2023届高考数学二轮复习专题2函数的性质二级结论讲练学案

专题2  函数的性质

二级结论1：奇函数的最值性质

【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0．

【应用场景】这个结论通过奇函数的图象的对称性可以得到，因图象关于原点对称，其最大值和最小值对应的点关于原点必对称，利用中点坐标公式即可得到结论．适合与函数解析复杂且不易判断函数单调性，通过构造函数后，借助新的函数的奇偶性来求解原函数的最值．

【典例指引1】

1．函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为（    ）

A．-10 B．-8 C．-26 D．与a有关

【答案】C

【解析】先设，利用关系，求在区间上的最大值18，再利用是奇函数，判断在区间上的最小值-18，再利用关系，得到在区间上的最小值即可.

【详解】设，则，即，故在区间上的最大值为，

又易见，即是奇函数，图象关于原点中心对称，故在区间上的最小值为，故在区间上的最小值为.

故选：C.

【点睛】有关奇函数最值问题的解决方法：

（1）奇函数关于原点中心对称，因此在对称区间上最大值与最小值互为相反数；

（2）一个函数有部分是奇函数，可以先令这部分为，有，利用是奇函数，其在对称区间上最值的特征，推出在对称区间上的最值的关系.

【典例指引2】

2．已知函数的最大值为，最小值为，则____

【答案】2

【分析】对函数进行化简可得，构造函数，可判断为奇函数，则，由奇函数的对称性即可求解.

【详解】，

令，则，

即为奇函数，图象关于原点对称，

，

，，且，

，则．

故答案为：2．

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的最值，解题的关键是构造函数并灵活利用奇函数的对称性，属于中档题．

【针对训练】

3．若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（    ）

A． B．6 C． D．5

【答案】B

【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值，再判断的奇偶性，由此判断出为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果.

【详解】在中，令得，即，令得，即，∴是奇函数，令，则，是奇函数，∴在对称区间上，当时，，，∴．

故选:B

4．已知在区间上有最大值5，那么在上的最小值为（    ）

A． 5 B． 1 C． 3 D．5

【答案】B

【分析】中为奇函数,故分析的对称点,再根据对称性判断即可.

【详解】因为中为奇函数关于对称,

故关于对称,

又在区间上有最大值5,故在上的最小值为

故选B

【点睛】本题主要考查奇函数的对称性与运用,属于基础题型.

5．已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值，那么在上的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件构造函数，判断函数的奇偶性，结合函数奇偶性和最值之间的关系建立方程进行求解即可．

【详解】由得，

令，

则，

∴函数为奇函数．

∵在区间上有最大值5，

∴，

∴，即．

∵是奇函数，

∴，

∴．

故选：B．

6．定义：函数满足（，C为常数），则称为中心对称函数，已知中心对称函数在上的最大值和最小值分别为M，m，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】变形给定的函数式，再借助奇函数最大值与最小值的关系计算作答.

【详解】函数，令，则，

函数是R上的奇函数，而，依题意，，

又，所以.

故选：D

7．设函数的最大值为，最小值为，则_________.

【答案】2

【解析】可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简，根据左右平移值域不变求解.

【详解】

，

令，则定义域为R，且，

故是奇函数，故其最大值与最小值的和为零，

所以函数的最大值与最小值的和为2，

故在函数中，.

二级结论2：函数周期性问题

【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0． 已知定义在R上的函数f(x)，若对任意x∈R，总存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期．除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：

(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a．

(2)如果f(x+a)=(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a．

(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a．

(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=6a．

【应用场景】这个结论通过周期函数的定义得到，用代换等式中的构造出来的形式，然后利用周期函数的定义即可得到结论．解题时，要注意观察给定的抽象等式和函数的奇偶性，对称性等性质，结合图象明确函数的周期性．

【典例指引1】

8．定义在R偶函数满足，对，，都有，则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小.

【详解】，，即，

的周期，

由条件可知函数在区间单调递增，

，，

，

函数在区间单调递增，，

即.

故选：B

【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含，则函数的周期是，若函数，或 ，则函数的周期是，或是，则函数的周期是.

【典例指引2】

9．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由条件①确实单调性，条件②确定周期性，条件③确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间上，再由单调性得大小关系、

【详解】因为任意，当时，都有，所以在上是增函数，

因为，所以，是周期函数，周期是8；

由是偶函数，得的图象关于直线对称，

，，

又，所以．

故选：C．

【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小．

【针对训练】

10．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由周期性和奇偶性进行计算．

【详解】∵，∴是周期函数，周期为，

又是奇函数，，

∴．

故选：D．

11．设是上的奇函数且满足，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知，是以为周期的周期函数，进而可得出，再利用奇函数的性质可求得结果.

【详解】对任意的，，即，

所以，函数是以为周期的周期函数，，

由于函数为的奇函数，且当时，，

因此，.

故选：D.

【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；

（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；

（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

12．已知定义在R上的函数是奇函数，且是偶函数，若当时，，则的值是（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据奇偶性证明函数的周期为，再结合周期性得出.

【详解】因为是偶函数，所以

又函数是奇函数，所以

所以

所以，即函数的周期为

所以

因为，所以

故

故选：B

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用奇偶性的定义证明函数的周期为，再结合周期的性质得出.

13．定义在上的偶函数满足当时, ,则

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：先根据得周期为2，由时单调性得单调性，再根据偶函数得单调性，最后根据单调性判断选项正误.

详解：因为，所以周期为2，

因为当时, 单调递增，所以 单调递增，

因为，所以 单调递减，

因为，,

所以, , ,,

选B.

点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.

14．已知是在R上的奇函数，满足，且时，函数，函数恰有3个零点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意可知是在R上的奇函数且关于x=1对称，函数恰有3个零点，等价于和有3个交点，当时，函数的解析式已知，用数形结合的方法可求得a的取值范围。

【详解】由题得，令，定义域为，恰有3个零点，即和的图像在定义域内有3个交点，，故函数的一个周期是4，又时，函数，且图像关于轴x=1对称，由此可做出函数图像如图，若两个函数有3个交点，则有，解得，则a的取值范围是.

故选：D

【点睛】对数函数和指数函数有交点，无法直接求出交点坐标，采用数形结合的方法求参数是此类题的核心解题思路，有一定的难度。