2024届西藏林芝市第二高级中学高三上学期第三次月考数学（文）试题含答案

这是一份2024届西藏林芝市第二高级中学高三上学期第三次月考数学（文）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，证明题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简集合A，再根据交集的定义可求得结果.
【详解】，，
，又，
.
故选：B.
2．已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，，则，解得，
所以实数m等于.
故选：D
3．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由正弦函数、幂函数、对勾函数性质判断各函数的奇偶性、区间单调性即可.
【详解】由定义域为R且，易知为奇函数，
又，故在上递减，A符合.
由在上递增，B不符合；
由定义域为，显然区间不满足定义域，C不符合；
由定义域为R且，即为偶函数，D不符合；
故选：A
4．设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．15B．30C．45D．60
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质求出，再根据等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】由题意得，所以，
所以.
故选：C.
5．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.
【详解】解：因为复数，
所以z在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
6．已知是第三象限角，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.
【详解】因为是第三象限角，故，
则，
故在第二象限，
故选：B
7．执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为17，则输入的最小整数的值为（ ）
A．9B．12C．14D．16
【答案】A
【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的值恰好满足题意，然后停止循环求出的值.
【详解】第一次循环，，不成立；
第二次循环，，不成立；
第三次循环，．不成立；
第四次循环，，，成立，
所以，输入的最小整数t的值为9．
故选：A
8．已知命题p：在中，若，则；q：若，则，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件分别判断命题，命题的真假，然后结合复合命题的真假关系进行判断即可.
【详解】命题p：在中，若，由正弦定理得，所以，为真命题，
当，对于，当且仅当时等号成立，
所以命题q：若，则，为真命题，
所以为真命题，假命题，假命题，假命题，
故选：A.
9．函数y＝ (其中e为自然对数的底数)的大致图像是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】方法一：排除法，根据函数值的特点，排除即可；
方法二：根据导数和函数的单调性即可判断.
【详解】方法一：排除法：当时，，排除C，
当时，恒成立，排除A、D，
故选B.
方法二：，
由，可得，令，可得或，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以只有B符合条件，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，注意在识别函数图象的过程中，可以从函数的定义域，函数的单调性，函数图象的对称性，函数图象所过的特殊点以及函数值的符号等方面来确定.
10．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，）
A．0.82B．1.15C．3.87D．5.5
【答案】B
【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解.
【详解】根据题意可得，两式相除可得，
所以，可得.
故选：B.
11．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得,，
，
，．故A正确．
【解析】三角函数单调性．
12．设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先设切点写出切线方程，再求的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.
【详解】令的切点为，因为，
所以过切点的切线方程为，
即，所以，
所以，
令，则，
所以当时恒成立，此时单调递减，
当时恒成立，此时单调递增，
所以，所以，
故选：C
二、填空题
13．已知，则 .
【答案】/
【分析】对已知式子利用三角函数恒等变换公式化简变形可得答案.
【详解】由，得
，
，
所以，
所以，
故答案为：
14．等比数列中，，，则 ．
【答案】108
【分析】根据等比数列的性质可得，求得，继而根据求得答案.
【详解】由题意等比数列中，，，
设等比数列的公比为q，则，
故，
故答案为：108
15．已知向量，则 .
【答案】/
【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积、线性运算的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故答案为：
16．已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列命题：
①； ②函数图象关于直线对称；
③函数在上有5个零点；④函数在上为减函数．
则以上结论正确的是 ．
【答案】①②
【分析】由题意分析的对称性 、单调性、周期性，对结论逐一判断.
【详解】根据题意，函数是上的奇函数，则；
由得，即
所以是函数的一条对称轴；
又由为奇函数，则，
变形可得，则有，
故函数是周期为4的周期函数，
当，且时，都有，
则函数在区间上为增函数，又由是上的奇函数，
则在区间上单调递增；
据此分析选项：
对于①，，则，
，故①正确；
对于②，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确；
对于③，函数在上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6，故③错误；
对于④，在区间上为增函数且其周期为4，函数在上为增函数，故④错误；
故答案为：①②．
三、证明题
17．已知数列满足．
(1)求；
(2)证明：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】(1)将代入递推式求解即可；
(2)用累加法求出数的通项公式即得证明.
【详解】（1）解：因为，
所以，
；
（2）证明：因为，
所以，
，
，
…
，
将以上个式子相加，
得.
也满足
所以．
四、解答题
18．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
19．某电视台为宣传本省，随机对本省内15~65岁的人群抽取了人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示
(1)分别求出、、、的值；
(2)从第2､3､4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
(3)求出直方图中，前三组（第1､2､3组）的平均年龄数（结果保留一位小数）？
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【分析】（1）先算出第4组的总人数，再根据频率分布直方图得到第4组的频率，从而可计算总人数，最后计算出相应组人数后利用统计结果表可得的值；
（2）先利用分层抽样求得第2、3、4组抽取的人数，再利用列举法及古典概型概率的求法即可得解；
（3）利用频率分布直方图平均数的求法即可求得所求.
【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知，
所以，
，
，
.
（2）由（1）可知第2、3、4组回答正确的共有人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，第2组抽取（人），记为；
第3组抽取（人），记为；第4组抽取（人），记为；
所以从6人随机抽取2人的基本事件有，共15件，
其中所抽取的人中恰好没有第3组的人（记为事件）的基本事件有，共3件，
所以，即所抽取的人中恰好没有第3组人的概率为.
（3）根据题意，
得前三组（第1､2､3组）的频率为，
所以前三组（第1､2､3组）的平均年龄数.
20．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.
【答案】（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或
【分析】（1）求出函数导数，由题可得即可求出；
（2）求出在的最大值即可建立关系求解.
【详解】（1），，
在与时都取得极值，
，解得，
，
令可解得或；令可解得，
的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；
（2），
由（1）可得当时，为极大值，而，
所以，
要使对恒成立，则，解得或.
21．已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
【答案】（1）：，：；（2），此时.
【详解】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
【解析】坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
23．
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围.
【答案】（1）; （2）.
【详解】试题分析：（1）将的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；
（2）在上无解相当于，从而得到关于的一元二次不等式，解得的范围.
试题解析：
（1）由题意得.
则原不等式转化为或或.
原不等式的解集为.
（2）由题得，
由（1）知，在上的最大值为，即，
解得或，即的取值范围为.
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
0.5
第2组
18
第3组
0.9
第4组
9
0.36
第5组
3