2023届高考数学二轮复习常考二级结论理解记学案

这是一份2023届高考数学二轮复习常考二级结论理解记学案，共20页。
结论一1.子集、交集、并集、补集之间的一个关系式:A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔A∩∁IB=⇔∁IA∪B=I,其中I为全集.(1)当A=B时,显然成立.(2)当A⫋B时,Venn图如图1所示,结论正确.图12.子集个数的问题:若一个集合A含有n(n∈N*)个元素,则集合A的子集有2n个,非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.理解:A的子集有2n个,从每个元素的取舍来理解,例如每个元素都有两种选择,则n个元素共有2n种选择,该结论需要掌握并会灵活应用.结论二交、并、补(且、或、非)之间的关系在集合中的表达形式:∁I(A∩B)=(∁IA)∪(∁IB),∁I(A∪B)=(∁IA)∩(∁IB).结论三奇函数的最值性质:已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在定义域Df上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈Df,则f(0)=0.证明:因为f(x)为奇函数,所以∀x∈D,-x∈D,且f(-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0.若0∈Df,令x=0,则有f(0)+f(-0)=0,即f(0)=0.若奇函数f(x)在Df上有最值,设f(x)max=f(x0),则f(x0)≥f(x)(x∈D),所以f(-x0)=-f(x0)≤-f(x)(-x∈D),即f(x)min=f(-x0).由f(x0)+f(-x0)=0,得f(x)max+f(x)min=0.结论四函数周期性问题:已知定义在R上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.证明:(1),(2),(3)略.(4)若f(x)=f(x+a)+f(x-a),①则f(x+a)=f(x+2a)+f(x),②①+②得,f(x)+f(x+a)=f(x+a)+f(x-a)+f(x+2a)+f(x),即f(x-a)+f(x+2a)=0,f(x+2a)=-f(x-a),所以f(x+6a)=f[(x+4a)+2a]=-f[(x+4a)-a]=-f(x+3a)=-f[(x+a)+2a]=f[(x+a)-a]=f(x).故f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.结论五复合函数单调性:已知函数y=f[g(x)]是定义在D上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则y=f[g(x)]在D上单调递增;若f(x)与g(x)的单调性相反,则y=f[g(x)]在D上单调递减,即“同增异减”.特别地,若f(x)是定义在D上的单调函数,且方程f[f(x)]=x在D上有解为x0,则f(x0)=x0.结论六1.二次函数解析式的三种表达式:f(x)(a≠0)=2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的性质:(1)当a>0时,f(x)在(-∞,-]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增,且在x=-处取得最小值f(-)=,无最大值.(2)当a<0时,f(x)在(-∞,-]上单调递增,在[-,+∞)上单调递减,且在x=-处取得最大值f(-)=,无最小值.(3)对称轴为x=-,若f(x1)=f(x2),则x1+x2=-.(4)抛物线y=f(x)与y轴的交点为(0,c).结论七“切线”不等式:(1)对数形式:ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,取等号.(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,取等号.证明:(1)令f(x)=ln(x+1)-x(x>-1),则f′(x)=-1=.令f′(x)=0,解得x=0,故f′(x),f(x)随x的变化如表所示,x(-1,0)0(0,+∞)f′(x)+0-f(x)↗极大值↘所以f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,且当x=0时,f(x)有最大值为0,即∀x>-1,ln(x+1)-x≤f(0)=0,所以ln(x+1)≤x(x>-1)恒成立,当且仅当x=0时,取等号.(2)令g(x)=ex-x-1(x∈R),则g′(x)=ex-1,令g′(x)=0,解得x=0,故g′(x),g(x)随x的变化如表所示,x(-∞,0)0(0,+∞)g′(x)-0+g(x)↘极小值↗所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,且当x=0时g(x)有最小值为0,即∀x∈R,ex-x-1≥g(0)=0,所以ex≥x+1(x∈R)恒成立,当且仅当x=0时,取等号.结论八函数的对称性:已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称.特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点(,)中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.结论九三点共线结论:设平面上O,A,B三点不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.证明:先证必要性.如图2所示,因为P,A,B三点共线,所以∥,即存在t∈R,使得=t,故-=t(-),所以=+t-t=(1-t)+t.设1-t=λ,t=μ,则=λ+μ,且λ+μ=1.再证充分性.若=λ+μ,且λ+μ=1,λ,μ∈R,则(λ+μ)=λ+μ,图2即λ-λ=μ-μ,也即λ=μ,所以∥,故A,P,B三点共线.综上所述,P,A,B三点共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.结论十1.若向量,不共线,且点P为线段AB的中点,则·=||2-||2=||2-||2=|2-.2.在矩形ABCD所在平面内,||2+||2=||2+||2(点O为平面内一点).证明:1.如图3所示,在△OAB中,因为点P为线段AB的中点,所以+=0,故·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-|2=||2-||2=||2-.2.如图4所示,设矩形ABCD的对角线AC与BD的交点为P,则点P为AC和BD的中点.因为+=2,-=,则(+)2+(-)2=4||2+||2,即2(||2+||2)=4||2+||2,所以||2+||2=2||2+.同理,||2+||2=2||2+,又||=||,所以||2+||2=|2+||2.
图3　　　
图4结论十一若数列{an}为等差数列⇔an-an-1=d(n≥2,n∈N*)⇔an+1-an=d(n∈N*)⇔2an+1=an+an+2对任意n∈N*恒成立⇔通项公式an=kn+b(k,b为常数,n∈N*)⇔前n项和公式Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔数列也为等差数列.已知等差数列{an},其公差为d,前n项和为Sn,求证:也为等差数列,证明:由通项公式an=a1+(n-1)d知,其前n项和为Sn==na1+·d=n2+(a1-)n(n∈N*),所以=n+a1-,①当n≥2时,=(n-1)+(a1-),②①-②得,-=(n≥2,n∈N*),所以数列是以=a1为首项,为公差的等差数列.结论十二1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项积为Tn,m,n,t∈N*.(1)若m+n=2t,则am+an=2at,bm·bn=.(2)S2n-1=(2n-1)·an,T2n-1=.2.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.结论十三已知等比数列{an},其公比为q(q≠0),前n项和为Sn.(1)数列也为等比数列,其公比为.(2)若q=1,则Sn=na1,且{an}同时为等差数列.(3)若q≠1,则Sn===-·qn=λ-λ·qn,其中λ=.结论十四已知数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn.(1)若{an}为等差数列,公差为d,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等差数列,公差为n2d.(2)若{an}为等比数列,公比为q(q≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列(当n为偶数时,q≠-1),公比为qn.(3)若{an}为等比数列,公比为q(q≠0),则Tn,,,…仍为等比数列,公比为.结论十五1.已知圆O的方程为(x-m)2+(y-n)2=R2,点P(a,b),直线l:(a-m)(x-m)+(b-n)(y-n)=R2.(1)若点P在圆O上,则直线l与圆O相切,点P为切点,l为切线.(2)若点P在圆O外,则直线l与圆O相交,两交点分别为过点P作圆的两切线的切点,l为切点弦所在的直线.(3)若点P在圆O内(不是圆心),则直线l与圆O相离,圆心到直线l的距离d满足R2=|OP|·d.2.过圆或圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程.(1)过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)·(y-b)=R2.(2)过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.(3)过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p>0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中点M为切点,l为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.理解:(1)求过圆锥曲线上(或外)一点的切线方程时,可以借助直线与圆锥曲线的位置关系的解题套路(联立方程,看判别式).(2)在求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线方程时,应注意理解如下两点:①所求切线一定有两条;②设直线方程之前,应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.结论十六1.在椭圆E:+=1(a>b>0)中.(1)如图5所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B作椭圆的切线l,l′,有l∥l′,设其斜率为k0,则k0·k=-.(2)如图6所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,点P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.(3)如图7所示,若直线y=kx+m(k≠0,且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,点P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-.注:(1)常变形为:椭圆+=1上任意一点(x0,y0)处的切线方程为+=1.(3)常变形为:椭圆+=1内以任意一点(x0,y0)为中点的弦AB的斜率k=-·.
图5　
图6图72.在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k0·k=;(2)k1·k2=;(3)k0·k=.3.在抛物线C:y2=2px(p>0)中类比1.(3)的结论有k=(y0≠0).证明:1.(1)首先由椭圆的对称性知l∥l′,设A(x1,y1),B(x2,y2),由结论十五2.知直线l的方程为+=1,则k0=-,又k=,则k0·k=·(-)=-(切线问题).(2)设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),P(x,y),x≠±x0,则+=1,+=1,则+=0,所以k1·k2=·==-(中心弦问题).图8(3)如图8所示,连接BO并延长,交椭圆E于另一点Q,连接AQ,因为点P为AB的中点,由椭圆的对称性知点O为BQ的中点,则OP为△BAQ的中位线,所以k0=kAQ,又k=kAB,所以由结论十六1.(2)知,kAQ·kAB=-,即k0·k=-(中点弦问题).2与3中的证明略.结论十七在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与直线PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.(1)如图9所示,已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB的斜率kAB为定值.(2)如图10所示,已知双曲线-=1(a>0,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB的斜率kAB为定值-.(3)如图11所示,已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB的斜率kAB为定值-.
图9　　
图10图11下面以双曲线为例给出证明.证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的方程为y=k(x-x0)+y0,令m=y0-kx0,联立方程整理得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,则x1x0=-,解得x1=-,同理,x2=-.故直线AB的斜率kAB====-为定值.结论十八若圆锥曲线中内接直角三角线的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.具体结论及证明如下:(1)对于椭圆+=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(()a,0).同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,则直线lAB过定点(-()a,0).(2)对于双曲线-=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(()a,0).同理,经过左顶点(-a,0),则定点为(-()a,0).(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若·=0,则弦AB所在直线过定点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若⊥,则弦AB所在直线过定点(0,2p).下面以椭圆为例给出证明.图12证明:如图12所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(a,0),设直线l的方程为x=ty+m(m≠a).联立消去x得(a2+b2t2)y2+2b2mty+b2m2-a2b2=0,因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点A1,所以·=0,即(x1-a,y1)·(x2-a,y2)=0,即x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2=0,(ty1+m)(ty2+m)-a[t(y1+y2)+2m]+a2+y1y2=0,整理得(t2+1)y1y2+(m-a)t(y1+y2)+(m-a)2=0,将(*)式代入上式得+(m-a)t·+(m-a)2=0,化简得m=,因此直线l过定点(,0).同理可证,若以AB为直径的圆过左顶点(-a,0),则直线l过定点(,0).结论十九AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过点A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为点A1,B1,点E为A1B1的中点.(1)如图13所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图14所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且|EF|2=|AA1|·|BB1|.(3)如图15所示,以AF为直径的圆与y轴相切.图13图14图15证明:(1)如图13所示,由抛物线的定义知,|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,设点P为弦AB的中点,则|EP|==,故点E在以AB为直径的圆上,又EP∥AA1,所以EP⊥A1B1,故准线与圆P相切,切点为E.(2)如图14所示,连接A1F,B1F,由抛物线的定义知,|AA1|=|AF|,所以∠AA1F=∠AFA1,同理∠BB1F=∠BFB1.又因为AA1∥BB1,所以∠B1BF+∠A1AF=180°,故2∠AFA1+2∠BFB1=180°,即∠B1FA1=90°,即A1F⊥B1F,因此点F在以A1B1为直径的圆上,则|EA1|=|EF|=|EB1|,所以∠BFE=∠EFB1+∠BFB1=∠EB1F+∠BB1F=90°,即EF⊥BF,所以EF⊥AB,故以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F.结合本结论(1)可知,AE⊥BE,又在Rt△AEB中,EF⊥AB,所以Rt△BEF∽Rt△EAF,即=,所以|EF|2=|AF|·|BF|=|AA1|·|BB1|.(3)如图15所示,设准线与x轴的交点为F1,AF的中点为P,过点P作PQ⊥y轴,垂足为点Q,延长PQ交准线l于点P1,由点P为AF的中点知,|PP1|==+,即PQ==,所以点Q在以AF为直径的圆上,又PQ⊥y轴,所以以AF为直径的圆与y轴相切,切点为Q.结论二十焦点三角形的面积:(1)在椭圆+=1(a>b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积=b2·tan,其中θ=∠F1PF2.(2)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积=,其中θ=∠F1PF2.证明:(1)若△PF1F2为一般三角形,如图16所示,则=|PF1||PF2|sin θ(用θ表示∠F1PF2),由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|(1+cos θ)=4c2,所以2|PF1||PF2|(1+cos θ)=4a2-4c2=4b2,图16|PF1||PF2|=,所以=|PF1||PF2|·sin θ===b2tan.(2)双曲线相关结论的证明略.