重难点27 抛物线—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点27  抛物线

1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.

2.焦半径公式

(1)若点P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝x0＋.

(2)若点P(x0，y0)是抛物线y2＝－2px(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝－x0＋.

(3)若点P(x0，y0)是抛物线x2＝2py(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝y0＋.

(4)若点P(x0，y0)是抛物线x2＝－2py(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝－y0＋.

3．过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点.

2023年命题角度：（1）抛物线的定义及应用；（2）抛物线的标准方程与几何性质；（3）直线与抛物线的位置关系．

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

2．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【解析】由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

3．已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设准线与轴的交点为，则，

如图所示，因为，故，

过点作，垂足为M，则轴，所以，

所以，由抛物线定义知，，

故选：B．

4．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）．

A．经过点 B．经过点

C．平行于直线 D．垂直于直线

【答案】B

【解析】如图所示：．

因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.

故选：B.

5．抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【解析】抛物线的焦点坐标为，

其到直线的距离：，

解得：(舍去).

故选：B.

6．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=

A．2 B．3

C．4 D．8

【答案】D

【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．

7．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．

8．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点

重合，是C的准线与E的两个交点，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】抛物线的焦点为所以椭圆的右焦点为即且椭圆的方程为抛物线准线为代入椭圆方程中得故选B.

9．设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由抛物线的性质可得，故选D.

10．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

11．已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】抛物线的准线方程为，则，则、，

不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，

因为且，则为等腰直角三角形，

且，即，可得，

所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.

故选：C.

12．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

【答案】A

【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.

二、填空题

13．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

【答案】

【解析】抛物线： ()的焦点,

∵P为上一点，与轴垂直，

所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,

不妨设,

因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，

又，

因为，所以,

，

所以的准线方程为

故答案为：.

14．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．

【答案】(x-1)2+y2=4.

【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，

焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，

以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.

15．设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线与抛物线相交于A，B两点.若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.

【答案】

【解析】抛物线的方程为，

16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．

【答案】2

【解析】［方法一］：点差法

设，则，所以

所以，

取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为

因为,，

因为为AB中点，所以平行于x轴，

因为M(-1,1)，所以，则即．

故答案为：2.

［方法二］：【最优解】焦点弦的性质

记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以．

［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理

记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以．

［方法四］：【通性通法】暴力硬算

由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得．

［方法五］：距离公式+直角三角形的性质

 设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以．

又由弦长公式知．

由得，解得，所以．

［方法六］：焦点弦的性质应用

由题可知，线段为抛物线的焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M．

过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心．

设，则．

又因为，所以联立解得．将的值代入中求得．

因为抛物线C的焦点，所以．

三、解答题

17．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设直线方程为：，，

由抛物线焦半径公式可知：    

联立得：

则    

，解得：

直线的方程为：，即：

（2）设，则可设直线方程为：

联立得：

则    

，

        ，    

则

18．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.

【答案】（1）；（2），.

【解析】（1），轴且与椭圆相交于、两点，

则直线的方程为，

联立，解得，则，

抛物线的方程为，联立，

解得，，

，即，，

即，即，

，解得，因此，椭圆的离心率为；

（2）[方法一]：椭圆的第二定义

由椭圆的第二定义知，则有，

所以，即．

又由，得．

从而，解得．

所以．

故椭圆与抛物线的标准方程分别是．

[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式

以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得．

故的标准方程为，的标准方程为．

[方法三]：参数方程

由（1）知，椭圆的方程为，

所以的参数方程为（为参数），

将它代入抛物线的方程并化简得，

解得或（舍去），

所以，即点M的坐标为．

又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得．

故的标准方程为，的标准方程为．

[方法四]【最优解】：利用韦达定理

由（1）知，，椭圆的方程为，

联立，消去并整理得，

解得或（舍去），

由抛物线的定义可得，解得.

因此，曲线的标准方程为，

曲线的标准方程为.