2022-2023学年安徽师范大学附属中学高一上学期期中模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽师范大学附属中学高一上学期期中模拟数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出集合N的元素，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意得，

故，

故选：D

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出不等式的等价条件，再结合充分条件、必要条件的定义进行判定.

【详解】由，得，

则“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质分类讨论求解即可.

【详解】因为不等式的解集为R，

当时，，符合题意；

当时，，

综上：.

故选：B

4．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】参变分离可得在区间上有解，求出在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围．

【详解】解：因为关于的不等式在区间上有解，

所以在区间上有解，

设，，其中在区间上单调递减，

所以有最大值为，

所以实数的取值范围是．

故选：C．

5．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.

【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，

因为在上单调递增，所以在上单调递增，

故选：D.

6．已知，，，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为，，，

因为幂函数在R上单调递增，所以，

因为指数函数在R上单调递增，所以，

即b<a<c.

故选：A.

7．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过时，恒成立可得到在上递增，通过是偶函数可得到的图象关于直线对称，即可求出答案

【详解】解：∵当时，恒成立，

∴当时，，即，

∴函数在上为单调增函数，

∵函数是偶函数，即，

∴函数的图象关于直线对称，∴，

又函数在上为单调增函数，∴，

即，∴，

故选：B．

8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由解析式得到在上单调递增，由于，结合可得到在恒成立，即可得到答案

【详解】解：，

因为在上单调递增，在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为，且，

所以，所以，即在恒成立，

所以即，解得，

所以实数的取值范围是，

故选：B

二、多选题

9．若a，b，，则下列命题正确的是（    ）

A．若且，则 B．若，则

C．若且，则 D．

【答案】BCD

【分析】由不等式的性质逐一判断即可.

【详解】解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；

对于B，等价于，又，故成立，故B正确；

对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；

对于D，等价于，成立，故D正确.

故选：BCD.

10．已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（    ）

A．3与1 B．3与2 C．4与2 D．7与4

【答案】AC

【分析】令新函数，利用奇偶性的定义判断得函数为奇函数，设的最大值为，则最小值为，表示出和可得，判断得为偶数，即可得为偶数，综合选项即可得答案.

【详解】令，，

，为奇函数，设的最大值为，

则最小值为，∴，，可得，

，为偶数，即为偶数.

综合选项可知，和的值可能为3与1或4与2.

故选：AC

11．形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的选项为（       ）

A．

B．函数的图象关于直线对称

C．当时，

D．方程有四个不同的根

【答案】ACD

【分析】求得的值判断选项A；特例验证法排除选项B；求得当时的最大值判断选项C；利用两函数与的图象交点个数去判断方程的根个数，从而判断选项D.

【详解】对于A，，

，故A正确；

对于B，，，，

不关于直线对称，故B错误；

对于C，当时，，

此时，则，，则；

当时，，

此时，则，则；

综上所述：当时，，故C正确；

对于D，在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示，

由图象可知：与有四个不同交点，

方程有四个不同的根，故D正确.

故选：ACD

12．已知，，且，则下列正确的是（    ）

A．的最大值为5 B．的最大值为

C．的最小值为6 D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据选项中各式的特征，利用基本不等式，逐一求解即可.

【详解】对于A，∵，

∴，即，当且仅当即时，等号成立，

则，故A不正确；

对于B，∵，，，

∴由，可得，，

∴，当且仅当即时取等号，

∴的最大值为，故B正确；

对于C，∵，，∴，，又，

∴，

当且仅当，即时等号成立，故C正确；

对于D，，

当且仅当即时等号成立，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．命题“，”的否定是___________．

【答案】，

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可.

【详解】解：命题“，”为全称量词命题，

其否定为：，.

故答案为：，

14．已知，则的取值范围是_____．

【答案】

【解析】利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.

【详解】设，因此得：，，

，

因为，所以，因此，

所以.

故答案为：

15．已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．

【答案】

【分析】根据幂函数的性质求出的值，根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可.

【详解】幂函数在上是减函数，

，解得，

，或．

当时，为偶函数满足条件，

当时，为奇函数不满足条件，

则不等式等价为，即，

在R上为增函数，

，解得：.

故答案为：.

16．已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为________.

【答案】

【分析】利用换元法，令，进而得到，再通过的取值范围与对称轴之间的关系，结合该函数的单调性和最小值之间的关系，即可计算求出

【详解】令，则当时，，，对称轴为；当，即时，在上单调递增，，

解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，，解得：（舍）；综上所述：.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）计算：．

（2）计算：．

【答案】（1）11；（2）0.

【分析】（1）根据题意，结合指数幂的运算公式，即可化简求值；

（2）根据题意，结合对数的运算公式，即可化简求值.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．已知，，其中.

(1)当时，设不等式的解集为，不等式的解集为，求；

(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据分式不等式的解法求出集合A，结合并集、补集的定义和运算计算即可求解；

(2)由(1)可得集合A，分类讨论求出集合B，结合必要不充分条件的定义列出不等式组，解之即可.

【详解】（1）由，得，即，

即，解得或，

即或，所以，

当时，，所以；

（2）由（1）中结论可知，不等式的解集为或，

由，当时，解得；

当时，解得；

当时，不等式的解集为；

若是的必要不充分条件，

则或，解得或，

故实数的取值范围为.

19．请回答下列问题：

(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)、

(2)答案见解析

【分析】（1）由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；

（2）不等式为，即，讨论，，，，，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．

【详解】（1）解：因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得；

（2）解：不等式，即，即，

当时，原不等式解集为；

当时，方程的根为，，

①当时，，原不等式的解集为或；

②当时，，原不等式的解集为；

③当时，，原不等式的解集为；

④当时，，原不等式的解集为．

20．已知为定义在的奇函数，且当>0时，．

(1)求的解析式；

(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据奇函数的性质，可得答案；

（2）利用参变分离和分离常数，结合基本不等式，可得答案.

【详解】（1）令，则，即，

由函数为奇函数，则，即，

因为函数在上为奇函数，所以，

故.

（2）由，则不等式，

因为，当且仅当，即时，取等号，

所以，

即对恒成立，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，所求实数的取值范围为.

21．已知定义域为的函数．

(1)判断的奇偶性

(2)试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)奇函数

(2)减函数,证明见解析

(3)

【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论；

（2）在上为减函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤；

（3）由的奇偶性和单调性，可得，即恒成立，再由二次函数的最值求法，可得所求范围．

【详解】（1）函数的定义域为，

，

可得为奇函数；

（2）函数在上为减函数．

证明：设，，且，，

由，可得，所以，即，

所以在上为减函数；

（3）对于任意，不等式恒成立，

可得，

因为在上为减函数，可得，即恒成立，

由，

所以，即的取值范围是．