上海市上海师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份上海市上海师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022年上师大附中高一上期末一、填空题1. 已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________.【答案】##【解析】【分析】由扇形面积公式可直接求得结果.【详解】扇形面积.故答案为：.2. 已知集合，，则________________.（结果用区间表示）【答案】【解析】【分析】先求出集合A，B，再根据交集的定义即可求出.【详解】，，.故答案为：.3. 已知函数的两个零点分别为，则___________.【答案】【解析】【分析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；【详解】解：依题意令，即，所以方程有两个不相等实数根、，所以，，所以；故答案为：4. 函数的单调减区间是_________.【答案】##【解析】【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.【详解】令，根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.故答案为：.5. 已知，则满足条件的角的集合为_________.【答案】【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值与正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为，所以或，解得或，因为，所以或，即；故答案为：6. 设是第三象限的角，则的终边在第_________ 象限.【答案】二或四【解析】【分析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案.【详解】因为是第三象限角，所以，，所以，，当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角.故答案为：二或四.7. 已知，，试用a、b表示________.【答案】【解析】【分析】根据对数式指数式互化公式，结合对数换底公式、对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以，因此有：，故答案为：8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，为常数），则=_________.【答案】【解析】【分析】先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，则，解得，则，所以，因此.故答案为：.9. 已知函数，若函数图象恒在函数图象的下方，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】作出和时，两个函数图象，结合图象分析可得结果.【详解】当时，，，两个函数的图象如图：当时，，，两个函数的图象如图：要使函数的图象恒在函数图象的下方，由图可知，，故答案为：.10. 已知函数的图像恒过定点A，若点A在一次函数的图像上，其中，则的最小值是__________．【答案】8【解析】【分析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解.【详解】由可得当时，，故，点A在一次函数的图像上，，即，，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值是8.故答案为：8.【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点A，代入一次函数得出，利用“1”的妙用求解.11. 设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点，，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为_________.【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，求得点，坐标，得到，取的中点，连接，根据三角形为等边三角形，表示出点坐标，根据点在函数的图象上，得到关于的方程，求出，进而可得点的纵坐标.【详解】设直线的方程为，由，得，所以点，由，得，所以点，从而，如图，取的中点，连接，因为为等边三角形，则，所以，，则点，因为点在函数的图象上，则，解得，所以点的纵坐标为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于先由同一参数表示出点坐标，再代入求解；本题中，先设直线，分别求出，坐标，得到等边三角形的边长，由此用表示出点坐标，即可求解.12. 若函数（常数），对于任意两个不同的、，当、时，均有（为常数，）成立，如果满足条件的最小正整数为，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】分析可知对任意的、且恒成立，且对任意的、且有解，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.详解】，因为，由可得，由题意可得对任意的、且恒成立，且对任意的、且有解，即，即恒成立，或有解，因为、且，则，若恒成立，则，解得；若或有解，则或，解得或；因此，实数的取值范围是.故答案为：.二、选择题13. 若，则下列不等式成立的是(　　　　).A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴．故选B．14. 要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（    ）A. 证明所有实数的平方都不是正数B. 证明平方是正数的实数有无限多个C. 至少找到一个实数，其平方是正数D. 至少找到一个实数，其平方不是正数【答案】D【解析】【分析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.故选：D15. 函数的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．【详解】记，函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BC，又时，，排除D．故选：A．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.16. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．A. ①④ B. ①③④ C. ②③ D. ①③【答案】D【解析】【分析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误故选D【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.三、解答题17. 已知角是第三象限角，，求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）由同角三角函数基本关系与诱导公式化简后求解（2）化为齐次式后由同角三角函数基本关系化简求值【小问1详解】，而角是第三象限角，故，．则，．【小问2详解】，将代入，原式18. 已知函数为幂函数，且为奇函数.（1）求的值，并确定的解析式；（2）令，求在的值域.【答案】（1）,；    （2）.【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解；（2）由（1），得，利用换元法得到，，再根据二次函数的性质即可求解.【小问1详解】因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，函数是奇函数，符合题意，当时，函数是偶函数，不符合题意，综上所述，的值为，函数的解析式为.【小问2详解】由（1）知，，所以，令，则，，所以，，根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；所以，所以函数在的值域为.19. 年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，为年产量单位：万箱；已知通过市场分析，如若每万箱售价万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．利润销售收入总成本（1）求年利润与万元关于年产量万箱的函数关系式；（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．【答案】（1）    （2）万箱【解析】【分析】（1）分，两种情况，结合利润销售收入总成本公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分类讨论求得最大值后比较可得．【小问1详解】当时，，当时，，故关于的函数解析式为．小问2详解】当时，，故当时，取得最大值，当时，，当且仅当，即时，取得最大值，综上所述，当时，取得最大值，故年产量为万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．20 已知函数（常数）.（1）当时，用定义证明在区间上是严格增函数；（2）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）令，设在区间上的最小值为，求的表达式.【答案】（1）证明见解析    （2）当时，奇函数；当时，非奇非偶函数，理由见解析.    （3）【解析】【分析】（1）当时，得到函数，利用函数单调性的定义，即可作出证明；（2）分和两种情况，结合函数的奇偶性的定义，即可得出结论.（3）根据正负性,结合具体类型的函数的单调性,进行分类讨论可以求出的表达式；【小问1详解】当时，函数，设且，则，因为，可得又由，可得，所以所以，即，所以函数是上是严格增函数.【小问2详解】由函数的定义域为关于原点对称，当时，函数，可得，此时函数为奇函数；当时，，此时且，所以时，函数为非奇非偶函数.【小问3详解】，当时, ,函数在区间的最小值为；当时,函数的对称轴为：.若,在区间的最小值为；若,在区间的最小值为;若,在区间的最小值为；当时, ,在区间的最小值为.综上所述：；21. 设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有.（1）若，证明；（2）若，且，求实数a的取值范围；（3）若，，且､求函数的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用判断．（2），化简，通过判别式小于0，求出的范围即可．（3）由，推出，得到对任意都成立，然后分离变量，通过当时，当时，分别求解最小值即可．【详解】（1），． （2）由 ， 故；（3）由， 即 对任意都成立 当时，；      当时，；       当时，． 综上：【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，重点是理解新定义的意义，本题第三问的关键是代入定义后转化为不等式恒成立问题，利用参变分离后求的取值范围，再根据，根据函数的单调性，讨论的取值，求得的最小值.