2023届高考数学二轮复习专题8概率、统计、期望二级结论讲练学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题8概率、统计、期望二级结论讲练学案，共39页。学案主要包含了结论阐述，应用场景，典例指引1，典例指引2，针对训练等内容，欢迎下载使用。

专题8 概率、统计、期望
二级结论1：条件概率
【结论阐述】计算条件概率有两种方法．
（1）定义法：利用定义；
（2）压缩事件空间法：若表示试验中事件包含的基本事件的个数，则．
【应用场景】
（1）注意：利用定义求条件概率时，事件与事件有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清的求法．
（2）当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，即，
【典例指引1】
1．先后掷一枚质地均匀骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为，设事件为“为偶数”，事件为“中有偶数，且”，则概率
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设事件为“为偶数”中包含的基本事件为，共18个，事件A中含有的B事件为，共有6个，所以，故选A.
【典例指引2】
2．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①；
②；
③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
【答案】②④
【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出事件发生的条件下B事件发生的概率，即可判断②；然后由，判断①和⑤；再比较的大小即可判断③.
【详解】由题意可知事件不可能同时发生，则是两两互斥的事件，则④正确；
由题意得，故②正确；
,①⑤错；
因为，所以事件B与事件A1不独立，③错；综上选②④
故答案为：②④
【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.

【针对训练】
（2022广西·南宁市东盟中学模拟预测（理））
3．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，求出即得解.
【详解】解：设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，
则；
故该部件能正常工作的概率为.
故选：B
（2022四川成都·高三月考（理））
4．若随机事件，满足，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据，计算得到，然后根据条件概率的计算公式计算即可.
【详解】由题可知：
所以
所以
故选：D
5．某公司为方便员工停车，租了个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据条件概率的计算公式，结合概率公式直接计算即可得解.
【详解】根据条件概率可得：．
故选：D.
（2022福建省南平市高级中学高三月考）
6．已知在 支铅笔中，有 支正品， 支次品，从中任取 支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率的计算公式计算．
【详解】记事件 ， 分别表示“第一次，第二次抽得正品”，则 表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，
故 ．
故选：C．
7．某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为，．若，，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，分析甲乙所在的小组获 “优秀小组”的所有可能情况，再利用互斥事件的加法公式，相互独立事件的乘法公式计算即得.
【详解】依题意，在第一轮竞赛中甲乙所在的小组能获得“优秀小组”的所有可能的情况有：
甲答对1题，乙答对2题；甲答对2题，乙答对1题；甲答对2题，乙答对2题，且每人所答两题中答对的1题有先后之分，
所以所求概率为.
故选：A
（2022重庆市第七中学校高三月考）
8．一个口袋中装有3个白球，4个黑球和5个红球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球是1白1黑的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，可能的情况有 “第一次摸出白球，第二次摸出黑球”与“第一次摸出黑球，第二次摸出白球”两种情况，再根据概率计算公式求解即可
【详解】可能的情况有 “第一次摸出白球，第二次摸出黑球”与“第一次摸出黑球，第二次摸出白球”两种情况，设两次摸出的球是1白1黑的事件为，则
故选：C
9．甲箱中有5个红球，2个白球和3.不黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出行球放入乙箱中，分别以､､表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则___________，___________.
【答案】         
【分析】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，利用古典概型计算可得，，，再利用条件概率和互斥的事件的和进行计算，即可得到答案；
【详解】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，
因为，，，所以；
同理，，
所以.
故答案为：；
（2022福建·福州四中高三月考）
10．东北育才高中部高一年级开设游泳、篮球和足球三门体育选修课，高一某班甲、乙、丙三名同学每人从中只选修一门课程．设事件A为“甲独自选修一门课程”，B为“三人选修的课程都不同”，则概率______．
【答案】##
【分析】分别求出事件：A=“甲独自选修一门课程”，“甲独自选修一门课程且三人选修的课程都不同”对应的基本事件个数，然后套用条件概率公式求解．
【详解】由题意知，甲独自选修一门，则有3门课程可选，乙、丙只能从剩余的两门课程中选择，可能性为．所以．
三人选修的课程各不相同的可能性为：，即．
故．
故答案为：##
（2022北京市八一中学高三开学考试）
11．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为______．
【答案】
【分析】设B={从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，{提出的一台是第i车间生产的产品}，，由求解.
【详解】设B={从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，{提出的一台是第i车间生产的产品}，，
则，
因为第1，2车间生产的成品比例为2:3，
所以，
又因为第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，
所以，
所以，
，
故答案为：
（2022黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））
12．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．
【答案】
【分析】首先根据古典概型的概率计算公式，求得，再求，由即可得解.
【详解】设红蓝两颗骰子的点数分别为，，基本事件用表示，
共有种情况，
事件包含基本事件，，，，，，共6种，
则，
事件和事件同时发生的基本事件为，，，，，共5种，
则，
故事件发生的条件下事件发生的概率．
故答案为：．
二级结论2：常见分布的数学期望和方差
【结论阐述】
          典型分布
数字特征
两点分布：，成功概率为
二项分布：
超几何分布：
数学期望



方差




【应用场景】有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
【典例指引1】
13．若随机变量服从参数为，的二项分布，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】由题意，根据二项分布中概率的计算公式，，
则，
，
，
，
，
因此，，
．
故选：BD．
【典例指引2】
14．学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求________．
【答案】
【分析】本题主要考查了超几何分步的概率计算，属于基础题．
根据题意，X的取值为0或1，代入超几何分布公式求出对应概率，再相加即可．
【详解】解：由题意可得
，
，
所以．
故答案为：．
【针对训练】
（2022·陕西·渭南市临渭区教学研究室二模）
15．设随机变量，满足：，，若，则
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【详解】由题意可得：，
解得：，则：．
本题选择A选项.
（多选题）（2022·湖南岳阳·一模）
16．若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】求出,即得解.
【详解】解：依题意，
所以，  .
所以，  ，  
所以AB选项正确，CD选项错误.
故选：AB
（2022·河南洛阳·模拟预测）
17．已知随机变量，若，则______．
【答案】
【分析】，二项分布的性质，算出，在使用即可.
【详解】因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
答案为：
（2022·浙江省新昌中学模拟预测）
18．在一次投篮游戏中，每人投蓝3次，每投中一次记10分，没有投中扣5分，某人每次投中目标的概率为，则此人恰好投中2次的概率为____________，得分的方差为____________．
【答案】         
【分析】根据二项分布的计算公式及二项分布方差的性质即可求解.
【详解】由题意可知，记为击中目标的次数，得分为分，则,
所以在3次射击中，此人恰好投中2次的概率为：

由题意可知， ,所以得分的方差为：
.
故答案为：；.
（2022·湖南永州·一模）
19．我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：
分钟
性别
（0，40]
（40，60]
（60，90]
（90，120]
女生
10
40
40
10
男生
5
25
40
30

根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120]内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120]内认定为“良好”.
(1)完成下列22列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；

不合格
合格
合计
女生



男生



合计




(2)从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求的分布列及数学期望；
(3)从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为”的概率为，视频率为概率，用样本估计总体，求的表达式，并求取最大值时对应的值.
附：，其中.

0.010
0.005
0.001

6.635
7.879
10.828


【答案】(1)列联表见解析，认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于；
(2)分布列见解析，数学期望为；
(3)，

【分析】（1）通过题意可得列联表，计算的值，可得结论；
（2）根据分层抽样的比例可得抽取的女生平均每天体育运动时间在的人数，确定的取值，根据超几何分布可求得每个值对应的概率，即得分布列，从而计算数学期望；
（3）通过题意可得满足二项分布，能得到，然后通过作商法可得到当时，，当时，，即可得到答案
（1）
由题意可知，22列联表如下表

不合格
合格
合计
女生
50
50
100
男生
30
70
100
合计
80
120
200

零假设为：性别与学生体育运动时间无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立即认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于；
（2）
抽取的20人中，女生平均每天运动时间在的人数分别为2人，8人，8人，2人，易知的所有可能取值为，
，，，
所以的分布列为

0
1
2





所以数学期望为；
（3）
平均每天运动时间在的频率为，
由题意可知，
所以，
由，得，
所以，当时，，即，
当时，，即，
所以，即取最大值时，.
（2022·四川省内江市第六中学模拟预测）
20．国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表：
运动时间
性别
运动达人
非运动达人
合计
男生
36


女生

26

合计


100

(1)请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
(2)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望及方差.
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

，其中.
【答案】(1)列联表答案见解析，在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关
(2)分布列答案见解析，，

【分析】(1)根据题意完善2×2列联表，根据卡方公式计算出，结合临界表即可得出结论；
(2)根据题意可知随机变量满足二项分布，求出对应事件的概率，列出随机变量的分布列，结合二项分别的数学期望和方差公式直接计算即可.
【详解】（1）由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中，有60人为男生，
40人为女生，据此2×2列联表中的数据补充如下.
运动时间性别
运动达人
非运动达人
合计
男生
36
24
60
女生
14
26
40
合计
50
50
100

所以，又，
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关.
（2）由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为，
故，X可取的值为0，1，2，3，
所以，，
，.
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





∴，.
（2022·广东广州·一模）
21．某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26

假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2).

【分析】（1）根据超几何分布列分布列，求解期望；
（2）由二项分布的方差公式求解.
（1）
依题意，没有掌握“向量数量积”知识点的学生有60人，其中，使用“AI作业”的人数为20人，不使用“AI作业”的人数为40，
所以，1，2，且，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
P




故
（2）
由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.
二级结论3：二项分布概率的最值
【结论阐述】
下图是不同参数的二项分布的图象

图1．不同参数下的二项分布的图象
从图1中可以看出，对于固定的及，当增加时，概率先是单调递增到最大值，随后单调减少．可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且：
（1）当不为整数时，概率在时达到最大值；
（2）当为整数时，概率在和同时达到最大值．
注：为取整函数，即为不超过的最大整数．
【应用场景】可以利用该结论方便地计算出相应地最大值．
【典例指引1】
22．某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：
阶梯
年用气量（立方米）
价格（元/立方米）
第一阶梯
不超过228的部分
3.25
第二阶梯
超过228而不超过348的部分
3.83
第三阶梯
超过348的部分
4.70

从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：
居民用气编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用气量（立方米）
95
106
112
161
210
227
256
313
325
457

（1）求一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；
（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；
（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为，求取最大值时的值．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为；（3）6．
【分析】（1）由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；
（2）由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量可取，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；
（3）由，列出不等式组由，求得的值，即可求解.
【详解】（1）由题意，当时，；
当时，；
当时，，
所以年用气费y关于年用气量x的函数关系式为.
（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，
设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为，则可取，
则，，
，，
故随机变量的分布列为：

0
1
2
3
P





所以.
（3）由题意知，
由，解得，，
所以当时，概率最大，所以.
【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
【典例指引2】
23．某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．
附：若，则，．
【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．
【分析】（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求出的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
（2）①设该划线分为，由求出.由，得.由题意，又，故，故，即可求出；②由题意，根据独立重复实验的概率计算公式，求出，代入不等式组，即求的值.
【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为.
由题意可得：，，
，，
随机变量的分布列为











数学期望．
（2）①设该划线分为，由得，
令，则，
由题意，，即，
，，，
，，取．
②由①讨论及参考数据得
，
即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，
，．
由
即
解得，
，，
当时，取得最大值．
【点睛】本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目．
【针对训练】
（多选题）（2022·湖北部分市州高二期末）
24．已知随机变量，，，，记，其中，，则（    ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用随机变量概率的性质证明选项A判断正确；利用二项分布数学期望的性质证明选项B判断正确；举反例否定选项C；利用单调性证明选项D判断正确.
【详解】对于A，，所以A正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，当时，，所以C错误；
对于D，因为，所以当时，最大，所以D正确；
证明如下：若，则，
若，则，解得，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
即当为整数时，或时，取得最大值，
当不为整数，k为的整数部分时，取得最大值．
故选：ABD．
25．若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时，______．
【答案】3或4
【分析】先求得的表达式，利用列不等式组的方法来求得使取得最大值时的值.
【详解】依题意，
依题意，
，
，，
所以、不是的最大项，
当时，由，
整理得，即，
整理得，，
所以当为3或4时，取得最大值.
故答案为：3或4
（2022·河南·南阳中学高二月考）
26．已知随机变量，若最大，则______．
【答案】24
【分析】先根据解出，再根据二项分布的方差公式求出，再计算即可.
【详解】由题意知：，要使最大，有，
化简得，解得，故，又，
故.
故答案为：24.
（2022·河南省杞县高中模拟预测）
27．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，金陵中学高二某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学们的一致好评．设随机变量，记，，1，2，…，n．在研究的最大值时，该小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当k取的整数部分，则是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为______的概率最大．
【答案】15或16
【分析】根据二项分布的知识，结合题目所给条件进行计算，从而求得正确答案.
【详解】继续再进行65次投掷实验，出现点数为1的次数X服从二项分布，
由，结合题中的结论可知，当或时概率最大．
即后面65次中出现11或10次点数1的概率最大，加上前面35次中的5次．
所以出现15或16次的概率最大．
故答案为：15或16
（2022·河北·石家庄一中东校区高二期末）
28．如果，其中，______时，最大.（注：是整数）
【答案】或
【分析】根据题意可得，，1，2，…，，由最大，则有，从而可得答案.
【详解】解：∵，其中，
∴，，1，2，…，，
∵，
得，
∴，
∴当是整数时，或时，最大.
故答案为：或.
29．在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数，则取最大值时_______．
【答案】1
【分析】，可得．则且计算可得．
【详解】解：依题意，可得
则，
且，
解得，又，所以．
故答案为：1
【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（2022·广东中山高二下学期期末）
30．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量，记，.在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为____________的概率最大.
【答案】18
【分析】直接根据服从二项分布，结合取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13概率最大，从而得解.
【详解】继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数服从二项分布，
由，结合题中结论可知，时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，
加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大.
故答案为：18.
（2022·北京·景山学校模拟预测）
31．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】(1)0.20
(2)的分布列见解析，数学期望为
(3)5

【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出的值，进而估计出概率；
（2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列；
（3）求出的式子进行判断.
（1）
由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）
由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2
3






数学期望.
（3）
，理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.
（2022·江苏·海安高级中学二模）
32．我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．
(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，．
①求p；
②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率．
(2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．
【答案】(1)①，②
(2)证明见解析

【分析】（1）①由题意可知两道生产工序互不影响，利用对立事件可求；②依题意可利用条件概率公式求抽检的一个芯片是合格品的概率；
（2）依题意可知，求导后利用导数研究的单调性，即可证明结论成立.
（1）
①因为两道生产工序互不影响，
法一：所以．
法二：所以．
答：该款芯片的次品率为；
②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且．
则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率：．
答：人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为；
（2）
因为各个芯片的生产互不影响，所以，
所．
令，得，
所以当时，为单调增函数；
当时，为单调减函数，
所以，当时，取得最大值．
（2022·浙江十校联盟·高二联考）
33．学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募30名左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人．现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者；方案二：将60名报名者编号，用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个，然后再次用随机数法从这60个编号中随机抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者．
(1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件和事件，求事件和事件发生的概率；
(2)若采用方案二，设报名者甲同学被抽取到的次数为，求的数学期望；
(3)不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人．若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为，则的可取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？
【答案】(1)，；
(2)；
(3)，取到34的可能性最大.

【分析】（1）应用古典概型的概率求法求不同方案下抽取到甲的概率.
（2）由题设，应用二项分布期望公式求期望.
（3）设两次都被抽到的人数为随机变量且，则，利用不等式法求最大，即可确定n值.
（1）
抽签法随机抽取30名志愿者含甲的概率为，
随机数法抽取45名志愿者含甲的概率为
（2）
由（1）知：甲每次被抽到的概率均为，则．
所以.
（3）
设两次都被抽到的人数为随机变量，则，
故．
令，
故，
令则，即，
当时，；当时，．
因此，时最大，即最大，
所以取到34的可能性最大．
34．通过历次考试，微信公众号小艺学堂，学生容易在多选题中由于多选和错选致误，因此决定为自己所带的两个班级的学生命制一套满分为100分的多项选择题专题卷，已知这两个班共有学生100名，陈老师根据两个班学生的考试成绩制作了如下表所示的频率分布表：
分值





频率






（Ⅰ）若每个分组取中间值作代表，试求两个班学生的成绩的平均值；
（Ⅱ）为了更好地激发学生学习政治的热情，陈老师决定组建政治兴趣小组，若采取分层抽样的方法从两个班中成绩为和的学生中抽取5人，再从中确定3人为小组组长，如果用表示小组组长来自成绩为的学生的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为了更好地了解学生多项选择题失分的原因，陈老师从两个班中随机抽取20名学生进行深入交流，若这20名学生中有名学生本次考试成绩在之间的概率为（，），求取得最大值时的值（将频率视为概率）.
【答案】（Ⅰ）54；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）8.
【分析】（Ⅰ）每个分组取中间值与频率相乘后求和可得平均值；
（Ⅱ）由频率分布表可知，若采取分层抽样的方法可知的可能取值为1，2，3，求出对应概率可得分布列，利用期望公式可得结果；
（Ⅲ）设在抽取的20名学生中，成绩在的人数为，则，故，利用单调性可得结果.
【详解】（Ⅰ）两个班学生的成绩的平均值为.
（Ⅱ）由频率分布表可知，若采取分层抽样的方法从两个班中成绩为和的学生中抽取5人，则应从成绩为和的学生中各抽取3人和2人，所以的可能取值为1，2，3.
，，，
所以的分布列为

1
2
3





所以的数学期望为.
（Ⅲ）设在抽取的20名学生中，成绩在的人数为，则，
所以.
设.
当时，，，当时，，.
所以当时，最大.
【点睛】本题主要考查平均值的求解，独立重复试验的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.