重难点26 双曲线—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点26  双曲线

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.

2.离心率e＝＝＝.

3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.

4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).

5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.

6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.

7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.

命题角度：（1）双曲线的定义及应用；（2）双曲线的标准方程；（3）双曲线的几何性质．

核心素养：直观想象、数学运算

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.

2．若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于

A．11 B．9 C．5 D．3

【答案】B

【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．

3．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

所以双曲线的渐近线方程为

所以点（4，0）到渐近线的距离

故选D

4．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为

A． B． C．  D．

【答案】A

【解析】由．

，

又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，

，故选A．

5．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

6．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．

考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．

7．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，则，，则双曲线的方程为，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，

因此，双曲线的方程为.

故选：B

8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

9．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题可知

在中，

在中,

故选B.

10．已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，

由可得：，

不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，

据此可得：，，

则，则，

双曲线的离心率：，

据此可得：，则双曲线的方程为.

本题选择A选项.

11．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A． B．

C．2 D．

【答案】A

【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，

又，为以为直径的圆的半径，

为圆心．

，又点在圆上，

，即．

，故选A．

12．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=

A． B．3 C． D．4

【答案】B

【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，

从而得到，所以直线的倾斜角为或，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，

可以得出直线的方程为，

分别与两条渐近线和联立，

求得，

所以，故选B.

二、填空题

13．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.

【答案】2

【解析】联立，解得，所以.

依题可得，，，即，变形得，,

因此，双曲线的离心率为.

故答案为：．

14．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

【答案】4

【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.

故答案为：4.

15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

【答案】2.

【解析】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，

又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．

16．已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为       ．

【答案】

【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，

∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，

由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，

∵，∴直线的方程为，即代入整理得，

解得或 (舍)，所以P点的纵坐标为，

∴=.

故答案为：.

三、解答题

17．已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.

（1）求双曲线C的方程；

（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

【答案】(1) 双曲线方程为(2) 满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和

【解析】（1）由已知及点在双曲线上得

解得；所以，双曲线的方程为．

（2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为

由  得    设直线与双曲线交于、，则、是上方程的两不等实根，

且即且      ①

这时 ，

又

即        

所以  即

又      适合①式

所以，直线的方程为与．

18．已知双曲线C：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.

（Ⅰ）求a,b；

（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）由题设知，即，故.

所以C的方程为.

将y=2代入上式，求得.

由题设知，，解得.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程为. ①

由题意可设的方程为，，代入①并化简得

.

设，，则

，，，.

于是

，

由得，即.

故，解得，从而.

由于，

.

故，

.

因而，所以、、成等比数列.