北师大版八年级上册第五章 二元一次方程组5 应用二元一次方程组——里程碑上的数巩固练习

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】

专题5.5二元一次方程组的应用（3）里程碑上的数字

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•惠来县期末）某船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，则根据题意，可列方程组　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据：顺水航行速度船在静水中航行速度水流速度、逆水航行速度船在静水中航行速度水流速度及路程公式可得方程组．

【解析】设船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，

根据题意，可列方程组，

故选：．

2．（2021•许昌一模）一道来自课本的习题：

若设坡路长，平路长，根据题意可列方程组　　

A． B． 

C． D．

【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组．

【解析】设坡路长；平路长，

由题意得：．

故选：．

3．（2021春•海拉尔区期末）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走．下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．设从甲地到乙地的上坡路程长，平路路程长为，依题意列方程组正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组．

【解析】设从甲地到乙地上坡与平路分别为，，

由题意得：，

故选：．

4．（2021春•来凤县期末）甲乙两位初三学生练习1000跑步，如果乙先跑20米，则甲10秒钟可以追上乙，如果乙先跑2秒钟，则甲4秒钟可以追上乙，求甲、乙两人每秒钟各跑多少米．若设甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米，则所列方程组应该是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据题意，由如果乙先跑20米，甲10秒可以追上乙，可根据两人行驶时间相同得出等式，根据如果乙先跑2秒，则甲4秒可以追上乙，根据行驶时间差为2由路程得出等式，进而得出答案．

【解析】设甲每秒跑米，乙每秒跑米，根据题意得出：

．

故选：．

5．（2021春•东莞市期末）一条船顺水行驶，每小时行驶22千米；逆流航行，每小时行驶18千米，设船在静水中速度为千米时，水流速度为千米小时，下列方程组符合题意的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】设船在静水中速度为千米时，水流速度为千米时，则船顺流的速度为千米时，逆流的速度为千米时，根据“顺水行驶，每小时行驶22千米；逆流航行，每小时行驶18千米”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．

【解析】设船在静水中速度为千米时，水流速度为千米时，则船顺流的速度为千米时，逆流的速度为千米时．

一条船顺水行驶，每小时行驶22千米，

；

逆流航行，每小时行驶18千米，

．

联立两方程组成方程组．

故选：．

6．（2021春•五常市期末），两地相距100海里，某船从地顺流到地需，从地逆流到地需，设船在静水中的速度为每小时海里，水流的速度为每小时海里，根据题意，列方程组正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】设船在静水中的速度为每小时海里，水流的速度为每小时海里，根据“，两地相距100海里，某船从地顺流到地需，从地逆流到地需”和船在水中的速度水速船在静水中的速度列出方程组．

【解析】设船在静水中的速度为每小时海里，水流的速度为每小时海里，

根据题意知：．

故选：．

7．（2020春•桃江县期末）甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程为　　

A． B． 

C． D．

【分析】题中有两个等量关系：①相向而行时，甲路程乙路程；②同向而行时，甲路程乙路程，据此列出方程组即可．

【解析】设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方组为：

．

故选：．

8．（2020春•海安市期末）小方、小程两人相距，两人同时出发相向而行，相遇；同时出发同向而行，小方可追上小程．两人的平均速度各是多少？若设小方的平均速度是，小程的平均速度是，则下列方程组不正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据“小方、小程两人相距，两人同时出发相向而行，相遇；同时出发同向而行，小方可追上小程”，即可得出关于，的二元一次方程组，对比四个选项后即可得出结论．

【解析】依题意，得：，

即或．

故选：．

9．（2020春•常德期末）常德市出租车的收费规定如下：出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．甲乘坐这种出租车走了8千米，付了12元；乙乘坐这种出租车走了13千米，付了17元．设该出租车的起步价为元，超过后，每千米的车费是元，根据题意，所列方程组正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据“甲乘坐这种出租车走了8千米，付了12元；乙乘坐这种出租车走了13千米，付了17元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．

【解析】依题意，得：，

即．

故选：．

10．（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶，它们各自单独行驶并返回的最远距离是．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回地，而乙车继续行驶，到地后再行驶返回地．则地最远可距离地　　

A． B． C． D．

【分析】设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，根据题意得关于和的二元一次方程组，求解即可．

【解析】设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，如图：

设，，根据题意得：

，

解得：．

乙在地时加注行驶的燃料，则的最大长度是．

或者：设即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足以下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从回到．从到，甲、乙两车都行驶了，即乙车行驶，也即甲车注入燃料量可行驶，注入后甲车剩余油量可行驶（刚好返回地），所以对于甲车，，所以．从乙车角度，从出发是满燃料，所以为：．

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021春•雨花区期中）一条船顺流航行，每小时行，逆流航行，每小时行，则船在静水的速度　18　．

【分析】设船在静水的速度为，水流的速度为，根据“一条船顺流航行，每小时行，逆流航行，每小时行”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解析】设船在静水的速度为，水流的速度为，

依题意，得：，

解得：．

故答案为：18．

12．（2021春•大冶市期末）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需要，则甲地到乙地的全程是　2.7　．

【分析】设甲地到乙地的上坡路长，平路长，根据“从甲地到乙地需，从乙地到甲地需要”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可求出结论．

【解析】设甲地到乙地的上坡路长，平路长，

依题意，得：，

解得：．

．

故答案为：2.7．

13．（2020春•广饶县期末）某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是　　．

【分析】设甲的速度为，乙的速度为，根据“某体育场的环形跑道长，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解析】设甲的速度为，乙的速度为，

依题意，得：，

解得：．

故答案为：．

14．（2020春•岳麓区校级月考）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，甲地到乙地全程是　　

【分析】设从甲地到乙地坡路长，平路长，根据“从甲地到乙地需，从乙地到甲地需”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可求出结论．

【解析】设从甲地到乙地坡路长，平路长，

依题意，得：，

解得：，

．

故答案为：．

15．（2019秋•新密市期末）学完“里程碑上的数”之后有这样一个问题：“小明家离学校1000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米分，下坡的平均速度为80米分，小明上坡和下坡各用了多长时间？”小亮同学设出未知数，后列出了方程组，小颖也设出未知数后却列了和小亮不同的方程组：，则横线上应填的方程是　（或　．（写一个即可）

【分析】直接利用，得出，所代表的意义，进而得出另一个等式．

【解析】根据题意得出，分别表示上坡距离和下坡距离，

由题意可得：

横线上应填的方程是：（或．

故答案为：（或．

16．（2020春•淇县期中）甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走千米，千米，则可列出方程组　　．

【分析】根据题目中的关键句子：“若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇”找到两个等量关系后列出方程组即可．

【解析】设甲、乙两人每小时分别走千米、千米，

根据题意得：，

故答案为：．

17．（2021•海淀区校级模拟）某段高速公路全长250千米，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔28千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口　38或178　千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．

【分析】设第个标志牌和第个摄像头离入口的距离相同，根据标志牌和摄像头离入口的距离相同，即可得出关于，的二元一次方程，解之可得出，结合，均为正整数，可得出为自然数），再将其代入中，即可求出结论．

【解析】设第个标志牌和第个摄像头离入口的距离相同，

依题意得：，

．

又，均为正整数，

为自然数），

．

当时，；

当时，．

故答案为：38或178．

18．（2020春•梁平区期末）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下：

则看到的两位数是　15　．

【分析】设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为6可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数除以1.5列出第二个方程，解方程组即可．

【解析】设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为；

则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：；

则时看到的数为，13时时行驶的里程数为：；

由题意列方程组得：

，

解得：，

所以时看到的两位数是15．

故答案是：15．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020春•青龙县期末）为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到完全出隧道共用时24秒，整列火车完全在隧道内的时间为14秒，整列火车长300米．请你根据小明和小亮获得的数据，求出隧道的长度和火车过隧道的速度．

【分析】设火车的车身长为米，速度是，根据行程问题的数量关系路程速度时间建立方程组求出其解即可．

【解析】设隧道的长度为米，火车过隧道的速度为米秒，

根据题意，得．

解得：．

答：隧道长1140米，火车过隧道的速度为60米秒．

20．（2018秋•朝阳区期末）列方程解应用题

改革开放40年来我国铁路发生了巨大的变化，现在的铁路运营里程比1978年铁路运营里程多了75000公里，其中高铁更是迅猛发展，其运营里程约占现在铁路运营里程的，只差600公里就达到了1978年铁路运营里程的一半，问1978年铁路运营里程是多少公里．

【分析】设1978年铁路运营里程是公里，现在铁路运营里程是公里，根据“现在的铁路运营里程比1978年铁路运营里程多了75000公里，现在铁路运营里程的只差600公里就达到了1978年铁路运营里程的一半”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解析】设1978年铁路运营里程是公里，现在铁路运营里程是公里，

根据题意得：，

解得：．

答：1978年铁路运营里程是52000公里．

21．（2020•岳麓区校级模拟）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，已知汽车在平路上行驶的平均速度为，在上坡路上行驶的平均速度为．汽车从学校到自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了．

（1）求汽车在平路和上坡路上各行驶多少时间？

（2）第二天原路返回，发现回程比去时用时少了，问汽车在下坡路上的行驶的平均速度是多少？

【分析】（1）设汽车在平路行驶了，在上坡路行驶了，根据“汽车从学校到自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了，且平路长度为上坡路的2倍”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）利用速度路程时间，即可求出结论．

【解析】（1）设汽车在平路行驶了，在上坡路行驶了，

依题意，得：，

解得：．

答：汽车在平路行驶了，在上坡路行驶了．

（2）．

答：汽车在下坡路上的行驶的平均速度是．

22．（2020春•盐都区期末）甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回，汽车在返回后半个小时追上了拖拉机．

（1）在这个问题中，1小时20分　　小时；

（2）相向而行时，汽车行驶　　小时的路程拖拉机行驶　　小时的路程千米；同向而行时，汽车行驶　　小时的路程拖拉机行驶　　小时的路程；

（3）全程汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

【分析】（1）由1小时分钟可得出1小时20分小时；

（2）分析全程中两个路程相等的量，即可得出结论；

（3）设汽车的速度为千米小时，拖拉机的速度为千米小时，由路程速度时间，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再利用路程速度时间可分别求出汽车、拖拉机全程行驶的路程．

【解析】（1）1小时20分小时．

故答案为：．

（2）相向而行时，汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程千米；同向而行时，汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程．

故答案为：；；；．

（3）设汽车的速度为千米小时，拖拉机的速度为千米小时，

依题意，得：，

解得：．

全程汽车行驶的路程为（千米）；

全程拖拉机行驶的路程为（千米）．

答：汽车全程行驶了165千米，拖拉机全程行驶了85千米．

23．（2020•平阳县一模）如表是小丽在某路口统计20分钟各种车辆通过情况的记录表，其中空格处的字迹已模糊．

（1）根据表格信息，在表格中填写第一时段电瓶车和货车的数量．

（2）在第二时段内，电瓶车和公交车的车辆数之和恰好是第二时段车流总量的一半，且两个时段的电瓶车总数为170辆．

①求，的值．

②因为第二时段内车流总量较多，造成了交通拥堵现象，据估计，该时段内，每增加1辆公交车，可减少8辆小轿车和5辆电瓶年，若要使得第二时段和第一时段的车流总量最接近，则应增加几辆公交车？

【分析】（1）根据表格信息列代数式即可；

（2）①根据题意列方程组即可得到结论；

②设应增加辆公交车，根据题意列方程即可得到结论．

【解析】（1）根据表格信息得，第一时段电瓶车和货车的数量分别为：辆，辆；

故答案为：，；

（2）①根据题意得，，

解得：；

②设应增加辆公交车，

根据题意得，，

解得：，

答：要使得第二时段和第一时段的车流总量最接近，则应增加6辆公交车．

24．（2019秋•成华区期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表：

小明与小亮各自乘坐滴滴快车，到同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里．设小明乘车时间为分钟，小亮乘车时间为分钟．

（1）则小明乘车费为　　元（用含的代数式表示），小亮乘车费为　　元（用含的代数式表示）；

（2）若小明比小亮少支付3元钱，问小明与小亮的乘车时间哪个多？多几分钟？

（3）在（2）的条件下，已知乘车时间较少的人先到达约见地点等候，等候时间是他自己乘车时间的一半，且比另一人乘车时间的少2分钟，问他俩谁先出发？先出发多少分钟？

【分析】（1）根据收费标准列出代数式即可．

（2）根据小明比小亮少支付3元钱，构建方程求解即可．

（3）由（2）可知：小亮乘车时间为分钟，小明乘车时间为分钟．根据时间关系构建方程求解即可．

【解析】（1）小明乘车费为元（用含的代数式表示），小亮乘车费为元．

故答案为，．

（2）由题意：，

，

小明比小亮的乘车时间多，多9分钟．

（3）由（2）可知：小亮乘车时间为分钟，小明乘车时间为分钟．

由题意：，

解得．

小明的乘车时间为（分钟），

小亮等候的时间为（分钟），

小明比小亮先出发，先出发的时间（分钟），

答：明比小亮先出发，先出发6分钟．