专题7.9 《平行线的证明》全章复习与巩固（学案讲义）

专题7.9 《平行线的证明》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1．   了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；

2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；

3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、定义、命题及证明

1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.
特别说明：

（1）命题一般由条件和结论组成.
（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（3）公认的真命题叫做公理.

(4) 经过证明的真命题称为定理.

3.证明: 除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推理的过程叫做证明.
特别说明：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．

要点二、平行线的判定与性质

1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行．

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

要点三、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

                推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

                      （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

特别说明：

（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.

（2）推论可以当做定理使用.

【典型例题】

类型一、定义、命题及证明

1. 当n为正整数时，的值一定是质数吗？

【答案】不一定

【分析】寻找一个正整数n，代入代数式求解出结果，使得这个结果不是质数即可．

解：不一定．

∵当时，，是一个合数，

∴n为正整数时，的值不一定是质数．

【点拨】本题意在让学生继续体会：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，明白为什么需要证明．

举一反三：

【变式】下列命题的条件是什么？结论是什么?

（1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；

（2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；

（3）直角三角形的两锐角互余；

（4）两直线平行，同位角相等．

【答案】（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等；结论：这两个三角形全等；（2）条件：一个三角形中有两个角相等；结论：这个三角形是等腰三角形；（3）条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两锐角互余；（4）条件：两直线平行；结论：这两条直线被同一条直线截出的两个同位角相等．

【分析】

（1）根据命题的定义（一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题）即可得；

（2）根据命题的定义即可得；

（3）根据命题的定义即可得；

（4）根据命题的定义即可得．

解：（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等；结论：这两个三角形全等；

（2）条件：一个三角形中有两个角相等；结论：这个三角形是等腰三角形；

（3）条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两锐角互余；

（4）条件：两直线平行；结论：这两条直线被同一条直线截出的两个同位角相等．

【点拨】本题考查了命题，熟记命题的定义是解题关键．

2.用反证法证明：

两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．

求证：l1　　l2

证明：假设l1　　l2，即l1与l2交与相交于一点P．

则∠1+∠2+∠P　　180°　　

所以∠1+∠2　　180°，这与　　矛盾，故　　不成立．

所以　　．

【答案】 ；不平行； ；三角形内角和定理； ；∠1+∠2=180°；假设；结论成立，l1∥l2．

【分析】先假设l1不平行l2，根据三角形的内角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，从而得到∠1+∠2＜180°，与已知矛盾，即可求证．

已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．

求证：

证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．

则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），

所以∠1+∠2＜180°，

这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．

所以结论成立，l1∥l2．

【点拨】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法证明的基本过程，解题的关键是找到与已知相矛盾的条件．

【变式】设a，b，c是不全相等的任意实数，若．求证：x，y，z至少有一个大于零．

【分析】假设x，y，z都小于零，列出算式，根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性判断即可．

【详解】

解：假设x，y，z都小于零，

则，

∴，

∴，

这与偶次方的非负性相矛盾，

∴假设不成立，

∴x，y，z至少有一个大于零．

【点拨】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

类型二、平行线的性质与判定

3. 如图，已知∠1+∠AFE=180°，∠A=∠2，求证：∠A=∠C+∠AFC

证明：∵ ∠1+∠AFE=180°

∴ CD∥EF（               ，            ）

∵∠A=∠2  ∴（             ）

（                 ，              ）

∴ AB∥CD∥EF（              ，            ）

∴ ∠A=             ，∠C=          ，

（                  ，             ）

∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，∴              =           ．

【答案】同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC ．

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得 CD∥EF，根据∠A=∠2利用同位角相等，两直线平行，AB∥CD，根据平行同一直线的两条直线平行可得AB∥CD∥EF根据平行线的性质可得∠A=∠AFE  ，∠C=∠EFC，根据角的和可得 ∠AFE =∠EFC+∠AFC 即可．

证明：∵ ∠1+∠AFE=180°

∴ CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），

∵∠A=∠2 ，

∴（ AB∥CD   ） （同位角相等，两直线平行），

∴ AB∥CD∥EF（两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行）

∴ ∠A=  ∠AFE  ，∠C=  ∠EFC，（两直线平行，内错角相等）

∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，

∴   ∠A   =   ∠C+∠AFC ．

故答案为同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC ．

【点拨】本题考查平行线的性质与判定，角的和差，掌握平行线的性质与判定是解题关键．

4. 如图，已知：点A、B、C在一条直线上．

（1）请从三个论断：①AD∥BE；  ②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：

条件：                  

结论：                     

（2）证明你所构建的命题是真命题．

【答案】（1）AD∥BE，；；（2）见解析

【分析】

（1）根据命题的概念，写出条件、结论；
（2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明．

解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1＝∠2；
结论：③∠A＝∠E，
故答案为：①AD∥BE，②∠1＝∠2；③∠A＝∠E；
（2）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠A＝∠E．

【点拨】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，求证：∠ACB＝∠DEB．

【分析】利用邻补角定义得到∠2与∠BDC互补，再由∠1与∠2互补，利用同角的补角相等得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到EF与AB平行，利用两直线平行内错角相等得到∠DEF＝∠A，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到DE与AC平行，利用两直线平行同位角相等即可得证．

证明：∵∠2＋∠BDC＝180°，∠1＋∠2＝180°，

∴∠1＝∠BDC，

∴EF∥AB，

∴∠DEF＝∠BDE，

∵∠DEF＝∠A，

∴∠BDE＝∠A，

∴DE∥AC，

∴∠ACB＝∠DEB．

【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

【变式2】如图，点，分别在，上，，垂足为点．已知，．

（1）求证：；

（2）若，，，求点到直线的距离．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）

【分析】

（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；

（2）设点到直线的距离为，根据等面积法可得，代入计算即可得出的值，即可得出答案．

（1）证明：因为（已知），

所以（同位角相等，两直线平行），

因为（已知），

所以（垂直的性质），

所以（垂直的定义），

又因为（平角的定义）．

即，

又因为，

所以（同角的余角相等），

所以（内错角相等，两直线平行）；

（2）解：因为（已证），且，，．

设点到直线的距离为．

所以，

所以，

即，

所以点到直线的距离为．

【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，解题的关键是熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算．

类型三、三角形的内角和定理及推论

5.如图，BC⊥AD，垂足为点C，∠A27°，∠BED44°． 求：

（1）∠B的度数；

（2）∠BFD的度数．

【答案】（1）63°；（2）107°

【分析】

（1）根据垂直的定义可得，进而根据三角形内角和定理即可求得；

（2）根据三角形的外角的性质即可求得．

解：（1） BC⊥AD，∠A27°，

（2）∠BED44°,

【点拨】本题考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键．

举一反三：

【变式1】已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．

（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；

（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．

【答案】(1)∠DAE＝10°．（2）∠DAE＝（∠C−∠B）．

【分析】

（1）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°−∠B−∠C＝100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝50°，∠ADC＝90°，则∠CAD＝90°−∠C＝40°，然后利用∠DAE＝∠CAE−∠CAD计算即可．

（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C−∠B的关系．

解：(1)∵∠B＝30°，∠C＝50°，

∴∠CAB＝180°−∠B−∠C＝100°，

∵AE是△ABC角平分线，

∴∠CAE＝∠CAB＝50°，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝90°−∠C＝40°，

∴∠DAE＝∠CAE−∠CAD＝50°−40°＝10°．

（2）∠DAE＝（∠C−∠B），

理由：∵∠CAB+∠B+∠C=180°，

∴∠CAB =180°-∠B-∠C，

∵AE是△ABC角平分线，

∴∠CAE＝∠CAB＝，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝90°−∠C，

∴∠DAE＝∠CAE−∠CAD

=．

＝

=

＝（∠C−∠B）．

【点拨】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

【变式2】如图，已知∠A＝20°，∠B＝37°，AC⊥DE，垂足为点F，求∠1和∠D的度数各是多少．

【答案】∠1=110°，∠D=33°．

【分析】根据外角的性质即可求出∠1的度数；根据三角形内角和定理即可求出∠D的度数．

解：∵AC⊥DE，

∴∠AFE=90°，

∵∠1是△AFE的外角，

∴∠1=∠A+∠AFE．

∵∠A=20°，

∴∠1=20°+90°=110°；

在△BDE中，

∠1+∠D+∠B=180°，

∵∠B=37°，

∴∠D=180°-110°-37°=33°．

【点拨】此题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质和三角形内角和定理．

类型四、实际应用

6.已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a－b|＋b2－8b＋16＝0．

（1）如图1，求证：OA平分∠xOy；

（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想．

【答案】（1）见解析；（2），见解析

【分析】

（1）根据完全平方公式和绝对值的非负性化简|a－b|＋b2－8b＋16＝0，求出点A（a，b）的坐标，即可证明；

（2）过A点作交BM于K，NE与BM交于点G，首先根据ASA，然后根据SAS证明，得到，最后根据直角三角形中两锐角互余即可得出∠ONE与∠NEA之间的数量关系．

解：（1）依题意得：∵|a－b|＋b2－8b＋16＝0，

∴，

∴

∴，

∴

∴OA平分．

（2）与的数量关系是：．

过A点作交BM于K，NE与BM交于点G，

∴，，

又，

∴ 

∴（）

∴

∵

∴

在和中，

，，

∴（）

∴

又又

∴又

∴．

【点拨】此题考查了绝对值的意义和完全平方公式的运用，三角形内角和定理以及三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义和完全平方公式的运用，三角形内角和定理以及三角形全等的性质和判定．

【变式】已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．

（1）如图1，若AB∥ON，

①求∠ABO的度数；

②当α为何值时，D为OB中点，并说明理由．

（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．

【答案】（1）①20°；②当α＝70°时，D为OB中点，理由见解析；（2）30°或75°．

【分析】

（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数;②根据∠ABO=∠AOB =20°可得AO = AB，∠OAB =140°，由D为OB中点，根据等腰三角形的性质可得ADOB，∠OAD =∠BAC，可得α的值；

（2）分两种情况进行讨论:①当∠BDC =2∠BFC时，②当∠DBF=2∠DCF时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理，直角的度数，可得α的值.

解：（1）如图，

①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，

∴∠AOB＝∠BON＝20°，

∵AB∥ON，

∴∠ABO＝∠BON＝20°；

②当α＝70°时，D为OB中点，理由如下：

∵∠ABO＝∠AOB＝20°，

∴AO＝AB，∠OAB＝140°，

∵D为OB中点，

∴AD⊥OB，∠OAD＝∠BAC，

∴∠OAD＝∠BAC＝70°，

∴α＝70°时，D为OB中点；

（2）①当∠BDC＝2∠BFC时，如图，

∵AB⊥OM，∠MON＝40°，

∴∠BFC＝50°，

∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，

∵∠ABO＝∠BFC+∠BON＝50°+20°＝70°，

∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABD＝100°﹣70°＝30°，

∴α＝30°；

②当∠DBF＝2∠DCF时，

∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，

∴∠DBF＝∠AOB+∠OAB＝20°+90°＝110°，∠BFC＝50°，

∴∠DCF＝∠DBF＝55°，

∴∠BAC＝180°﹣∠BFC﹣∠ACF＝80°﹣50°﹣55°＝75°，

∴α＝75°．

综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°．

【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用.