2022届上海市浦东复旦附中分校高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2022届上海市浦东复旦附中分校高三上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．已知集合，集合，则________.

【答案】

【分析】进行并集的运算即可．

【详解】∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，

∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．

故答案为：{x|x≤1或x＞2}．

【点睛】本题考查了描述法的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．向量在向量方向上的投影数量为_______．

【答案】3

【详解】试题分析：由数量积的定义，所以

【解析】向量的数量积．

3．过点，倾斜角为的直线的点方向式方程为__________．

【答案】

【分析】由倾斜角得直线的斜率，进而得直线的一个方向向量，即可写出直线的点方向式方程.

【详解】若倾斜角为，则直线的斜率，

则直线的一个方向向量为，又直线过点，

故直线的点方向式方程为.

故答案为：.

4．已知点在幂函数的图像上，则的反函数为__．

【答案】

【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解．

【详解】解：设，

因为点在幂函数的图像上，

所以，将点代入得，解得，

所以，，

所以，

又，故.

故答案为：

5．已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．

【答案】8

【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可.

【详解】解：因为且，

所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，

所以，表示圆上的点和点的距离，

因为圆心到点的距离为，

，

故答案为：

6．若，则的值为__．

【答案】

【分析】根据题意，令，求解即可.

【详解】解：因为，

所以，令，得，

令，得，

所以.

故答案为：

7．设数列是公比为的等比数列，前项和为，若，则此数列的首项的取值范围是__．

【答案】

【分析】首先根据等比数列前n项和有极限，结合题中条件，得到，求得，得到，进而求得结果.

【详解】根据该等比数列的前n项和有极限，

所以，

因为， ，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以，

故答案为：.

8．已知是球的一条直径，点是上一点，若平面过点且垂直截得当圆的面积为时，则球的表面积是____________.

【答案】

【分析】利用圆的面积为,可得圆的半径为3,根据,平面过点且垂直,截得圆,可得球的半径为,即可求出球的表面积.

【详解】 圆的面积为

圆的半径为，

，又平面过点且垂直,截得圆

球的半径为

根据球的表面积计算公式:

球的表面积是

故答案为:.

【点睛】本题考查了球的表面积公式,掌握球的表面积公式和根据题中条件求出球的半径是解得关键.

9．某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考得70分，考得67分，考得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为________

【答案】

【分析】先求出基本事件总数，其总分至少为207分包含的基本事件个数，由此能求出其总分至少为207分的概率．

【详解】某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考，

每门学科考得70分，考得67分，考得64分，该生每门学科均不低于64分，

基本事件总数，

其总分至少为207分包含的基本事件个数：

，

则其总分至少为207分的概率．

故答案为．

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10．如图：在中，若，，，则__________．

【答案】

【分析】用基底、表示向量和，然后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.

【详解】，，.

，即，，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查三角形中数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示问题所涉及的向量，考查计算能力，属于中等题.

11．已知，且，则的取值范围是____________.

【答案】

【分析】由题意可令，，代入，结合三角函数的性质可求．

【详解】，

令，，

则

，

，

，

故答案为，．

【点睛】本题以不等式为载体，主要考查了不等式的性质及三角函数性质的简单应用,属于难题．

12．定义在上的函数满足:①当时，；②对任意都有.设关于的函数的零点从小到大依次为若，则____________.

【答案】

【分析】①当，时，；②对任意，都有．，时，，．可得，，画出图象，设关于的函数的零点从小到大依次为，，，，，同理，则，在区间和上各有1个零点，分别为，，且满足，依此类推：，，．再利用等比数列的求和公式即可得出．

【详解】①当，时，；

②对任意，都有．，时，，．

，

，

画出图象，

设关于的函数的零点从小到大依次为，，，，，

同理，则，在区间和上各有1个零点，

分别为，，且满足，

依此类推：，，．

当，时，

，

故答案为．

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、等比数列的通项公式与求和公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．

二、单选题

13．将函数y＝sin（4x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（    ）

A．x B．x C．x D．x

【答案】A

【解析】先求出变换后的解析式，再根据解析式求解函数的对称轴.

【详解】将函数y＝sin（4x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数为，

令，，解得，

由可得.

故选：A.

【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及性质，注意的系数对结果的影响，侧重考查数学运算的核心素养.

14．若等比数列的公比为q，则关于的二元一次方程组的解的情况下列说法正确的是（    ）

A．对任意，方程组都有唯一解 B．对任意，方程组都无解

C．当且仅当时，方程组有无穷多解 D．当且仅当时，方程组无解

【答案】C

【分析】化简得到，讨论和得到答案.

【详解】

故当时，方程组有无穷多解；当时，方程组无解

故选：

【点睛】本题考查了方程组解的问题，包含等比数列公式知识，意在考查学生的综合应用能力.

15．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，，下列判断错误的是（    ）

A．当，时，辅助角

B．当，时，辅助角

C．当，时，辅助角

D．当，时，辅助角

【答案】B

【解析】分别判断出，的值，对辅助角的影响．

①，，则辅助角在第一象限；

②，，则辅助角在第四象限；

③，，则辅助角在第三象限；

④，，则辅助角在第二象限．

【详解】解：因为，，，

对于，因为，，则辅助角在第一象限，

，，故选项正确；

对于，因为，，则辅助角在第四象限；

， ，故选项错误；

对于，因为，，则辅助角在第二象限；

， ，故选项正确；

对于，因为，，则辅助角在第三象限，

， ，故选项正确；

故选：．

【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．

16．设是的垂心，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得，，由向量的夹角公式即可求解．

【详解】由三角形垂心性质可得，，不妨设x，

∵345，

∴，

∴，同理可求得，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题．

三、解答题

17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径，母线.

(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；

(2)过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用圆锥的体积公式和侧面积的公式求解即可.

（2）首先作出异面直线所成的角，进一步利用余弦定理求解即可.

【详解】（1）圆锥SO的底面圆半径，母线，所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积

圆锥的侧面展开图扇形的面积

（2）在圆锥中，作，交于，则异面直线AM与PS所成角为，

，，，

所以，

所以异面直线AM与PS所成角的大小为.

18．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、，景区管委会又开发了风景优美的景点，经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上，已知.

（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到）

（2）求景点与景点之间的距离.（结果精确到）

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．

（2）Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．

【详解】（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F

在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AFAD8＝4，∴DF；

在Rt△ABF中，BF3，∴BD＝DF﹣BF＝43

sin∠ABF，在Rt△DBE中，sin∠DBE，

∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE，

∴DE＝BD•sin∠DBE（43）3.1（km）

∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；

（2）由题意可知∠CDB＝75°，由（1）可知sin∠DBE0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°

在Rt△DCE中，sin∠DCE，∴DC4.0（km）

∴景点C与景点D之间的距离约为4.0km．

【点睛】本题主要考查解直角三角形的条件，已知直角三角形的一个锐角和一边长，或已知两边长就可以求出另外的边和角．

19．新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.

（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；

（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；

（2）根据（1）的结果，由题意，只需在上恒成立，即在上恒成立，根据函数单调性，求出的最大值，即可得出结果.

【详解】（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，

所以，公司生产防护服的利润

；

（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；即在上恒成立；

因为，

令，因为，所以，

记，

任取，

则

因为，，所以，即，

所以，即，

所以函数在上单调递增；

因此，即的最大值为；

所以只需，即.

【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.

20．已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，椭圆C上一点A（2，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B是椭圆C的上顶点，点P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若BP⊥BQ，且满足32的点D在y轴上，求直线BP的方程；

（3）若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

【答案】（1）（2）y＝±x+2（3）经过定点；定点（0，）

【解析】（1）利用椭圆的定义和待定系数法可求椭圆的方程；

（2）利用BP⊥BQ， 32可得直线的斜率，从而可求直线BP的方程；

（3）先表示直线PQ的方程，结合直线BP与BQ的斜率乘积为常数，建立等量关系进行判定.

【详解】（1）由题意设椭圆的方程为：1

由题意知：2a＝8，1，解得：a2＝16，b2＝4，

所以椭圆的方程为：.

（2）由（1）得B（0，2）显然直线BP的斜率存在且不为零，

设直线BP为：y＝kx+2，与椭圆联立整理得：（1+4k2）x2+16kx＝0，x，所以P（，）；

直线BQ：yx+2，代入椭圆中：（4+k2）x2﹣16kx＝0，

同理可得Q（，），由32得，

∴3（xD﹣xP）＝2（xQ﹣xD），∴5xD＝2xQ+3xP，

由于D在y轴上，所以xD＝0，∴，解得：k2＝2，所以k，

所以直线BP的方程为：y＝±x+2.

（3）当直线PQ的斜率不存在时，

设直线PQ的方程：x＝t，P（x，y），Q（x'，y'），

与椭圆联立得：4y2＝16﹣t2，yy'，xx'＝t2，kBP•kBQ•，

要使是一个常数λ，λ＜0，所以不成立.

当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y＝kx+t，设P（x，y），Q（x'，y'），

与椭圆联立整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣16＝0，x+x'，xx'，

∴y+y'＝k（x+x'）+2t，，

∴kBP•kBQ，

所以由题意得：λ，解得：t，所以不论k为何值，x＝0时，y，

综上可知直线恒过定点（0，）.

【点睛】本题主要考查椭圆的方程及性质，直线过定点问题，椭圆方程的求解一般是利用待定系数法；直线过定点问题一般是根据直线方程的特点来求解.

21．有限个元素组成的集合为，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当，称集合具有性质.

（1）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；

（2） 设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：组成的集合记作，将集合中的所有元素从小到大排序，即满足，求；

（3） 已知集合，其中数列是等比数列，，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由.

【答案】（1）否，见解析；（2）；（3）具有性质，理由见解析

【解析】（1）根据集合具有性质，可以得到、以及的元素性质，运用反证法可以判断出集合中的三个元素不能组成等差数列；

（2）根据递推公式求出数列的通项公式，根据题意写出集合，根据题目中所给的定义，结合等比数列的性质求出；

（3）只要能够证明当时,不成立，运用反证法结合整除的知识，就可以判断出集合具有性质.

【详解】（1）集合中的三个元素不能组成等差数列，理由如下：

因为集合具有性质，所以，由题中所给的定义可知：中的元素应是：这6个元素应该互不相等，假设中的三个元素能构成等差数列，不妨设成等差数列，这时有

这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故中的三个元素不能能构成等差数列；

（2），得：

，说明数列从第二项起，数列是等差数列，

因为，，所以有，所以，显然也成立，因此.

所以

，显然

根据定义在之间增加的元素个数为：，这样包括在内前面一共有个元素.

当时，包括在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当时，能找到

因此；

（3）集合具有性质，理由如下：设等比数列的公比为，所以通项公式为：，为有理数.

设假设当时,成立，则有

，

因为为有理数，所以设且互质，因此有

，

式子的左边是的倍数，右边是的倍数，而互质，显然不成立，因此集合中的元素个数为：，因此它符合已知所下的定义，因此集合是否具有性质.

【点睛】本题考查了集合新定义问题，考查了等比数列的应用，考查了数学阅读能力，属于难题.