2022-2023学年重庆市南开中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市南开中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合交集的定义进行求解即可；

【详解】因为，，

所以，

故选：C

2．命题“”的否定是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：特称命题的否定需要将特称量词改为全称量词，并对满足的条件加以否定，的否定为，所以的否定为

【解析】特称命题的否定

点评：特称命题的否定为

3．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数解析式的特点列出限定条件求解即可.

【详解】由题意可得，解得且，所以函数的定义域为.

故选：B.

4．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.

【详解】对A，函数定义域为R，，，

所以是奇函数，故A错误；

对B，函数的定义域为不关于原点对称，

故是非奇非偶函数，故B错误；

对C，函数定义域为，，

故是奇函数，故C错误；

对D，函数定义域为R，，

故是偶函数，且在区间上单调递减，故D正确.

故选：D.

5．若集合，且集合有且只有两个子集，则a的值为（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定

【答案】C

【分析】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素，从而对的首项系数进行讨论求出参数的值.

【详解】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素，

当时，为满足题意.

当时，只有一个根，则：

，

所以，

综上所述：或.

故选：C.

6．诺贝尔化学奖得主，瑞典物化学家阿伦尼乌斯提出了电离学说，并在总结大量实验结果的基础上导出了著名的反应速率公式，即阿伦尼乌斯方程：，其中k为温度T时的反应速度常数，A为阿伦尼乌斯常数，为实验活化能（与温度无关的常数），T为热力学温度（单位：开），R为摩尔气体常数， e为自然对数的底．已知某化学反应，若热力学温度为时，反应速度常数为，则当热力学温度为时，反应速度常数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别将热力学温度代入，用指数运算性质找关系即可.

【详解】当温度为时，，当温度为时，，设，则，.

故选：D

7．函数在R上单调递减的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出在R上单调递减的的范围，则充分不必要条件为的非空真子集.

【详解】函数在R上单调递减，

则，解得：，

则在R上单调递减的一个充分不必要条件为的非空真子集，

所以A正确，

故选：A.

8．若函数在区间上的值域为，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，通过函数的最小值为0及定义域可知函数在处取得最小值，再通过对函数的分段讨论及函数的最大值为求出实数a的取值范围.

【详解】令，得或，因为函数定义域为，所以，即函数在处取得最小值0，且，即，

则，

因为函数的值域为，所以

当时，有，即，得，即;

当时，有，即，得，即.

综上，实数a的取值范围为.

故选：D.

二、多选题

9．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据对数的运算性质、对数的运算法则，换底公式逐项判断即可得解.

【详解】对A，，，故A错误；

对B，由对数的运算性质可知，故B正确；

对C，，故C错误；

对D，由换底公式可知，，故D正确.

故选：BD

10．狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人,并且是有意识地“以概念代替直觉”的人．在狄利克雷之前,数学家们主要研究具体函数,进行具体计算,他们不大考虑抽象问题,但狄利克雷之后,人们开始考虑函数的各种性质,例如奇偶性、单调性、周期性等．1837年,狄利克雷拓广了函数概念,提出了自变量x与另一个变量y之间的现代观念的对应关系,并举出了个著名的函数——狄利克雷函数:,下列说法正确的有（    ）

A． B．

C．是偶函数 D．的值域为

【答案】AC

【分析】根据选项对两种情况分类讨论,即可得出A,C的正误,时,,所以,选项B错误,由可知,,选项D错误.

【详解】解:由题知,

关于选项A,

当时,,

,

当时,,

,

故选项A正确;

关于选项B,

当时,,

,

故选项B错误;

关于选项C,

当时,,

,

当时,,

,

为偶函数,

故选项C正确;

关于选项D,

由解析式可知,

故选项D错误.

故选:AC

11．已知关于x的不等式的解集为，则（    ）

A．

B．点在第二象限

C．的最大值为－2

D．关于的不等式的解集为

【答案】AC

【分析】根据不等式的解与方程的根之间的联系、基本不等式、一元二次不等式的解法求解.

【详解】原不等式等价于，

因为解集为，所以且，故A正确；

因为，，所以点在第三象限，故B错误；

，

因为，

所以，当且仅当即时取得等号，

故C正确；

由得即解集为，

故D    错误.

故选：AC.

12．定义在R上函数满足：的图象绕原点逆时针方向旋转90°后不变，则下列函数值可能正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由的图象绕原点逆时针方向旋转90°后不变可知，原点为对称中心，

又因为定义域为R，则，设符合题意函数求解即可.

【详解】由的图象绕原点逆时针方向旋转90°后不变可知，原点为对称中心，

又因为定义域为R，则，故A正确，B错误.

记函数，，部分图象如图所示

则符合题意，，故C正确

同理，记函数，，

则仍符合题意，，故D正确

故选：ACD.

三、填空题

13．若函数，则______．

【答案】2

【分析】根据分段函数解析式求解即可.

【详解】，

.

故答案为：2

14．函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则______．

【答案】

【分析】根据指数幂的运算性质，结合待定系数法进行求解即可.

【详解】对于函数函数，当时，，所以，

设，把点A的坐标代入该幂函数的解析式中，

，

故答案为：

15．若函数满足：是偶函数，且在上单调递增，则关于m的不等式的解集为______．

【答案】

【分析】根据偶函数的性质，结合图象平移的性质进行求解即可.

【详解】设，

函数的图象向左平移1个单位得到的图象，即的图象，

因为在上单调递增，

所以在上单调递增，而是偶函数，

因此由

，

故答案为：

【点睛】关键点睛：根据偶函数的性质是解题的关键.

四、双空题

16．正数a，b满足，则的最小值为______；的最大值为______．

【答案】     ##    

【分析】利用基本不等式，结合换元法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质进行求解即可.

【详解】因为正数a，b满足，

所以有，当且仅当时取等号，即时取等号；

由，而，因此，

令

，因为，

所以方程在区间内有解，

设，

或，

解得，

因此的最大值为，

故答案为：；

【点睛】关键点睛：利用换元法，结合一元二次根的分布性质求解是解题的关键.

五、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据分式的性质，结合集合补集和交集的定义进行求解即可；

（2）根据集合并集的性质进行求解即可.

【详解】（1）当时，，

，

∴；

（2）∵，∴，

即，∴实数m的取值范围为．

18．已知函数的图象过原点,且无限接近直线但又不与该直线相交．

(1)求函数的解析式,并画出的图象;

(2)结合图象,写出不等式的解集．

【答案】(1);作图见解析

(2)

【分析】(1)根据题意图象过原点,可得之间的关系,再根据为渐近线,求出即可,根据图象变换,先由图象横坐标不变,纵坐标扩大为原来的4倍即可得到,再将图象关于轴对称,即可得到的图象,再将图象向上平移4个单位即可得到,再将的图象去除,将图象关于轴对称,即可得到的图象,画出即可;

(2)先得到的根,再根据(1)的图象即可得到不等式解集.

【详解】（1）解:由题知,

,

且函数无限接近直线,但又不与该直线相交

∴,即

,

,

为偶函数,只需考虑的图象,

再将的图象关于轴对称,即可得到的图象,

时,,

先将图象横坐标不变,纵坐标扩大为原来的4倍即可得到,

再将图象关于轴对称,即可得到的图象,再将图象向上平移4个单位即可得到,再将的图象去除,将图象关于轴对称,即可得到的图象,所以画图象如下所示:

（2）不妨令,

可得,

结合图象可知不等式的解集为．

19．记函数的定义域为,函数,的值域为．

(1)求函数的值域;

(2)从下面两个条件中任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围．

①;

②“”是“”的必要不充分条件．

【答案】(1)

(2)①;②.

【分析】(1)先求的定义域,由于是两个根式相加,故有,将两边同时平方可得,根据定义域求得的范围,进而求得的范围,进而可得的值域;

(2)先根据单调性,求得的值域,根据两个条件可得包含关系，由于是开区间,是闭区间,所以不相等,两个条件得到的结果相等,根据子集概念,求得a的取值范围即可.

【详解】（1）解:由题知的定义域为,

,

解得,

故,

,

,,

,

函数的值域为;

（2）由(1)知,

,,

在上单调递减,

,

,

即;

选①:是P的子集,

,

解得: ,

实数a的取值范围为．

选②:是P的真子集,

,

解得:,

实数a的取值范围为．

20．党的二十大报告提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰、碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．在可再生能源发展政策的支持下，今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦．某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产x（单位：百台）发电机组需增加投入y（单位：万元），其中，该光伏发电机年产量最大为10000台．每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售完．

(1)将利润P（单位：万元）表示为年产量x（单位：百台）的函数；

(2)当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入＝总成本＋利润）．

【答案】(1)；

(2)当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元.

【分析】（1）根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；

（2）根据二次函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】（1）当时，；

当时，，

即；

（2）当时，，

所以当时，，

当时，，

当且仅当时取等号，即时取等号，

∵，∴当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元．

21．已知函数满足．

(1)求函数的解析式；

(2)若不等式对恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）联立方程即可求解，

（2）根据函数的单调性和奇偶性，将问题转化为对恒成立，进而分离参数，利用不等式求最即可.

【详解】（1） ，解得：．

（2），和均为单调递减函数，故为在上单调递减的函数，

又函数的定义域为，则，所以为奇函数，

即对恒成立，

整理得：对恒成立，

当时，不等式等价于对恒成立，，

当时，，

令，，

由于

所以，当时取等，∴，

综上：．

22．已知指数函数,其中,且．

(1)求实数a的值;

(2)已知函数与函数关于点中心对称,且方程有两个不等的实根．

①若,求的取值范围;

②若,求实数的值．

【答案】(1);

(2)① ;②.

【分析】(1)根据指数函数概念,只需,解出a的值,注意a的范围即可;

(2)根据(1)所得出的解析式,由于与函数关于点中心对称,可得,由此可得解析式,根据方程有两个不等的实根,列出等式化简换元,即可得到,为的两个不等实根,由①的条件,可得的两个实根在之间,根据根的分布,列出不等式求出的取值范围即可; 由②的条件,不妨设,根据,,则可得,根据韦达定理,得到关于的等式,化简求值即可.

【详解】（1）解:由题知由于函数,,且为指数函数,

则,

解得或（舍）,

故实数a的值为;

（2）由(1)知,,

由于函数与函数关于点中心对称,

,

,

由于方程有两个不等的实根,

即有两个不等的实根,

化简得可得:,

不妨令,则有,

为的两个不等实根,

,为的两个不等实根

①令,

由于,

,

即区间内有两不等实根,

,

解得:,

的取值范围为;

②不妨设:,,

,

,

由,,

则

,

,解得,

实数m的值为;

故① ;②.

【点睛】关于对称的几个结论:

若函数与函数关于对称,则,

若函数与函数关于对称,则,

若函数关于对称,则,

若函数关于对称,则.