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2022-2023学年河南省信阳市息县九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年河南省信阳市息县九年级（上）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市息县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探火 B．中国火箭
C．中国行星探测 D．航天神舟
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180°
B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k D．k
4．（3分）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
5．（3分）如图是“光盘行动”的宣传海报（部分），图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．（3分）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
8．（3分）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
9．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是 ．
12．（3分）已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数）
13．（3分）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝ ．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝75°，OA＝2，点M为OB上一点，连接AM，将△OAM沿AM折叠得到△NAM，点O落在点N处．当AN与所在的圆相切时，图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在B′处．点F在边CD上，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C落在C′处．连接C′D，C′C，若点C′，B′，E在同一条直线上，∠CC′D＝90°，则线段BE的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2+x＝1；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：
（1）如果△ABC关于原点O的中心对称图形是△A1B1C1，请写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）如果△ABC绕点B逆时针旋转90°得到了△A2BC2，请写出点A2、C2的坐标．
18．（9分）2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：
甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）装有编号为1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
19．（9分）已知：点A（1，3）是反比例函数y1（k≠0）的图象与直线y2＝mx（m≠0）的一个交点．
（1）求k、m的值；
（2）在第一象限内，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围．
20．（10分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE．
22．（10分）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
23．（10分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a，b，求基准点K的高度h；
②若a时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
2022-2023学年河南省信阳市息县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探火 B．中国火箭
C．中国行星探测 D．航天神舟
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180°
B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【分析】根据三角形内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、三角形内角和是180°，是必然事件，故A符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k D．k
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，可知Δ≥0，可以求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣k）≥0，
解得k，
故选：B．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时，Δ≥0．
4．（3分）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．
【解答】解：∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，
又黄金分割比为0.618，
∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割，
故选：D．
【点评】本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系，熟悉线段的黄金分割是解题的关键．
5．（3分）如图是“光盘行动”的宣传海报（部分），图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【分析】直接利用直线与圆的位置关系的定义进行判断．
【解答】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据交点个数直接判断是解题的关键．
6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，从而可求出∠CBD的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解答】解：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°，
∴∠CAD＝∠CBD＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（3分）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
【分析】根据k＞0可知增减性：在每一象限内，y随x的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．
【解答】解：∵k＝4＞0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，且1＜2＜3＜4，
∴y4最小．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象的增减性是解答此题的关键．
8．（3分）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小，x＞h时，y随x的增大而增大；a＜0时，x＜h时，y随x的增大而增大，x＞h时，y随x的增大而减小是解题的关键．
9．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵a＜c，
∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；
②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，
∴b＜0，
∴对称轴x1，
∴当1＜x时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；
③∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，
对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，
∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是 2 ．
【分析】根据方程的系数结合两根之和等于，即可求出x1+x2＝2．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴x1+x2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2．
12．（3分）已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是 ﹣3（答案不唯一） ．（只需写出一个符合条件的实数）
【分析】根据图象位于第二、四象限，易知k＜0，写一个负数即可．
【解答】解：∵该反比例图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k取值不唯一，可取﹣3，
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】本题考查反比例函数的性质，根据图象分别位于第二、第四象限，找到k的范围即可．
13．（3分）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝ 2 ．
【分析】由直角三角形的性质可得AC＝2AB＝2，由旋转的性质可得AE＝AC＝2．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2，
∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AE＝AC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝75°，OA＝2，点M为OB上一点，连接AM，将△OAM沿AM折叠得到△NAM，点O落在点N处．当AN与所在的圆相切时，图中阴影部分的面积为 5π﹣6﹣2 ．
【分析】连接ON交AM于C点，如图，先利用切线的性质得到∠OAN＝90°，再根据折叠的性质得到∠OAM＝∠NAM＝45°，ON⊥AM，则可计算出∠OMA＝60°，接着在Rt△OCA中利用等腰直角三角形的性质计算出OC＝AC＝2，则在Rt△OMC中利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出MC＝2，所以AM＝22，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S△AOM进行计算．
【解答】解：连接ON交AM于C点，如图，
∵AN与所在的圆相切，
∴AN⊥OA，
∴∠OAN＝90°，
∵△OAM沿AM折叠得到△NAM，
∴∠OAM＝∠NAM＝45°，ON⊥AM，
∵∠AOB＝75°，
∴∠OMA＝60°，
在Rt△OCA中，∵∠OAC＝45°，
∴OC＝ACOA22，
在Rt△OMC中，∵∠OMC＝60°，
∴MCOC22，
∴AM＝AC+MC＝22，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S△AOM（22）×25π﹣6﹣2．
故答案为：5π﹣6﹣2．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形面积的计算和折叠的性质．把求阴影部分的面积转化为扇形的面积与三角形的面积的差是解决问题的关键．
15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在B′处．点F在边CD上，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C落在C′处．连接C′D，C′C，若点C′，B′，E在同一条直线上，∠CC′D＝90°，则线段BE的长为 2或4 ．
【分析】可证得CF＝DF＝2，，△ABE∽△ECF，从而，进而得出结果．
【解答】解：如图，
设EF与CC′交于点G，根据折叠性质得，
CG＝C′G，EF⊥CC′，∠AEB′＝∠AEB，∠CEF＝∠C′EF，
∴∠ABE+∠CEF＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠B＝∠BCD＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵∠CC′D＝90°，
∴FG∥C′D，
∴1，
∴CF＝DFCD＝2，
∴，
∴BE＝2或4，
故答案为：2或4．
【点评】本题考查了矩形性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识，解决问题的关键是发现CF＝2．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2+x＝1；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先移项得到3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或3x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2+x＝1，
x2+x﹣1＝0，
a＝1，b＝1，c＝﹣1，
Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
x，
所以x1，x2；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4，
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：
（1）如果△ABC关于原点O的中心对称图形是△A1B1C1，请写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）如果△ABC绕点B逆时针旋转90°得到了△A2BC2，请写出点A2、C2的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的性质即可得到结论；
（2）根据旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A（4，5），B（1，2），C（5，1），
∴点A1的坐标为（﹣4，﹣5）、B1的坐标为（﹣1，﹣2）、C1的坐标为（﹣5，﹣1）；
（2）如图所示，∵点A（4，5），B（1，2），C（5，1），
∴点A2的坐标为（﹣4，﹣5）、C2的坐标为（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18．（9分）2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：
甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）装有编号为1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【分析】先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小明获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．
【解答】解：根据题意列表如下：
4
1
2
3
1
（1，4）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，4）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，4）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
∴共有12种等可能的结果，其中两球编号之和为偶数的有6种结果，两球编号之和为奇数的有6种结果，
则小明获胜的概率是，小雪获胜的概率是，
∵，
∴这个游戏对双方公平．
【点评】本题考查列表法，游戏公平性，解题的关键是正确列出所有可能的结果．
19．（9分）已知：点A（1，3）是反比例函数y1（k≠0）的图象与直线y2＝mx（m≠0）的一个交点．
（1）求k、m的值；
（2）在第一象限内，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把A（1，3）代入解析式，即可求出答案；
（2）根据图象和交点坐标即可求出答案．
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y1（k≠0）得：3，
∴k＝3，
把A（1，3）代入y2＝mx（m≠0）得：3＝m，
∴m＝3．
（2）由图象可知：交于点（1，3）和（﹣1，﹣3），在第一象限内，当y2＞y1时，x的取值范围是x＞1．
【点评】本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数，能用待定系数法求出函数的解析式和会观察图象是解此题的关键．
20．（10分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a，即可解决问题；
（2）把y＝6，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，
把（0，0）代入，可得a，
∴抛物线的解析式为y（x﹣5）2+9；
（2）令y＝6，得（x﹣5）2+9＝6，
解得x15，x25，
∴A（5，6），B（5，6）．
【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠ADC，即可解答；
（2）利用切线的性质可得∠OCE＝90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD＝∠CBE，再利用（1）的结论可得∠OCB＝∠CBE，然后可证OC∥BE，最后利用平行线的性质可得∠E＝90°，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）证明：∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
22．（10分）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；
（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．
【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA；
（3）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，
同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，PB＝CM，
∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键，属于中考常考题型．
23．（10分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 66 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a，b，求基准点K的高度h；
②若a时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a，b，知yx2x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）①∵a，b，
∴yx2x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y75275+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a，
∴yx2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
即752+75b+66＞21，
解得b，
故答案为：b；
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a，
∴抛物线解析式为y（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
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2022-2023学年河南省信阳市息县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探火 B．中国火箭
C．中国行星探测 D．航天神舟
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180°
B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k D．k
4．（3分）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
5．（3分）如图是“光盘行动”的宣传海报（部分），图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．（3分）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
8．（3分）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
9．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是 ．
12．（3分）已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数）
13．（3分）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝ ．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝75°，OA＝2，点M为OB上一点，连接AM，将△OAM沿AM折叠得到△NAM，点O落在点N处．当AN与所在的圆相切时，图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在B′处．点F在边CD上，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C落在C′处．连接C′D，C′C，若点C′，B′，E在同一条直线上，∠CC′D＝90°，则线段BE的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2+x＝1；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：
（1）如果△ABC关于原点O的中心对称图形是△A1B1C1，请写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）如果△ABC绕点B逆时针旋转90°得到了△A2BC2，请写出点A2、C2的坐标．
18．（9分）2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：
甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）装有编号为1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
19．（9分）已知：点A（1，3）是反比例函数y1（k≠0）的图象与直线y2＝mx（m≠0）的一个交点．
（1）求k、m的值；
（2）在第一象限内，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围．
20．（10分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE．
22．（10分）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
23．（10分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a，b，求基准点K的高度h；
②若a时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
2022-2023学年河南省信阳市息县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探火 B．中国火箭
C．中国行星探测 D．航天神舟
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180°
B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【分析】根据三角形内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、三角形内角和是180°，是必然事件，故A符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k D．k
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，可知Δ≥0，可以求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣k）≥0，
解得k，
故选：B．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时，Δ≥0．
4．（3分）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．
【解答】解：∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，
又黄金分割比为0.618，
∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割，
故选：D．
【点评】本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系，熟悉线段的黄金分割是解题的关键．
5．（3分）如图是“光盘行动”的宣传海报（部分），图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【分析】直接利用直线与圆的位置关系的定义进行判断．
【解答】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据交点个数直接判断是解题的关键．
6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，从而可求出∠CBD的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解答】解：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°，
∴∠CAD＝∠CBD＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（3分）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
【分析】根据k＞0可知增减性：在每一象限内，y随x的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．
【解答】解：∵k＝4＞0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，且1＜2＜3＜4，
∴y4最小．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象的增减性是解答此题的关键．
8．（3分）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小，x＞h时，y随x的增大而增大；a＜0时，x＜h时，y随x的增大而增大，x＞h时，y随x的增大而减小是解题的关键．
9．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵a＜c，
∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；
②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，
∴b＜0，
∴对称轴x1，
∴当1＜x时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；
③∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，
对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，
∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是 2 ．
【分析】根据方程的系数结合两根之和等于，即可求出x1+x2＝2．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴x1+x2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2．
12．（3分）已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是 ﹣3（答案不唯一） ．（只需写出一个符合条件的实数）
【分析】根据图象位于第二、四象限，易知k＜0，写一个负数即可．
【解答】解：∵该反比例图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k取值不唯一，可取﹣3，
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】本题考查反比例函数的性质，根据图象分别位于第二、第四象限，找到k的范围即可．
13．（3分）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝ 2 ．
【分析】由直角三角形的性质可得AC＝2AB＝2，由旋转的性质可得AE＝AC＝2．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2，
∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AE＝AC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝75°，OA＝2，点M为OB上一点，连接AM，将△OAM沿AM折叠得到△NAM，点O落在点N处．当AN与所在的圆相切时，图中阴影部分的面积为 5π﹣6﹣2 ．
【分析】连接ON交AM于C点，如图，先利用切线的性质得到∠OAN＝90°，再根据折叠的性质得到∠OAM＝∠NAM＝45°，ON⊥AM，则可计算出∠OMA＝60°，接着在Rt△OCA中利用等腰直角三角形的性质计算出OC＝AC＝2，则在Rt△OMC中利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出MC＝2，所以AM＝22，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S△AOM进行计算．
【解答】解：连接ON交AM于C点，如图，
∵AN与所在的圆相切，
∴AN⊥OA，
∴∠OAN＝90°，
∵△OAM沿AM折叠得到△NAM，
∴∠OAM＝∠NAM＝45°，ON⊥AM，
∵∠AOB＝75°，
∴∠OMA＝60°，
在Rt△OCA中，∵∠OAC＝45°，
∴OC＝ACOA22，
在Rt△OMC中，∵∠OMC＝60°，
∴MCOC22，
∴AM＝AC+MC＝22，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S△AOM（22）×25π﹣6﹣2．
故答案为：5π﹣6﹣2．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形面积的计算和折叠的性质．把求阴影部分的面积转化为扇形的面积与三角形的面积的差是解决问题的关键．
15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在B′处．点F在边CD上，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C落在C′处．连接C′D，C′C，若点C′，B′，E在同一条直线上，∠CC′D＝90°，则线段BE的长为 2或4 ．
【分析】可证得CF＝DF＝2，，△ABE∽△ECF，从而，进而得出结果．
【解答】解：如图，
设EF与CC′交于点G，根据折叠性质得，
CG＝C′G，EF⊥CC′，∠AEB′＝∠AEB，∠CEF＝∠C′EF，
∴∠ABE+∠CEF＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠B＝∠BCD＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵∠CC′D＝90°，
∴FG∥C′D，
∴1，
∴CF＝DFCD＝2，
∴，
∴BE＝2或4，
故答案为：2或4．
【点评】本题考查了矩形性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识，解决问题的关键是发现CF＝2．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2+x＝1；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先移项得到3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或3x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2+x＝1，
x2+x﹣1＝0，
a＝1，b＝1，c＝﹣1，
Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
x，
所以x1，x2；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4，
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：
（1）如果△ABC关于原点O的中心对称图形是△A1B1C1，请写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）如果△ABC绕点B逆时针旋转90°得到了△A2BC2，请写出点A2、C2的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的性质即可得到结论；
（2）根据旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A（4，5），B（1，2），C（5，1），
∴点A1的坐标为（﹣4，﹣5）、B1的坐标为（﹣1，﹣2）、C1的坐标为（﹣5，﹣1）；
（2）如图所示，∵点A（4，5），B（1，2），C（5，1），
∴点A2的坐标为（﹣4，﹣5）、C2的坐标为（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18．（9分）2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：
甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）装有编号为1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【分析】先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小明获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．
【解答】解：根据题意列表如下：
4
1
2
3
1
（1，4）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，4）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，4）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
∴共有12种等可能的结果，其中两球编号之和为偶数的有6种结果，两球编号之和为奇数的有6种结果，
则小明获胜的概率是，小雪获胜的概率是，
∵，
∴这个游戏对双方公平．
【点评】本题考查列表法，游戏公平性，解题的关键是正确列出所有可能的结果．
19．（9分）已知：点A（1，3）是反比例函数y1（k≠0）的图象与直线y2＝mx（m≠0）的一个交点．
（1）求k、m的值；
（2）在第一象限内，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把A（1，3）代入解析式，即可求出答案；
（2）根据图象和交点坐标即可求出答案．
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y1（k≠0）得：3，
∴k＝3，
把A（1，3）代入y2＝mx（m≠0）得：3＝m，
∴m＝3．
（2）由图象可知：交于点（1，3）和（﹣1，﹣3），在第一象限内，当y2＞y1时，x的取值范围是x＞1．
【点评】本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数，能用待定系数法求出函数的解析式和会观察图象是解此题的关键．
20．（10分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a，即可解决问题；
（2）把y＝6，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，
把（0，0）代入，可得a，
∴抛物线的解析式为y（x﹣5）2+9；
（2）令y＝6，得（x﹣5）2+9＝6，
解得x15，x25，
∴A（5，6），B（5，6）．
【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠ADC，即可解答；
（2）利用切线的性质可得∠OCE＝90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD＝∠CBE，再利用（1）的结论可得∠OCB＝∠CBE，然后可证OC∥BE，最后利用平行线的性质可得∠E＝90°，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）证明：∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
22．（10分）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；
（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．
【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA；
（3）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，
同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，PB＝CM，
∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键，属于中考常考题型．
23．（10分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 66 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a，b，求基准点K的高度h；
②若a时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a，b，知yx2x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）①∵a，b，
∴yx2x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y75275+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a，
∴yx2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
即752+75b+66＞21，
解得b，
故答案为：b；
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a，
∴抛物线解析式为y（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/20 14:23:24；用户：单静怡；邮箱：zhaoxia39@xyh.com；学号：39428212
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