2022-2023学年上海市浦东复旦附中分校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市浦东复旦附中分校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列函数中，不是偶函数的是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】C

【分析】根据偶函数的定义，对选项逐一判断.

【详解】对选项A，函数的定义域为，解得的定义域为，定义域关于原点对称，且，故是偶函数.

B选项，函数的定义域为，解得，定义域关于原点对称，则，，所以函数是偶函数.

C选项，当，，所以不是偶函数.

D选项，，的定义为，

当，，

当，

所以函数为偶函数.

故选：C

2．存在函数满足：对任意都有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的奇偶性可以判断A 和B选项的正误；再根据的对称性判断C和D.

【详解】必定是一个偶函数，故可以判断A 和B选项是错误的；

是由的图像向左平移一个单位得到，

所以的图像关于对称，

对于C，不关于对称，故舍去；

对于D，关于对称，故正确，

故选：D.

3．已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据方程有实根可求得，根据二次函数性质可求得；设，分别在和的情况下，讨论的根的个数，并根据方程的根与的大小关系，确定的根的个数，即为所求集合的元素个数.

【详解】有实根，，解得：；

；

设，则；

①当时，，，即，解得：，

；

②当时，由得：，；

，

，，又恒成立，

，即，

共有四个不等实根，

；

综上所述：集合的元素个数可能为或.

故选：C.

4．设对任意恒成立，当时，函数在上的最大值是，则的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】令，则任意都有，，，

将用表示，则可变形得，结合绝对值三角不等式即可得出最大值.

【详解】令，则任意都有，，，

由得，

∴

.

故选：A

二、填空题

5．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】根据给定的函数，直接列出不等式求解作答.

【详解】函数有意义，则，解得且，

所以函数的定义域是.

故答案为：

6．已知集合，，若，则实数______．

【答案】1

【分析】由集合中元素的互异性可得，

由集合相等可得或，再求解即可得解.

【详解】解：由集合，，

又，

则有或，

解得无解或，

综上可得实数，

故答案为.

【点睛】本题考查了集合相等的充要条件及集合中元素的互异性，重点考查了元素与集合的关系及运算能力，属基础题.

7．已知实数，满足，，则以为根的一元二次方程是__________．

【答案】.

【分析】本题考查一元二次方程韦达定理得逆向运用

【详解】将变形可得，

可得即，

由一元二次方程的韦达定理可知为方程的两根.

故答案为：.

8．若在区间上为奇函数，则t的取值为________．

【答案】

【详解】奇函数的定义域关于原点对称，且区间的右端点不比左端点小，有．

解得．

9．若，，则的取值范围是____________．

【答案】

【分析】直接根据不等式的性质即可得结果.

【详解】因为，，

所以，，

即的取值范围是，

故答案为：.

10．函数的递减区间是__________．

【答案】

【分析】分别在、和的情况下得到函数解析式，结合一次函数的单调性可确定递减区间.

【详解】当时，，此时函数单调递减；

当时，；

当时，，此时函数单调递增；

的递减区间是.

故答案为：.

11．函数的值域是__________．

【答案】

【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域.

【详解】当时，

当，.

若时，，当且仅当，即时等号成立，此时

，即.

若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.

综上所述，函数的值域为.

故答案为：

12．已知的周长为定值，则它的面积最大值为__________.

【答案】.

【分析】设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值.

【详解】设三条边长分别为，其中为斜边长，所以，，，所以，所以，则三角形的面积.

故答案为.

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

13．若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案．

【详解】解：因为函数的值域为，

所以能够取到大于等于的所有数，

当时，不合题意；

当时，则，解得；

综上可得.

故答案为：．

14．函数，，若在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是_______．

【答案】

【分析】因为函数没有奇偶性，所以一次项系数不为零；因为函数在定义域上不单调，所以二次项系数不为零，且对称轴在区间内；又因为二次函数在开区间上有最大值，所以二次项系数小于零，求出a的取值范围.

【详解】因为函数没有奇偶性，所以，即；

又因为函数在上不单调，所以且；

又因为二次函数在开区间上有最大值，所以，

综上，解得.

故答案为：.

15．已知函数，若对于任意的，都有，则的最小值是_____.

【答案】

【分析】根据及可得即可求出函数解析式，令，将函数转化为二次函数，求出函数的最小值.

【详解】解：对任意的，都有

令

则

所以的最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查函数的最值，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值，属于中档题.

16．设，若存在定义城为的函数同时满足下列两个条件：

①对于任意，的值为或；②关于的方程无实数解．

则实数不能取的值的集合为__________．

【答案】

【分析】根据条件①可知或1，进而结合条件②可得的范围，并分析函数的构成，即可确定的范围，从而可得实数不能取的值的集合.

【详解】解：根据条件①可得或，

根据条件②关于的方程无实数解，所以且；

由条件①可知函数的图象是由函数和函数的图象分段拼接而成的，

若，只需取，则无解；

若，只需取，则无解；

若，只需取，则无解；

故的取值范围是，则实数不能取的值的集合为.

故答案为：．

三、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的值域；

(2)若直线与的图象有无穷多个交点，求实数的取值集合．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）采用分段讨论法去绝对值，求出解析式，画出图象，可求值域；

（2）要使交点有无数多个，即直线或，解方程即可.

【详解】（1）当时，；

当时，；

当时，，

故，如图：

可知；

（2）要使直线与的图象有无穷多个交点，即或（无解），解得或，

故实数的取值集合

18．已知函数，其中．

(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若，，判断函数在上的单调性，并证明．

【答案】(1)见解析

(2)单调递增，证明见解析

【分析】（1）由奇偶性的定义求解，

（2）由单调性的定义证明，

【详解】（1）的定义域为，

当时，为非奇非偶函数，

当时，，，

令，解得，令，得无解，

综上，当时，为奇函数，

当或时，为非奇非偶函数，

（2），设，且，

则，

由，得，而，

故，在上单调递增．

19．某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量与促销费t之间的关系为(其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.

（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？

（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？

【答案】（1）(万元)；（2）当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).

【解析】（1）可得当时，，解得，则可列不等式求出；

（2）根据题意可列出y关于的函数关系，再利用基本不等式可求出.

【详解】解：（1）由，当时，，得，∴，

由，解得，

所以促销费至少为19万元；

（2）网店的利润y(万元)，由题意可得：

，

当且仅当，即时取等号，此时；

所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).

20．已知函数．

(1)当时，求方程的实数解；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围；

(3)若存在两个不相等的正实数，，满足，试比较、2、这三个数的大小关系，并证明你的结论．

【答案】(1)；

(2)；

(3)，证明见解析.

【分析】（1）化简后分和两种情况求解即可；

（2）分，和三种情况求解函数的最大值，使其最大值小于零即可；

（3）不妨设，然后根据分段函数的性质将分三种情况：，和，可得到.

【详解】（1）当时，，

由，得，

，

当，即时，，解得或（舍去），

当，即时，，解得（舍去），

综上，方程的实数解为；

（2）①当时，因为，所以，

则在上单调递增，

所以，符合题意，

②当时，，则由对勾函数的性质可知，在上单调递增，

所以，

因为，所以，得，

所以，

③当时，，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，

所以，符合题意，

综上，，即实数的取值范围为；

（3）不妨设，

当时，在上单调递增，

所以不存在两个不相等的正实数，满足，舍去，

当时，为定值，不合题意，

当时，，由对勾函数的性质可知，当时，在上单调递增，在上单调递增，

而两个分段函数在处函数值相同，

所以在上单调递增，

所以不存在两个不相等的正实数，满足，舍去，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

且，即分段函数在处函数值相同，

所以要存在两个不相等的正实数，满足，则有三种类型，

第一种：

，则，

令，则，

当时，

任取，且，则

因为，

当且仅当时取等号，

因为，所以取不到等号，所以，

所以，

所以，即

所以在上单调递增，

所以，所以，

因为，所以，

因为，所以，

因为，在上单调递增，

所以，所以，

综上，，

第二种情况：

，显然，

令，，

当时，

，

任取，且，则

，

因为，且，

所以，，，

所以，即，

所以在上单调递增，

所以，

因为，所以，

因为，所以，

因为，在上单调递增，

所以，所以，

综上，

第三种情况：

，由第一种情况可知，则第二种情况可知，

所以，

综上.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数单调性的应用，第（3）问解题的关键是分情况讨论可得当时，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，然后再对分三种情况求解，考查分类思想和数计算能力，属于较难题.

21．已知定义城为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质．

(1)判断下列函数是否具有性质，无需说明理由；

①；                    ②

(2)若函数的定义域为，且具有性质，则“有解”是“”的__________条件（横线上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并证明你的结论；

(3)若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求实数的值．

【答案】(1)不具有性质，具有性质

(2)必要非充分、证明详见解析

(3)或

【分析】（1）根据性质对两个函数进行分析，从而确定正确答案.

（2）根据充分、必要条件的知识，结合性质作出判断.

（3）对进行分类讨论，求得的值域，结合性质以及的唯一性求得的值.

【详解】（1）性质：对任意，都存在满足，.

①，取，则，而，

所以不具有性质.

②，的定义域为，值域是，

对于任意，，

即存在，使，所以具有性质.

（2）函数的定义域为，且具有性质，

即使得对任意，都存在满足，

当“有解”时：

如，则，

，即的值域是，

对任意，

即存在使，也即具有性质，

但，所以“有解”“”.

当“”时，即对任意，都存在满足，

即“有解”，

所以“”“有解”，

所以“有解”是“”的必要不充分条件.

（3）依题意，存在唯一的实数，使得函数，具有性质，

即：存在唯一的实数，对任意，都存在满足，，

，

记的值域为，则，

当时：

，，即，

所以，唯一，符合题意.

当时，的对称轴为，.

当，在上递增，所以，

所以，不唯一，不符合题意.

当时，，在上递增，所以，

所以，无解.

当时，，

所以的最大值是，最小值是，则，

所以，，由于唯一，所以（舍去）.

当时，，所以的最大值是，

最小值是，则，

所以，，由于唯一，

所以，解得（舍去）.

综上所述，的值为或

【点睛】求解含有参数的一元二次函数在闭区间上的值域问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可以考虑二次函数的开口方向、对称轴、判别式、定义域等等.