2022-2023学年上海市复旦中学高一上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市复旦中学高一上学期9月月考数学试题（解析版），共7页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．己知集合，若，则实数a的值为____________．
【答案】
【分析】根据集合中元素的特征，用集合元素互异性分析即可.
【详解】由集合中元素的互异性得，故，则，又，所以，解得．
故答案为：
2．已知集合，若，则实数___________.
【答案】或3##3或-2
【分析】利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果.
【详解】，
∴或，
解得或或，
将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，
故或3.
故答案为：或3.
3．设全集，集合，若，则实数______;
【答案】
【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可.
【详解】因为，故，即，故，解得或；
当时，，满足条件；
当时，，不满足条件；
故.
故答案为：
4．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围
【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．
故答案为：
5．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．
【答案】{0}∪[，+∞）．
【分析】分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．
【详解】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，
解得x，故成立；
当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，
解得；
综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）．
故答案为：{0}∪[，+∞）．
6．设集合，，集合，则实数的值为_____．
【答案】1或3或4.
【分析】解一元二次方程求出集合，根据并集结果求实数的值.
【详解】由解得或，所以，
由解得或，
（i）若，则，满足；
（ii）若，则，因为，
所以或，
综上实数的值为1或3或4.
故答案为：1或3或4.
7．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是__________．(填序号)
①若a＞b，c＞d，则ac＞bd ②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
③若a＜b＜0，则 ④若a＜b＜0，则
【答案】②
【分析】对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时才成立；对于②③由不等式性质可判断正误；对于④作差，通分可得到结果.
【详解】对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，不等式才成立；
对于②，∵a＜b＜0，
由不等式的传递性得到：a2＞ab＞b2，故②正确；
③中在上为减函数，因为a＜b＜0得，
故得到：，故③不正确，
又,又a＜b＜0，
∴，∴，故④不正确；
故答案为：②.
8．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________
【答案】
【分析】化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可.
【详解】因为是一元二次方程的两个不相等的实数根，
所以，，所以，
解得或，
又因为，得，所以.
故答案为：3
9．已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案.
【详解】因为为假命题，所以为真命题，即，
又因为集合，集合，
所以当时，，即，此时满足；
当时，或，解得，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
10．已知全集且，，，且，则的值为_____________．
【答案】66
【分析】结合韦达定理，根据集合运算结果求解即可.
【详解】解：因为全集，，
所以3，9，12，15中有两个属于，
因为中的方程中，两根之积，所以，
所以，又，所以，
因为中的方程中，两根之和，所以，
则，所以．
故答案为：.
二、单选题
11．“且”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：由且，则且，所以，即充分性成立；
由推不出且，如，，满足，但是不成立，故必要性不成立；
故“且”是“”的充分不必要条件；
故选：B
12．已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合；
②：集合；：集合；
③；；
④：；：．
其中是的必要非充分条件的有（ ）
A．①②B．③④C．②④D．①③
【答案】D
【分析】根据集合间的关系以及不等式的性质判断求解即可.
【详解】①若，则不一定相等，不是充分条件，
若，则一定成立，是必要条件，
所以是的必要非充分条件，故①符合题意；
②若集合，则集合，反之也成立，
所以是的充要条件，故②不符合题意；
③由得不到，
由能得到，
所以是的必要非充分条件，故③符合题意；
④根据不等式的性质由可得，
但由得或，
即由得不到，
所以是的充分不必要条件，故④不符合题意；
故选:D.
三、解答题
13．已知集合，．
(1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】(1)根据并集的定义求解；(2)根据集合间的包含关系即可求解.
【详解】（1）选择①，则，所以；
选择②，则，所以；
选择③，则，所以；
（2）由题或，因为，所以，
（i）若即，则满足题意；
（ii）若即，
由得或，解得或，
综上实数的取值范围为或.
14．已知.
（1）求证：；
（2）若，求证：和中至少有一个大于.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）用分析法，最后得到，即得证；
（2）用反证法，假设，，推出矛盾，即得证
【详解】证明：（1）要证，
只需证，
只需证，
只需证，即证，这显然成立，
所以成立.
（2）假设，，
因为，所以，，
所以，，
两式相加，得，与矛盾.
所以和中至少有一个大于.
15．设关于的一元二次方程有两个实根．
(1)若，求的值；
(2)求证：且．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)根据韦达定理求解即可；(2)利用方程的根与函数的零点之间的关系求解.
【详解】（1）根据韦达定理可得，
又因为，所以，
消去得解得.经检验满足
（2）依题意解得，
所以函数的对称轴为，
又因为，
所以函数的图象与轴的两个交点都在点的左侧，
即且，得证.