重难点16 等差数列及其前n项和—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点16  等差数列及其前n项和

1.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

2.若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.

3.若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

4.若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

5.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

6.等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.

7.若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，＝.

8.若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．

9.若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.

10.若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．

11.由公式Sn＝na1＋得＝a1＋d

＝n＋a1－，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．

12.等差数列与函数的关系

①an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数．当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．

②Sn＝n2＋n.当d≠0时，它是关于n的二次函数．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．设为等差数列的前项和，若，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设该等差数列的公差为，

根据题中的条件可得，

整理解得，所以，故选B.

2．记为等差数列的前n项和．已知，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题知，，解得，∴，故选A．

3．（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为

A．1 B．2

C．4 D．8

【答案】C

【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.

4．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：由得，解得.

5．设是等差数列的前项和,若,则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，选A.

6．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A．440 B．330

C．220 D．110

【答案】A

【解析】由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为

，

要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，

所以，则，此时，

所以对应满足条件的最小整数，故选A.

7．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

【答案】D

【解析】设，则，

依题意，有，且，

所以，故，

故选：D

8．等差数列的公差是2，若 成等比数列，则的前 项和

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．

9．设等差数列的前n项和为，若，则(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】是等差数列

又，

∴公差，

，故选C．

10．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【解析】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，

不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，

则，，

所以.

对于，，

取数列各项为(，,

则，

所以n的最大值为11．

故选：C．

11．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝

A．58 B．88 C．143 D．176

【答案】B

【解析】试题分析：等差数列前n项和公式，．

12．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.

若为单调递增数列，则，

若，则当时，；若，则，

由可得，取，则当时，，

所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；

若存在正整数，当时，，取且，，

假设，令可得，且，

当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.

所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.

所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.

故选：C.

二、填空题

13．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

【答案】

【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为，

故答案为：.

14．设是数列的前项和，且，，则__________．

【答案】

【解析】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .

15．设是等差数列，且，，则的通项公式为__________．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，

16．若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大．

【答案】8

【解析】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以

所以，所以，，故数列的前8项最大.

三、解答题

17．记为等差数列的前项和，已知，．

    （1）求的通项公式；

    （2）求，并求的最小值．

【答案】（1）；（2），最小值为–16．

【解析】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法

设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．

[方法二]：函数+待定系数法

设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．

（2）[方法1]：邻项变号法

由可得．当，即，解得，所以的最小值为，

所以的最小值为．

[方法2]：函数法

由题意知，即，

所以的最小值为，所以的最小值为．

18．为数列{}的前项和.已知＞0，=.

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3

两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，

即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），

∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，

∵a12+2a1＝4a1+3，

∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，

则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，

∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：

（Ⅱ）∵an＝2n+1，

∴bn（），

∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.