2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．直线与直线所成夹角的余弦值等于______

【答案】

【分析】首先得到两直线的斜率，即可判断两直线的位置关系，设直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，依题意可得，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切代入计算可得.

【详解】解：直线，即，则斜率，

直线，即，则斜率，

所以两直线关于轴对称，设直线的倾斜角为，

则两直线的夹角为，

所以，则

.

故答案为：

2．已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.

【答案】

【分析】由两点求得得斜率与倾斜角的正切值相等可求得m.

【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率，

又由，，

则的斜率，

则有．

故答案为：.

3．两条直线和平行，则______

【答案】

【分析】依题意可得，解得，再代入检验即可.

【详解】解：因为直线和平行，

所以，解得或，

当时，，满足题意；

当时，，即，两直线重合，故舍去；

故答案为：

4．下列四个条件中，能确定一个平面的是______（填编号）

①空间任意三点；②空间两条平行直线；③一条直线和一个点；④两两相交且不共点的三条直线

【答案】②④

【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解．

【详解】解：对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错误．

对于②：根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故②正确；

对于③：如该点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故③错误．

对于④：两条相交直线唯一确定一个平面，设直线，，，

则直线、唯一确定平面，即，，又，，

所以，，又，，所以，

即两两相交且不共点的三条直线唯一确定一个平面，故④正确；

故答案为：②④．

5．已知双曲线的一条渐近线的方程为，且经过点，则双曲线标准方程为______.

【答案】

【分析】由题意，可设双曲线的方程为：，代入点，即得解

【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，

故可设双曲线的方程为：

代入点，可得：

故答案为：

6．二次函数的图像是顶点在原点，对称轴为y轴，且开口向上的抛物线，其准线方程为______

【答案】

【分析】根据抛物线的性质计算可得.

【详解】解：抛物线，即，所以抛物线的准线方程为.

故答案为：

7．有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，，，，则这块菜地的面积为___________.

【答案】

【分析】利用直观图中的信息，求出的长度，从而得到原平面图形中的长度，利用梯形的面积公式求解即可.

【详解】解：在直观图中，，，

故原平面图形的上底为 ，下底，高为

所以这块菜地的面积为

故答案为：

8．已知圆的极坐标方程为，则在平面直角坐标系中圆的参数方程可以是______

【答案】（为参数）

【分析】首先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出其参数方程即可.

【详解】解：因为圆的极坐标方程为，

所以，又，所以，即，

所以圆的参数方程可以为（为参数）.

故答案为：（为参数）

9．正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分

【答案】

【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分，得到答案.

【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分.

故答案为：

10．已知集合，，若集合中有2个元素，则实数b的取值范围是______

【答案】

【分析】首先分析集合、的元素特征，再数形结合求出参数的取值范围.

【详解】解：由，则，所以，

所以表示以为圆心，为半径的圆在轴及右侧部分的点集，

集合表示直线上的点集，

集合与集合都是点集，集合中有个元素，

由，解得，

由图可知，即.

故答案为：

11．已知实数x、y满足，则的取值范围是______

【答案】

【分析】讨论范围得到图像，根据图像考虑直线与椭圆相切和直线与渐近线重合两种情况，分别计算得到范围.

【详解】实数满足，

当时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分；

当时，方程为，图象为双曲线在第四象限的部分；

当时，方程为，图象为双曲线在第二象限的部分；

当时，方程为，图象不存在，

在同一坐标系中作出图象，如图所示：

根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是，

令，即直线与渐近线平行，

当最大时，为图中①的情况， 即直线与椭圆相切，联立方程组，

可得，

，解得，

又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，故，

当最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值，

此时，则，

综上所述：的取值范围为，所以 的取值范围为，

即的取值范围是.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出图像，根据图像解决最值问题是解题的关键.

12．在平面直角坐标系中，设是抛物线上过点的弦，的外接圆交抛物线于点（不同于点、、），若直线平分，则______

【答案】##

【分析】设，，，，，，直线的方程为，与抛物线方程联立得到①，设该圆的方程为，与联立得到四次方程，有，，，0这四个不同的实根，进而得到②，由角平分线定理可知，，结合①②，有，整理得到，分类讨论即可求得答案．

【详解】解：设，，，，，，

由条件知，，两两不等且非零，

设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，，

故①，注意到的外接圆过点，

可设该圆的方程为，与联立可得，，

该四次方程有，，，0这四个不同的实根，即上式等价于，

故项的系数为0可得，，

从而②，

因平方，由角平分线定理可知，，

结合①②，有

，

即，

故，

当时，即，故，此时与重合，与条件不符，

当时，注意到①，

有，

因，

故满足①以及的实数，存在，

对应可得满足条件的点，，此时，结合①②知

．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：这道题的关键是圆的方程与抛物线联立得到四次方程，结合有，，，0这四个不同的实根，可得到，然后再通过角平分线定理可知，，通过大量的计算可得到结果，考察学生的计算能力，分析能力

二、单选题

13．如图所示，用符号语言可表述为（　　）

A．，，

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】由题可知两平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，从而可得答案.

【详解】由题可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，

所以用符号语言可表示为，，，

故选：A.

14．若直线l的参数方程是，则的法向量可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接求出直线的普通方程，然后求出的法向量．

【详解】解：直线的参数方程是，

它的普通方程为：，

所以直线的法向量可以是．

故选：A．

15．在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】A

【分析】设出、、的坐标，利用已知条件，转化求解的轨迹方程，推出结果即可．

【详解】解：在平面内，，是两个定点，是动点，

不妨设，，设，

所以，

因为，

所以，即，

所以点的轨迹为圆．

故选：A．

16．在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论：

①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；

②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上.

则下列判断正确的是（    ）

A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立

【答案】B

【分析】对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑.

【详解】对于①，取直线,

则对于任意的，有，

故圆均在直线的下方，

而对任意的，有，

故圆均在直线的上方，

而当时，表示原点，它在直线的下方，

故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧.

所以①成立.

对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为

当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.

故选：B

三、解答题

17．已知直线：与直线：，.

(1)若，求m的值；

(2)若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程.

【答案】(1)或0；

(2)或.

【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值；

（2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解.

【详解】（1）由题意得：，解得：或0，

经检验，均满足要求，所以或0；

（2）将点代入中，，解得：，

因为直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，

当两截距均为0时，设直线l为，代入，可得，

此时直线l为；

当两截距不为0时，设直线l为，代入，可得，

故此时直线l为；

综上：直线l的方程为或.

18．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.

（1）求圆的方程；

（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）首先求出过点且与直线垂直的直线，则圆心必在此直线上；与联立可求得圆心坐标；再利用两点间距离公式可求得；根据圆心和半径可求得圆的方程；（2）根据直线被圆截得的弦长可求得圆心到直线的距离：，分别在斜率存在和不存在两种情况下求解直线方程，进而可得结果.

【详解】（1）由题意得，过点且与直线垂直的直线方程为：

由，解得：    圆心的坐标为

圆的半径：

圆的方程为：

（2）因为直线被圆截得的张长为

圆心到直线的距离：

若直线的斜率不存在，则为直线，此时圆心到的距离为，不符合题意；

若直线的斜率存在，设直线的方程为：，即

由，整理得：

解得：或

直线的方程为：或

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用问题，涉及到直线与圆相切、直线被圆截得的弦长问题.

19．已知抛物线的焦点F到准线的距离为.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设点E是抛物线C上任意一点，求线段EF中点D的轨迹方程；

(3)过点的直线与抛物线C交于、两个不同的点（均与点不重合），设直线、的斜率分别为、，求证：为定值.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）利用抛物线的定义求解，得到抛物线方程．

（2）利用代入法，即可求线段的中点的轨迹方程．

（3）设，，，，直线的方程为，代入抛物线方程得．利用韦达定理，结合斜率乘积，化简求解即可．

【详解】（1）解：由题意抛物线的焦点为，准线为，

又焦点到准线的距离为，

所以，即，所以抛物线方程为．

（2）解：由（1）知，设，，则，即，

而点在抛物线上，，

，即，此即所求点的轨迹方程．

（3）证明：设，，，，直线的方程为，

代入抛物线方程得．

所以，，．

所以

，

所以是定值．

20．设、分别为椭圆的左、右两个焦点，且椭圆C上的点到、两点的距离之和等于4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P是椭圆C上的任意一点，点，求P、Q两点间的最大距离；

(3)试确定实数的值，使得椭圆C上存在不同两点关于直线对称.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由椭圆的定义可得，再由在椭圆上，满足椭圆方程，解得，进而得到椭圆方程；

（2）设出的坐标，由两点的距离公式，结合配方和二次函数的最值求法，可得最大值；

（3）假设存在实数，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称．设，，，，的中点，，因为在此椭圆上存在不同两点关于直线对称，所以，再用点差法进行求解．

【详解】（1）解：由题意，椭圆的焦点在轴上，

由椭圆上的点到、两点的距离之和是4，得，即．

又点在椭圆上，所以，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）解：设，则，

即．

，

当时，．

（3）解：假设存在实数，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称．

设，，，，的中点，，

在此椭圆上存在不同两点关于直线对称，

，

，，

相减得，即，

，，，

而，在椭圆内部，则，即．

故存在实数，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称．

21．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．

(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；

(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率；

(3)设的斜率为，，求双曲线的方程．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由离心率公式和的关系，即可得到结果；

（2）求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率．

（3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的，两个条件，即可求得双曲线的方程．

【详解】（1）由题意得

解得

故双曲线的焦点坐标为．

（2）双曲线，可得

设，直线的斜率为：

设直线的方程为

联立直线与双曲线的方程，

消去得：

由直线与双曲线有两个交点，则且，即

可得，则

，

，可得：

将代入上式，可得

得，可得

解得，即的斜率为．

（3）右焦点为，设直线的方程为，

联立直线与双曲线的方程，

消去得：

则

由，得

整理得，则

即

则

整理得

因为的斜率，所以，整理得

则，，

所以，

由，得，即

又

则，解得

所以，经检验

所以双曲线的方程为．