初中数学华师大版八年级上册第12章 整式的乘除12.5 因式分解习题

 因式分解—运用完全平方公式（拓展提高）

一、单选题

1．多项式与多项式的公因式是（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则的值为（   ）

A． B． C． D．

3．若实数a、b满足，则的值是（    ）

A．1 B． C．3 D．

4．关于的多项式的最小值为（  ）

A． B． C． D．

5．下列各式能用完全平方公式分解因式的有（    ）

①；②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．设 是三角形的三边长，且满足，关于此三角形的形状有以下判断：①是直角三角形； ②是等边三角形； ③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（      ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

7．分解因式：a2b-18ab+81b＝_____．

8．已知，则_________．

9．已知：，则的值为________．

10．已知，则= _______．

11．若n为正整数，则代数式（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1的值一定是某个正整数的平方，这个正整数为___________．（用含n的代数式表示）

12．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．

13．已知：a，b，c是等腰三角形ABC的三条边，其中a，b满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，则△ABC的周长为_____．

14．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程

解：设，

原式    （第一步）

    （第二步）

    （第三步）

    （第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的________（填选项）．

A．提取公因式             B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式        D．两数差的完全平方公式

（2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后，________；（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果___________．

三、解答题

15．因式分解：

（1）

（2）

16．已知a、b、c分别是的三边．

（1）分别将多项式，进行因式分解；

（2）若，试判断的形状，并说明理由．

17．定义：任意两个数a、b，按规则c＝b2+a+b﹣4扩充得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“吉祥数”．

（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“吉祥数”c；

（2）如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“吉祥数”c为非负数．

18．整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本内容，请利用相关知识解决下面的问题：

（1）化简计算：（n+2）（4n﹣8）+17；

（2）在（1）题结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解；

（3）试说明两个连续奇数的平方差能够被8整除．

19． 教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求最值问题．例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；

例如求代数式2x2+4x-6=2(x+1)2-8，当x= -1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：m2-4m-5=

（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2-4a+12b+18有最小值，求出这个最小值．

（3）当a，b为何值时，多项式a2 - 4ab+5b2 - 4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．

20．（问题情境）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．

例：已知，，其中．求证：．

证明：

，．

（1）比较大小：    ．

（问题探究）

（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系．

（深入研究）

（3）请用“作差法”解决下列问题：

某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有、两种方案可供选择，方案：每次按原价打六五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打六折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？