2021-2022学年上海市复旦中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市复旦中学高一上学期期中数学试题

一、填空题

1．已知全集为，集合，则________.

【答案】

【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.

【详解】已知全集，集合，得或.

故答案为：.

2．函数的定义域是______．

【答案】

【解析】由条件可得，解出即可.

【详解】要使函数有意义，则有，解得且

所以函数的定义域是

故答案为：

3．设集合，，则___________.

【答案】

【分析】求得直线与直线的交点坐标即可得答案.

【详解】因为集合，，

所以的元素就是直线与直线的交点坐标，

由解得，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查集合交集的运算，解答问题的关键是找到直线与直线的交点坐标，属于基础题.

4．设一元二次方程的两个实根为、，则________.

【答案】42

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方和公式进行求解即可.

【详解】一元二次方程的两个实根为、，所以有，

因此，

故答案为：

5．已知，，若是充分非必要条件，则的取值范围是__.

【答案】

【分析】由充分性和必要性的定义列不等式求解即可.

【详解】若是的充分非必要条件，则是的真子集，

所以，解得，

故答案为：

6．化简代数式：__（其中）.

【答案】

【分析】根据对数的性质计算.

【详解】原式 ，

原式=；

故答案为： .

7．设a、b都为正数，且，则的最小值为________.

【答案】1

【分析】把变形为：利用已知，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】因为a、b都为正数，所以有：

，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故答案为：

8．设关于x的不等式与的解集分别为A、B，则不等式组的解集可以用集合A、B的运算表示为________.

【答案】

【分析】根据不等式组的解的性质，结合集合补集和交集的定义进行求解即可.

【详解】不等式组的含义是且，

因为关于x的不等式的解集是A，

所以关于x的不等式的解集是，

因此不等式组的解集可以用集合A、B的运算表示为，

故答案为：

9．在R上定义新运算：．若不等式对恒成立，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用定义的运算建立函数关系式，解决恒成立问题转化成二次函数的图像恒在轴上方，由，结合二次不等式的解法可得所求范围．

【详解】不等式对任意实数恒成立，

即为，

化简得在上恒成立，

则判别式，即，

即有，即，

解得，则a的取值范围是.

故答案为：．

10．设关于x的方程解集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则________.

【答案】

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.

【详解】由或，所以或，

当时，由，可得，

当时，由，可得，

因此有，

当时，；

当时，，

故答案为：

11．已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________

【答案】1或

【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.

【详解】，则只需考虑下列三种情况：

①当时，

又    

    且

可得：

②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去

③当即时

可得：且

综上所述：或

【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.

12．已知集合，且，则实数的所有取值组成的集合为____.

【答案】

【分析】由一元二次方程的解化简集合，再根据集合并集的定义求解即可.

【详解】由解得或，所以，

因为，所以，

又因为一元二次方程的判别式，

当即时，满足题意，

当即或，时不满足题意，时满足题意，

当时由可知无解，

综上，

故答案为：

二、单选题

13．设，下列计算中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数幂的运算逐项分析

【详解】因为，所以

选项A：，故A错误.

选项B：，故B错误

选项C：，故C错误

选项D：，故D正确

故选：D.

14．若，则下列不等式中不成立的是（    ）

A．； B．；

C．； D．．

【答案】B

【分析】根据不等式的性质判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】对于选项A：若，则，故选项A正确；

对于选项B：，因为，所以，

即，所以，故选项B不正确；

对于选项C：若，则，故选项C正确；

对于选项D：若，则，故选项D正确，

故选：B

15．用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（　　）

A．a、b都能被5整除 B．a、b都不能被5整除

C．a、b不都能被5整除 D．a不能被5整除

【答案】B

【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.

【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．

“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故命题“a，b∈N+，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．

故选：B．

16．若，则等于

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先化为，化再利用换底公式化简，解得，最后利用换底公式求结果.

【详解】∵18b=5，∴，又，联立解得．

∴．故选B．

【点睛】本题考查换底公式，考查基本化简求解能力.

17．已知不等式的解集是，则下列四个命题：

① ：

② ；

③ 若不等式的解集为，则；

④ 若不等式的解集为，且，则.

其中真命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】因为有且只有一个零点，故可得，即可，再利用基本不等式和不等式的性质以及韦达定理，即可得答案；

【详解】由题意，，

∴ .

对于①：，

等号当且仅当时成立，所以①正确；

对于②：，

等号当且仅当，即时成立，

∴ ② 正确；

对于③：由韦达定理，知，∴ ③ 错误；

对于④：由韦达定理，知，

则，

解得，∴ ④ 正确；

综上，真命题的个数是3，

故选：C.

三、解答题

18．已知集合，集合.求集合.

【答案】

【分析】根据绝对值不等式的解法，结合分式不等式的解法、集合并集的定义进行求解即可.

【详解】因为，，所以，

故答案为：

19．求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.

【答案】证明见解析.

【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可.

【详解】充分性：

若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立；

必要性：由于等式对任意实数恒成立，

分别将，，代入可得，

解得，必要性成立，

故等式对任意实数恒成立的充要条件是.

20．解关于x的不等式：．

【答案】见解析

【分析】将原不等式化为分，，三种情况进行讨论．、易解不等式；当时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可．

【详解】将原不等式化为，

（1）当时，有；

（2）当时，有，，

，

当时，；

当时，，；

当时，有， ；

（3）当时，，有，所以．

综上， 当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

【点睛】该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏．

21．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：.

(1)若要求在该时间段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

(2)该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆小时）

【答案】(1)大于且小于

(2)，11.1千辆时

【分析】（1）只需要解不等式即可.

(2)把函数变形为再根据基本不等求解.

【详解】（1）由题意得，整理得，

即.解得.

所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆时，

则汽车的平均速度应大于且小于.

（2）由题意得，

当且仅当，即时取等号，所以（千辆时）.

故当时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆时.

22．记代数式.

(1)当时，求使代数式有意义的实数的集合；

(2)对任意，代数式均有意义，求实数的取值范围；

(3)若存在实数使得代数式有意义，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）分、、三种情况解不等式，由此可得出结果；

（2）由绝对值三角不等式可得出关于实数的不等式，进而可解得实数的取值范围；

（3）解出使得有意义时的取值范围是，由题意可知，存在，使得成立，通过去绝对值再由且可解得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

所以，

①当时，，解得，此时；

②当时，，原不等式无解；

③当时，，解得，此时.

解得或，

故实数的集合为；

（2）由题意得恒成立，

因为，

当且仅当时取等，

所以，所以或，

所以实数的取值范围为；

（3）因为，

则，解得，

由题意可知，存在，使得成立，

即有解，

因为且，则，

所以

即在时有解，所以，

又因且，解得且，

所以实数的取值范围为.

23．已知关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数.

(1)求的取值范围；

(2)当方程②有两个整数根，且为整数，，，求方程②的整数根；

(3)当方程②有两个实数根，满足，且为负整数，求的值并写出应满足的关系式.

【答案】(1)且且

(2)，

(3)，

【分析】（1）由且解出的范围即可，注意一元二次方程；

（2）将，代入一元二次方程，利用韦达定理和求根公式求解即可；

（3）利用韦达定理求解即可.

【详解】（1）因为关于的分式方程的根为非负数，所以且，

又因为，且，解得且，

又一元二次方程中，所以，

综上，且且.

（2）一元二次方程有两个整数根，

且，时，，即，

所以，且，则或，

因为是整数，、都是整数，，，

所以为整数，所以或，

由（1）得，则，

把代入方程得，，.

（3）由（1）得且且，因为是负整数，所以，

方程有两个实数根，

所以，，

因为，

所以，

所以，

所以，即，

所以.