2022-2023学年上海师范大学附属中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海师范大学附属中学高一上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．函数的定义域是__________.

【答案】

【分析】根据定义域求法解决即可.

【详解】由题知，，解得，

所以函数的定义域是，

故答案为：

2．已知函数，则__________.

【答案】16

【分析】根据题中所给的函数解析式 将自变量代入， 从内到外求函数值即可.

【详解】根据题意，函数，则，

则，

故答案为：16.

3．函数的值域为______．

【答案】

【分析】先求得的取值范围，再利用指数函数的性质即得.

【详解】由于，在上单调递减，

所以，

所以函数的值域为.

故答案为：.

4．已知函数，则它的反函数是__________.

【答案】

【分析】将函数写成用y表示x的形式，再讲x换成y，y换成x，再写出定义域即可得结果.

【详解】∵，

∴，

∴反函数为，.

即：，.

故答案为：，.

5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，为常数），则=_________.

【答案】

【分析】先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.

【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，

则，解得，则，

所以，因此.

故答案为：.

6．若函数的定义域、值域为，则实数______．

【答案】3

【分析】根据二次函数的解析式确定其在上单调递增,从而有时,,据此列式求解即可.

【详解】由题可知,

故函数在上单调递增,

又函数的定义域､值域均为,

则时,;时,;

故,即,

解得(舍)或,

故答案为:3.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用,属于简单题.

7．若，且，则__________.

【答案】

【分析】代入即可根据幂指数的性质求解.

【详解】由于，

所以，

故答案为：

8．函数在上是严格减函数，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由于函数在上是严格减函数，所以，且，由此可求得的取值范围.

【详解】根据对数函数定义可知且，

令，所以在上是减函数，

根据复合函数单调性可知，在上是增函数，即，

且满足真数恒大于零，即只需即可，

所以，.

故答案为：

9．已知定义域为的奇函数，又是减函数，且，则的取值范围___________.

【答案】

【分析】首先根据奇函数将原不等式变形为，再利用定义域和单调性列不等式组即可求解.

【详解】因为是奇函数，

所以原不等式可化为，

因为定义域为且是减函数，

所以，

由解得：，

由可得，解得：或，

由可得，解得：，

所以，

所以的取值范围是：，

故答案为：

【点睛】思路点睛：本题是利用函数的单调性解不等式，首先将比等式转化为比较两个的大小，利用单调性脱掉，注意函数的定义域.

10．设常数，函数，若函数在时有零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由函数在时有零点，则，根据指数函数的性质结合二次函数的性质求出即可得解.

【详解】解：令，

则，

因为，所以，则，

所以，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

11．已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【分析】求出函数的解析式，分别画出函数与的图象，将函数有三个零点转化为函数与的图象的交点有三个求解即可

【详解】与相切时 （正舍），与相切时 ， 与不相切.由图可知实数的取值范围为 .

故答案为.

【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

12．记号表示中取较小的数，如，已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数t的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据题意求出解析式，然后画出的图象，再由对任意，都有，可得将的图象向右平移2个单位后，图象在的非下方，结合图象得，从而可求得结果.

【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，

所以，

当时，由，得，

所以，

因为是定义域为R的奇函数，

所以当时，，

当时，由，得，

当时，由，得，

所以的图象如下图，

因为对任意，都有，

所以将的图象向右平移2个单位后，图象在的非下方，

所以且，解得，且，即实数t的取值范围是，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查分段函数，考查不等式恒成立问题，解题的关键是根据题意求出函数析式，画出图象，结合函数图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.

二、单选题

13．函数中，有（    ）

A．在上严格增

B．在上严格减

C．在上严格增

D．在上严格减

【答案】D

【分析】函数是由函数向左平移得到的，函数为单调递减函数，单调减区间只要将原来的单调减区间向左平移一个单位即可

【详解】函数的图象向左平移1个单位可得函数的图象，

因为函数在和上严格减，

则函数在和上严格减，

而在不具备单调性．

故选：D．

14．的图象经过点，又其反函数图象经过点，则的表达式为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由反函数的性质可得出点在函数的图象上，然后将点和两点的坐标代入函数的解析式解出和的值，由此可得出函数的解析式.

【详解】由于函数的反函数图象过点，则点在函数的图象上，由题意可得，解得，因此，.

故选A.

【点睛】本题考查对数型函数解析式的求解，同时也考查了反函数性质的应用，解题的关键就是确定出函数图象上点的坐标，并利用方程思想求出函数解析式中的参数，考查运算求解能力，属于中等题.

15．若函数单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先，一次函数和都是递增函数，当时，一次函数取值要小于或等于指数式的值，再求交集即可实数a的取值范围.

【详解】当时，函数单调递增

所以，解得

当时，是单调递增函数，

所以，

当时，一次函数取值要小于或等于指数式的值，

所以，

解之得：，

综上所述：实数a的取值范围是

故选：B

【点睛】本题主要考查了分段函数为增函数，求参数的取值范围，着重考查了指数函数、一次函数的图象与性质等知识，属于中档题.

16．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于，求出实数的取值范围.

【详解】因为函数为“倍缩函数”，

且满足存在，使在上的值域是，

所以在上是增函数；

所以，即，

所以是方程的两个根，

设，则，

此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；

所以，解得：，

所以满足条件的取值范围是，

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据“倍缩函数”的定义得出在上的值域是，所以，因此，可得是方程的两个根，令，可得方程为有两个不等的正实根，所以即可求的取值范围.

三、解答题

17．设常数，函数.

(1)若函数是奇函数，求实数的值；

(2)当时，用定义证明在上是严格单调减函数.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据函数是奇函数，由求解；

（2）利用函数的单调性定义求解.

【详解】（1）解：由题意知：函数的定义域为，

是奇函数，，

即，

即，

整理可得：.

；

（2）任取，且，

则，

因为，所以，

所以，即，

所以在上是严格单调减函数.

18．函数的最小值为.

(1)求；

(2)若，求及此时的最大值.

【答案】(1)

(2)，此时的最大值为5

【分析】（1）对配方后，分，与三种情况，结合函数单调性，求出最小值，求出；

（2）在第一问的基础上，分三种情况进行求解，得到，并结合单调性求出函数的最大值..

【详解】（1），

，且，

若，即时，在上单调递减，在上单调递增，

故当时，取得最小值，

即；

若，即时，在上单调递减，

故当时，；

若，即时，在上单调递增，

故当时，.

综上所述，；

（2）显然当时，，舍去，

若，则有，得，与矛盾；

若，则有，

即，解得或（舍），

时，，即，

，，，

当时，取得最大值5.

19．函数，，记，且为偶函数.

(1)求常数的值；

(2)若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求出常数的值；

（2）将不等式恒成立，转化为恒成立，利用换元法和基本不等式求出的最大值，即可得实数的取值范围；

（3）将函数与的图象有且只有一个公共点，转化为仅有一解，设，依题意只有一个正实根，分类讨论a的不同情况，即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）由题意可知，，，

为偶函数，，

即，

，

，，

.

（2）由（1）得，

条件，即：，

，

设，

令，

当且仅当，即时等式成立，

，

即；

（3）依题意：，即仅有一解，

则

即，故

设，依题意只有一个正实根.

当时，，

（舍）

当时，方程有一正根，一负根，

由，得.

当时，方程有两个相等的正根.

由，得，

即，

其中，当时，符合题意；当时，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围是

【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.