2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高一下学期5月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据模的定义计算，并化简得到，再根据虚部的定义作出判定.

【详解】∵，

∴的虚部为，

故选：A.

2．设是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果，那么.

（2）如果，那么.

（3）如果，那么.

其中正确命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】对于①，，则 的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为 ，所以过直线作平面与平面 相交于直线 ，则c，因为 ,, ，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；故本题正确答案为

3．已知向量 ，，且在上的投影为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据在上的投影为可求得，再根据三角函数的二倍角公式求得答案．

【详解】由题意得：在上的投影 ，

即 ，

故，

故选：B

4．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设 的中点为 ，则 ，连接 ，则梯形 就是过，，正方体的截面，其面积为 ，故选C.

5．如图，已知是棱长为2的正方体，E为的中点，F为上一点，则三棱锥的体积是（    ）

A．6 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用等体积法求解三棱锥的体积作答.

【详解】在正方体中，棱长为2，E为的中点，则，

F为上一点，而平面，平面，则点F到平面的距离为长，

所以三棱锥的体积.

故选：B

6．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．不等式的解集为，

C．函数的一个单调递减区间为

D．若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为，则是奇函数

【答案】D

【分析】通过最高点得到的值，通过周期求出的值，通过五点法求出的值，得到函数的解析式，通过三角函数的性质逐一判断即可.

【详解】根据函数的部分图象，

可得，，

．

结合五点法作图，可得，，，故A错误；

不等式，即，，

求得，故不等式的解集为，，故B错误；

当时，，没有单调性，故C错误；

将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为

，则是奇函数，故D正确．

故选：D.

7．在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，则直线与直线所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接交于点，取的中点，易得，从而直线与直线所成角，即为（或其补角），然后分别在和中，求得AE和OE，然后在中，利用余弦定理求解.

【详解】解：如图所示：

连接交于点，取的中点，连接，．不妨设．

因为四边形是正方形，所以是的中点，

又是的中点，所以．

所以直线与直线所成角，即为（或其补角）．

因为平面，又，平面，

所以，．

在中，，，，

所以；

在中，，，，

所以，所以；

在中，，，，

所以，

即直线与直线所成角的余弦值是．

故选：A．

8．在锐角△ABC中，，，则△ABC的周长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求取值范围的问题.

【详解】∵，

∴，

∴，即，为锐角，

∴，又，

由正弦定理可得，

所以

，其中，，

因为为锐角三角形，

所以，

所以，又，

∴，

故的周长的取值范围是．

故选：C.

二、多选题

9．在四个正方体中，，，均为所在棱的中点，过点，，作正方体的截面，则在各个正方体中，直线与平面垂直的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】选项A，B，C，根据，，均为所在棱的中点，由平面的基本性质得到，，，，，六点共面，然后由正方体的结构特征，直线与平面垂直，且平面与平面重合判断；选项D，根据不为直角判断.

【详解】如图所示：

在正方体中，设点，，均为所在棱的中点，

则有，，，，，六点共面.

由题易知直线，与平面垂直，

选项A，B，C中的平面与平面重合，满足题意；

对于选项D，由于，分别为棱，的中点，所以，故为异面直线，所成的角且，即不为直角，故与不垂直，故与平面不垂直，

故选：ABC.

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及平面的基本性质，还考查了空间想象和分析问题的能力，属于中档题.

10．在中，，，分别为，，的对边，下列叙述正确的是（    ）

A．若，则为等腰三角形

B．若为锐角三角形，则

C．若，则为钝角三角形

D．若，则

【答案】BCD

【分析】由正弦定理得到，求得或，可判定A不正确；由锐角三角形，得到，结合正弦函数的单调性，可判定B正确；由，得到中一定有一个小于0成立，可判定C正确；由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，可判定D正确.

【详解】对于A中，由，可得，即，

因为，可得或，即或，

所以为等腰或直角三角形，所以A不正确；

对于B中，由为锐角三角形，可得，则，

因为，可得，

又因为函数在上为单调递增函数，所以，

所以B正确；

对于C中，因为，由，

可得中一定有一个小于0成立，不妨设，可得，

所以为钝角三角形，所以C正确；

对于D中，因为，由正弦定理可得，

因为，可得，

所以，可得，

因为，可得，所以，即，所以，所以D正确.

故选：BCD.

11．设函数．已知在上有且仅有3个零点，则下列四个说法正确的是（    ）

A．的取值范围是

B．在上单调递增

C．在上存在，，满足

D．在上有且仅有1个最大值

【答案】AC

【分析】利用正弦函数的性质及条件可得，即，然后结合三角函数的图象和性质逐项判断即得.

【详解】∵在上有且仅有3个零点，

由，得，

∴，即，故A正确；

由，此时，，所以在上不单调递增，故B错误；

由上知在能取到最大值和最小值，所以存在，，满足，故C正确；

由上可知，时，，由，可得，所以在上可能有2个最大值，故D错误.

故选：AC.

12．如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）

A．正方体外接球的半径为

B．点P在线段AB上运动，则四面体的体积不变

C．与所有12条棱都相切的球的体积为

D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是

【答案】BC

【分析】对于A，利用正方体的性质即得，对于B，判断出四面体的高为1，底面积不变即得，对于C．先求出球的半径，即可求体积，对于D．判断出线段长度的最小值是到球心的距离减去内切球的半径，直接求解即可.

【详解】对于A，由正方体的性质可知正方体外接球的直径为其体对角线，故正方体外接球的半径为，故A错误；

对于B，点在线段上运动，则四面体的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确；

对于C，与所有12条棱都相切的球的直径等于面的对角线，则，，

则球的体积，故C正确；

对于D，正方体的内切球为正方体的中心，内切球的半径为，

可知线段长度的最小值是到球心的距离减去内切球的半径，

正方体的棱长为1，

，到球心的距离为，所以的最小值是，故D错误.

故选：BC．

三、填空题

13．若 ， 则 的最小值为__________.

【答案】

【分析】根据已知条件两次运用基本不等式即可求解.

【详解】，

，

当且仅当时，等号成立，

所以当时，的最小值为.

故答案为：.

14．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为______．

【答案】

【分析】设球的半径为，根据已知条件得出正方体上底面截球所得的截面圆的半径，球心到截面圆圆心的距离，利用勾股定理即可求出球的半径，再带入球体积公式即可.

【详解】由题意得正方体上底面到水面的高为，设球体的半径为，由题意如图所示：

三角形为直角三角形，为球与正方体的交点，

则，，，所以：，解得，

所以球的体积.

故答案为：

15．正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在和上，并且，平面，则线段的长为______．

【答案】##

【分析】连接并延长与交于点，连接，证明，根据比例关系得到，再利用余弦定理计算得到答案.

【详解】如图所示：连接并延长与交于点，连接，为中点，连接，

，故，，

平面，平面平面，平面，故，

故，，故，

，，

故.

故答案为：

16．锐角的内角所对边分别是a，b，c且，，若A，B变化时，存在最大值，则正数的取值范围______．

【答案】

【分析】首先利用正弦定理得出角的关系，再结合锐角三角形得出角的范围，最后根据存在最大值求出的取值范围即可.

【详解】，，由正弦定理得：

，即：，

或（舍）

是锐角三角形， ，解得：

（其中）

使存在最大值，只需存在，满足

解得： .

故答案为：.

四、解答题

17．已知梯形ABCD，按照斜二测画法画出它的直观图，如图，其中，，．求：

(1)梯形ABCD的面积；

(2)梯形ABCD以BC为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积和体积．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）将直观图还原为原图形后利用公式可求其面积.

（2）所得几何体是圆柱与圆锥的组合体，利用公式可求其表面积和体积.

【详解】（1）直观图还原为原图形，是直角梯形ABCD，如图，

其中，，，

∴梯形ABCD的面积为.

（2），

直角梯形绕BC旋转后形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，其表面积

，

体积.

18．已知.

(1)求图象的对称轴方程；

(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数的对称轴得求解；

（2）代入整理，利用换元和参变分离得，即．

【详解】（1）

即

则

∴图象的对称轴方程为．

（2）

∵，则令

则

∵，当且仅当即时等号成立

∴

19．如图，三棱锥的底面是直角三角形，，，平面，是的中点．

(1)若此三棱锥的体积为，求异面直线与所成角的大小．

(2)若，

①求点到平面的距离．

②过点作平面与平面垂直，且和直线平行，求平面截三棱锥的截面的面积．

【答案】(1)；

(2)① ；②.

【分析】（1）根据三棱锥体积公式，结合异面直线所成角的定义、勾股定理进行求解即可；

（2）①：根据三棱锥的体积性质，利用转化法进行求解即可；

②：根据三角形中位线定理，结合矩形的面积公式进行求解即可.

【详解】（1）由题意知：，解得，

取中点，连接，，

由是的中点可得，

故或其补角即为异面直线与所成角．

∵，平面，平面，故，，

，，，

，，，

故为等边三角形，，故异面直线与所成角的大小为．

（2）①若，则，，，

设点到平面的距离为，，即，

所以，得；

②分别取、、的中点、、，

连接、、、，四边形即为截面，

因为、是、的中点，所以，

因为的中点是，是的中点，

所以，

所以，因此四边形是平行四边形，

因为中点是，是的中点，

所以，因为平面，

所以平面，因为平面，

所以，

所以四边形为矩形，，，．

20．已知，函数

(1)当时，解不等式；

(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，得，求解即可；

（2）根据题意得到，转化为，设，转化为，利用函数的单调性，求得其最值，即可求解.

【详解】（1）当时，，即，

解得或.

所以不等式的解为

（2）由复合函数单调性知函数在上单调递减，

又函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，

可得，即，

即，所以，

设，因为，则，可得，

当时，，

当 时，可得，

因为在区间为单调递减函数，可得，

所以，

所以.

故a的取值范围为

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

①若在上恒成立，则；

②若在上恒成立，则；

③若在上有解，则；

④若在上有解，则.

21．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，，求的最大值．（仰角为直线AP与平面ABC所成角）

【答案】 .

【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答.

【详解】

过点P做直线BC的垂线，垂直为D，如图，则由仰角的定义得 ，

由题意 ，设 则 ，

点D与B不重合时，在 中，  ，点D与B重合时，上式也成立，

在 中，   ，

当 时， 取最大值 ，

综上，的最大值为 .

22．已知正方体的棱长为3，，分别为棱，上的动点，．若直线与平面所成角为．

(1)求二面角的平面角的大小．

(2)求线段的长度．

(3)求二面角平面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）确定是二面角的平面角，是直线与平面所成的角，计算得到答案.

（2）在中，，，得到答案.

（3）确定为二面角的一个平面角，再利用余弦定理计算得到答案.

【详解】（1）如图，作，垂足为，连接，作于，

平面，平面，故，，，

平面，故平面，平面，故，

是二面角的平面角，

平面，故，，，平面，

故平面，

是直线与平面所成的角，

是直角三角形，由已知，所以．

（2）在中，，．

（3）连接交于点，连接，

在中，，在中，，

故即为二面角的一个平面角，

在中，，，

，即二面角平面角的余弦值为．