重难点07 函数与方程—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点07  函数与方程

1.判断函数零点所在区间的方法

2.判断函数零点个数的3种方法

(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．

(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　

3.根据函数零点的情况求参数有三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．　

函数的零点仍是2023高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2-4x+4的图象的交点个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像，可知有两个交点.

2．的零点个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】令，

在同一坐标系下，作出函数的图象，如图所示，

由于的图象有两个交点，

所以的零点个数为2,

故选：B

3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A.

4．函数的图象与函数的图象的交点个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．

5．已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知，函数的图象有两个公共点，画图可知当直线介于 之间时，符合题意，故选B.

6．函数的图象和函数的图象的交点个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，如下图所示：

由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.

7．已知是函数的一个零点，若，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，

则当时，在下方，即；

当时，在上方，即，

故选：B

8．设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（    ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)

【答案】B

【解析】设，则是增函数，又

.

所以，

所以x0所在的区间是(1，2)

故选：B

9．函数在区间上的零点个数为

A．4 B．5

C．6 D．7

【答案】C

【解析】本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.

，则或，，又，

所以共有6个解.选C.

10．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）

【答案】C

【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，

再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，

此时满足，即，故选C.

11．已知函数的周期为2，当时，，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（  ）

A．10个 B．9个 C．8个 D．1个

【答案】A

【解析】由题可知，如图所示：

当时，，根据图像可知，交点个数为10

故选：A

12．已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题可得存在满足

,

令,

因为函数和在定义域内都是单调递增的,

所以函数在定义域内是单调递增的,

又因为趋近于时,函数且在上有解(即函数有零点),

所以,

故选：B.

二、填空题

13．方程的实数解的个数为_____________ .

【答案】2

【解析】因为,作出函数的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程的实数解的个数为2.

14．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】函数有两个零点，

和的图象有两个交点，

画出和的图象，如图，要有两个交点，那么

15．函数的零点个数为_________．

【答案】．

【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，

即函数与的图象交点个数．

于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图象有2个交点．

16．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】     (1,4)    

【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

三、解答题

17．已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：只有一个零点．

【答案】（1）增区间是，，减区间是；

（2）证明见解析.

【解析】（1）当a=3时，，．

令解得x=或x=．

由解得：；

由解得：．

故函数的增区间是，，减区间是．

（2）［方法一］：【最优解】【通性通法】等价转化＋零点存在性定理

由于，所以等价于．

设,则,仅当时,所以在单调递增.故至多有一个零点,从而至多有一个零点.又,故有一个零点.综上,只有一个零点.

［方法二］：函数零点与图象交点个数的关系

因为，所以等价于，令，则．因为，则，当且仅当时，等号成立，所以在区间内单调递增，且．

当时，；当时，．所以直线与的图像只有一个交点，即只有一个零点．

［方法三］：【通性通法】含参分类讨论＋零点存在性定理

．

①当时，单调递增，只有一个零点．

②当与时，，再令或，则有．当与时，单调递增，当时，单调递增．

因为，

  ，

所以．

极大值与极小值同正同负，故只有一个零点．

［方法四］： 等价转化＋零点存在性定理

由于，所以，等价于．

设，则，仅当时，，所以在区间内单调递增．故至多有一个零点，从而至多有一个零点．

结合函数与方程的关系，根据零点存在性定理，取，则有，取，则有，所以在内有一个零点，故有一个零点．

综上，只有一个零点．

18．设二次函数，方程的两个根满足．

(1)当时，证明：；

(2)设函数的图象关于直线对称，证明：．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．

【解析】（1）令，，

∵的两个根，

∴可设，

当时，由于，得，

又，得，即，

又，

∵，

∴，，

得，

∴，

综上，；

（2）由题意知函数的对称轴为，

因为有两个根，即为方程的根，

∴，，

因为，

所以．