∴，即．

∵平面，平面，∴．

∵，∴平面．

又∵平面，∴；

（2）由（1）可知，以为x轴，为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，∵，∴，，

∴．

设平面的法向量为，有

即，令，得．

设平面的法向量为，

由，

有，取，则

可得，

有，，

∴二面角的余弦值为，

故锐二面角的大小为．

20．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且的面积．

(1)求的值；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）先由余弦定理得到，结合三角形面积公式，正弦定理得到，化简后得到答案；

（2）在第一问的基础上化简得到，根据三角函数的性质进行求解.

【详解】（1）由余弦定理得：①，

②，两式相减得：

，

因为，

所以，

即，

由正弦定理得：

因为，所以，且，

故，即.

（2）由（1）知：，

因为，所以，，

所以，

又因为，

所以，

所以.

21．如图，在某景区依湖畔而建的半径为500米的一条圆弧形小路上，为吸引游客，景区在这条弧形小路上取两点A，B，准备分别以A，B两处为入口，在河岸内侧建造两条玻璃栈道，，并在两条栈道的终点P处建造一个观景台，已知弧所对的圆心角为.

(1)若为等腰直角三角形，且为斜边，求的面积；

(2)假设玻璃栈道的宽度固定，修建玻璃栈道的造价按照长度来计算，且造价为1200元/米，试问当时，修建两条玻璃栈道最多共需要多少万元？

【答案】(1)平方米.

(2)万元.

【分析】（1）根据圆心角和半径求出弦长，根据等腰直角三角形求出直角边，再根据面积公式求出面积.

（2）设，，利用正弦定理求出、，在求出的最大值，然后乘以即可得解.

【详解】（1）因为弧所对的圆心角为，圆的半径为500，所以米，

又为等腰直角三角形，且为斜边，所以米，

所以的面积为平方米.

（2）设，，

由正弦定理得，得，

由正弦定理得，得，

所以

，

因为，所以，

所以当，即时，取得最大值为米，

所以修建两条玻璃栈道最多共需要万元.

22．如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为与的交点为．

(1)证明：为的中点；

(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；

(3)若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用面面平行，证明线线平行，进而得到，进而证明为的中点；

（2）连接，四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为，分别求出和，可得答案；

（3）在中，作，垂足为，连接，为平面与底面所成二面角的平面角，然后，计算可得，进而得到.

【详解】（1）证明：四棱柱中，四边形为梯形，，

平面平面，

平面与面和平面的交线平行，

，

，

为的中点；

（2）

解：连接，设，

梯形的高为，

四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为，

设，则，

，

，

棱柱，

四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积之比

（3）解：在中，作，垂足为，连接，

则平面，

，

为平面与底面所成二面角的平面角，

，

，

梯形的面积为，

，

，

，

平面与底面所成二面角的大小为．