2023届高考数学二轮复习专题9立体几何二级结论讲练学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题9立体几何二级结论讲练学案，共35页。学案主要包含了结论阐述，应用场景，典例指引1，典例指引2，针对训练等内容，欢迎下载使用。

专题9 立体几何
二级结论1：三余弦定理与三正弦定理
【结论阐述】
三余弦定理（又称最小角定理）：如图①，是平面的一条斜线，是平面内的一条直线，平面于，于，则，即斜线与平面内一条直线夹角的余弦值等于斜线与平面所成角的余弦值乘以射影与平面内直线夹角的余弦值：；
说明：为方便记忆，我们约定为线线角，为线面角，为射影角，则由三余弦定理可得
线面角是最小的线线角，即平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中的最小者.
三正弦定理（又称最大角定理）：如图②，设二面角的平面角为，平面，平面，，设，则.
说明：为方便记忆，我们约定为二面角，为线棱角，为线面角，则由三正弦定理可得
二面角是最大的线面角，即对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于该二面角的平面角.

【应用场景】空间三类角，即两条异面直线所成角､直线与平面所成角､二面角是立体几何的核心内容，也是高考重点考查的内容之一，几乎在每一份数学高考试卷中都会涉及.建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算，是求解空间三类角问题的常用方法.但此法存在两个缺陷：一是若图形不规则或不容易建立坐标系，则该法常常行不通；二是运算量较大.运用“最小（大）角”定理和“三余（正）弦”定理，不仅关联了线线角､线面角和二面角，而且利用它解决立体几何中的三类角问题，不需要建立坐标系，运算量也很小.
【典例指引1】
（2022年高考浙江卷8）
1．如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用几何法表示出，再根据边长关系即可比较大小．
【详解】如图所示，过点作于，过作于，连接，

则，，，
，，，
所以，
故选：A．

【典例指引2】
（2019年高考浙江卷8）
2．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.

方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
【针对训练】
（2018年高考浙江8）
3．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.
【详解】设为正方形的中心，为中点，过作的平行线，交于，过作垂直于，连接、、，则垂直于底面，垂直于，
因此
从而
因为，所以即，选D.

【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.
（2022·浙江·高三开学考试）
4．在正方体中，是棱上的点且，是棱上的点，记与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作于，过作交于，过作于，可得，，，在正方体中求得它们的正切值比较大小后可得结论．
【详解】作于，则，，从而，
而平面，因此有平面，
过作交于，过作于，则，,
由正方体性质易知为二面角的平面角，即，
，
平面，则，同理，
，平面，所以平面，
又平面，所以，所以是矩形，，
由平面知，，
由，得，
即，均为锐角，所以，
与重合时，三角相等．
故选：B．

（2022·北京大兴·高一期末）
5．如图，在正方体中，是棱的中点.令直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，再根据几何关系，结合线线角线面角与二面角的定义，分析的正切值大小结合正切的单调性判断即可
【详解】取的中点，连接如图.易得，故直线与所成的角.又直线平面，故与平面所成的角.又平面，故二面角的平面角.因为，，，故，又均为锐角，故

故选：B
（2022·河南新乡·高二期末）
6．已知直线是平面的斜线，且与平面交于点，在平面上的射影为，在平面内过点作一条直线，直线和直线不重合，直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，直线与直线所成的角为，则（    ）
A． B．
C． D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】过直线上一点（与M不重合）作平面的垂线交平面于，过点在平面内作直线的垂线交直线于点，连接，求出、、的表达式，由此可得出合适的选项.
【详解】如图，过直线上一点（与不重合）作平面的垂线交平面于，
过点在平面内作直线的垂线交直线于点，连接，

由线面角的定义可得，则，
因为平面，平面，，
，，平面，
平面，，
所以，，，
因此，.
故选：C.
（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）
7．在空间，若直线与平面所成角为，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线面角定义，结合线面垂直的判定定理进行求解即可.
【详解】如图，过点作平面于，连接，
则为直线与平面所成的角，
分别作，交于点，，交于点，
连接、，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，而平面，
所以，同理，
因为，，，
所以≌，所以，，
所以，则为的角平分线，
由，可得，
令，则，，即，
在直角三角形中，因为，
所以，
于是在直角三角形中，
，
即．
故选：D

8．如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，是棱上的动点，记直线与平面所成的角为，与直线所成的角为，则，的大小关系是

A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【详解】分析：首先要明确有关最小角定理，之后对其中的角加以归类，从而得到两角的关系，即可得结果.
详解：根据线面角是该直线与对应平面内的任意直线所成角中最小的角，
所以有故选C.
点睛：该题考查的是有关角的大小的比较问题，在思考的过程中，需要明确角的意义，从而结合最小角定理，得到结果.
（2022·江西省万载中学高二期中）
9．已知点A、B分别在二面角的两个面α、β上，AC⊥l，BD⊥l，C、D为垂足，，若AB与l成60º角，则二面角为（    ）
A．30º B．45º C．60º D．120º
【答案】D
【分析】由题意画出图形，作出直线与所成角及二面角的平面角，设，由已知直线与所成角大小，即可求解二面角的大小．
【详解】解：如图，

在内，过作，且，连接，
由，则四边形为矩形，可得，，
，得为二面角的平面角，且平面
即平面，则
设，则，
又直线与l所成角为60º，，
得，
在中，．

故二面角的大小为．
故选：D．
10．已知二面角是直二面角，为棱上一点，、分别在平面、内，且，则为（    ）
A．45° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【解析】在正方体中构造符合条件的图形，由正方体的性质即可求解.
【详解】以正方体为模型，构造满足条件的几何图形如下图所示，

连接，由正方体的性质可得为等边三角形，
故，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了直二面角，正方体的性质，属于中档题.
11．的边在平面内，在平面外，和分别在与平面成30和45的角，且平面与平面成60的二面角，那么的值为（    ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】D
【分析】从向平面作垂线，作，证得，分为锐角和钝角，由线面角及二面角结合勾股定理及余弦定理求解即可.
【详解】从向平面作垂线，连接，作，连接，，则，平面，则平面，又平面，则，如图所示：

设，是二面角的平面角，，由勾股定理，
当为锐角，在内， ，
即,;
当为钝角，在之外，，
根据余弦定理，

，，综上：的值为1或.
故选：D．
（2022·上海市七宝中学高二开学考试）
12．正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为_________.
【答案】2
【分析】作出辅助线，得到为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，两个圆锥的交线即为满足条件的直线的条数.
【详解】设立方体的棱长为1，过作直线，
若直线与平面中的直线所成角的最小值为，
即与平面所成角为，
为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，
连接，由题意得，直线与直线所成角为，

直线与直线所成角为.
此时为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，
两个圆锥相交得到两条交线.
故答案为：2
（2022·河南省上蔡第一高级中学高三月考）
13．在四面体中，平面.若直线与所成的角为，则直线与平面所成角的取值范围是__________.
【答案】
【分析】设的中点为，连接，根据等腰与直角三角形的性质可得为二面角的平面角，，且直线不妨看作以为轴，轴截面的顶角为的圆锥母线所在的直线，进而求得线面角的最大值与最小值即可.
【详解】如图，设的中点为，连接.
因为平面，所以，
所以，所以为二面角的平面角.
又，所以，故.
直线不妨看作以为轴，轴截面的顶角为的圆锥母线所在的直线，所以直线与平面所成角的最小值为，最大值为，故直线与平面所成角的取值范围是.

故答案为：
（2022·浙江宁波·高二期末）
14．已知三棱锥的棱长均为平面为中点，.记和直线所成角为，则该三棱锥绕旋转的过程中，的最小值是___________.
【答案】
【分析】把和直线所成角转化为与平面所成角，结合线面角的性质可求答案.
【详解】设与平面所成角为，因为，和直线所成角为，
所以；
取的中点，连接，

因为分别为中点，所以，或其补角是与所成角；
在中，，所以且为锐角.
三棱锥绕旋转的过程中，由线面角的性质可知， ，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
15．三角形ABC的一条边AB在平面内，，，，若AC与平面所成角为，则直线BC与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】
【分析】过点作，垂足为，连，则是直线BC与平面所成的角，是AC与平面所成的角，利用直角三角形可求出结果.
【详解】解：过点作，垂足为，连，

则是直线BC与平面所成的角，
是AC与平面所成的角，则，
∵，∴，
在直角三角形中，，，
∴，
在直角三角形中，，
∴直线BC与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
二级结论2：多面体的外接球和内切球
【结论阐述】
类型一球的内切问题（等体积法）
例如：如图①，在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：

即：，可求出.

类型二球的外接问题
1.公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2.补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直

②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
3.单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②过外心做（找）底面的垂线，如图中面，则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；
③计算求半径：在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.
4.双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥中：
①选定底面，定外接圆圆心；②选定面，定外接圆圆心；
③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.
【应用场景】多面体外接球问题是立体几何中的重难点内容之一，在高考中频繁出现.解决此类问题的关键是确定球心的位置，运用常见模型可以很方便的确定球心的位置从而准确求解.
【典例指引1】
（2022·山西吕梁·一模）
16．在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据鳖臑的性质，结合四面体内切球的性质、棱锥的体积公式、棱锥和球的表面积公式进行求解即可.
【详解】解：因为四面体四个面都为直角三角形，平面，，所以，，，，设四面体内切球的球心为，则，
所以，
因为四面体的表面积为，
又因为四面体的体积，
所以，所以，
故选：B
【点睛】关键点睛：利用棱锥的等积性进行求解是解题的关键.
【典例指引2】
17．已知三棱锥，在底面中，，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径为1，结合面，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积.
【详解】设的外接圆半径为R，因为，，由正弦定理得：，所以的外接圆半径为1，设球心O在的投影为D，则DA=1，因为面，，故，由勾股定理得：，即此三棱锥的外接球的半径为2，故外接球表面积为.

故选：D
【针对训练】
（2022·湖北黄冈·高一期末）
18．若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先设出未知量，即圆锥半径为，圆锥高为，分析组合体轴截面图，找出与的一组关系式，再根据题意中圆锥与球体的体积关系找出另一组与的关系式即可求出答案.
【详解】如下图组合体的轴截面，设圆锥半径为，圆锥高为，则，，，由得,代入得①，
由“该圆锥体积是球体积两倍”可知，即②，联立两式得.
故选:B

（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高三开学考试）
19．如图正四棱柱中，底面面积为36，的面积为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正四棱柱的性质求得棱柱的高，三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球，棱柱的对角线即为其外接球的直径，求得球半径后可得表面积．
【详解】设正四棱柱的高为，
因为正方形的面积为36，所以，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，,
因为的面积为，
所以，解得，
依题意，三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球，
其半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为．
故选：C．
（2022·全国·高三专题练习）
20．已知四面体中，平面，，，且，则四面体的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可求得的外接圆半径，再根据勾股定理求出四面体的外接球的半径，即可求解.
【详解】解：如图所示：

在中，，
又且，
故解得：，
由余弦定理得：，
即，
故，
设的外接圆半径为，
则，
设的外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，
则，
四面体的外接球的表面积为：.
故选：B.
（2022·江苏·金陵中学高一期末）
21．前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设球半径为，圆锥的底面半径为，利用扇形的弧长和面积公式求得，即可求解.
【详解】
圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，
设母线为，则，可得：，
由扇形的弧长公式可得：，所以，
圆锥的高，
由，解得：，
所以球的表面积等于，
故选：A
（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）
22．设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，，，则此直三棱柱的高是（    ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】先确定底面的外接圆圆心及半径，再确定球心位置，并利用球心和圆心的连线垂直于底面，得到直角三角形，利用勾股定理求解.
【详解】设，
三角形外接圆的半径为，直三棱柱外接球的半径为.
因为，所以，
于是，，.
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以.
在中，由，得，.
所以球的体积，解得.
于是直三棱柱的高是.
故选：B.
（2022·重庆·西南大学附中高一期末）
23．已知正方形中，，是边的中点，现以为折痕将折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设棱锥的外接球球心为，半径为，则平面，因为的面积为定值，所当高最大时，三棱锥的体积最大，过D作于，设点为的外心，则有通过计算可得点为外接球的球心，从而可求得结果
【详解】解：过D作于，设点为的外心，为的中点，连接，
因为正方形中，，是边的中点，
所以,则，，,
所以,，,
所以,
所以,
设棱锥的外接球球心为，半径为，则平面，设，
因为的面积为定值，所当高最大时，三棱锥的体积最大，
此时平面平面，
因为，平面平面，
所以平面，
所以,
所以，
所以，
所以，解得，
所以的外心为三棱锥外接球的球心，
所以
所以三棱锥外接球的表面积为
故选：C

（2022·广西·柳铁一中高三阶段练习）
24．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件先判定出球心的位置，然后运用正弦定理、余弦定理和勾股定理计算出球的半径，即可计算出外接球的表面积.
【详解】如图，

由，，得，∴，
由，，，得，∴，
又，∴平面，设的外心为G，过G作底面的垂线，
使，则O为三棱锥外接球的球心，
在中，由，，得，
，设的外接圆的半径为r，
则，，
∴.
∴三棱锥外接球的表面积为.
故选：D.
（2022·江西省南丰县第二中学高一学业考试）
25．已知四棱锥，平面，，，，，二面角的大小为.若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定出三角形外接圆的圆心，然后过作垂直于平面的垂线，再过中点向作垂线，垂足即为球心，根据线段长度可求解出球的半径，则球的体积可求.
【详解】因为，，所以，所以，
所以外接圆的圆心为的中点，记为，过作直线使得平面，
取中点，过作垂足为，则，
所以为四面体外接球的球心，
因为，所以平面，，
又，所以二面角的平面角为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以四面体外接球的体积为，
故选：A.

二､填空题
（2022·河南焦作·一模）
26．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且是底边长为，面积为的等腰三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】把三棱锥放入一个长方体中，转化为求长方体外接球的半径即可得解.
【详解】三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，如图，

设，，长方体交于一个顶点的三条棱长为，，，则，解得.
由题得，
，，
解之得，，.
所以该三棱锥的外接球的半径为，
所以该三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
（2022·河南驻马店·高三期末）
27．在三棱锥中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】##
【分析】取的中点可得，由得，根据线面垂直的判断定理得平面，得三棱锥外接球的球心在线段上，由可得答案.
【详解】如图，取的中点，连接，．由题意可得，
因为，所以，
因为，所以，所以，所以，
即．因为，所以平面，
设三棱锥外接球的球心为，
由题意易得三棱锥外接球的球心在线段上，如下图

则三棱锥外接球的半径满足，
解得，所以，；
若三棱锥外接球的球心在线段的延长线上，如下图，

则三棱锥外接球的半径满足，
，无解；
所以，
三棱锥外接球的表面积．
故答案为：.
（2022·全国·模拟预测）
28．已知A、B、C、D为空间不共面的四个点，且，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．
【答案】
【分析】由题可得当BA、BC、BD两两垂直时，三棱锥的体积最大，将三棱锥补形为一个长宽高分别为，，的长方体，即得.
【详解】当BA、BC、BD两两垂直时，如图三棱锥的底面的面积和高同时取得最大值，则三棱锥的体积最大，

此时将三棱锥补形为一个长宽高分别为，，的长方体，
长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
球的半径，表面积为．
故答案为：.
（2022·安徽马鞍山·一模）
29．三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为______
【答案】
【分析】计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.
【详解】等边三角形的高为，
等边三角形的外接圆半径为
三角形的外接圆半径为，
设分别是等边三角形、等边三角形的中心，
设是三棱锥的外接球的球心，是外接球的半径，
则，
所以外接球的体积为.

故答案为：
30．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B．56π C． D．14π
【答案】D
【分析】将三棱锥P－ABC补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积．
【详解】将三棱锥P－ABC补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，则，所以球的表面积为．
故选：D．

（2022·湖北荆州·高一期中）
31．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为______．

【答案】
【分析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，可画出内切球的切面图，分别求出大球和小球的半径分别为和，从而求出小球的表面积.
【详解】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，，
如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上，
且，设球的半径为R，则，
∵，∴，则，，∴，
设球与球相切于点Q，则，
设球的半径为r，同理可得，∴，
故小球的表面积.
故答案为：