2022-2023学年四川省内江市威远县威远中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省内江市威远县威远中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】解不等式，得，则不等式的解集是

故选：B

【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，解一元二次不等式可结合二次函数的图象判定解集在两根之间还是两根之外，属于基础题.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】改变量词，否定结论即可.

【详解】命题“，”的否定是 “，”.

故选：B.

3．若幂函数的图象经过点，则＝

A． B． C．3 D．9

【答案】B

【分析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（3）的值．

【详解】设幂函数y＝f（x）＝xα，

其图象经过点，

∴2α，

解得α，

∴f（x），

∴f（3）．

故选B．

【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．

4．如果集合只有一个元素，则的值是

A． B．或 C． D．或

【答案】D

【分析】由题意得知关于的方程只有一个实数解，分和两种情况讨论，可得出实数的值.

【详解】由题意得知关于的方程只有一个实数解.

当，，合乎题意；

当时，则，解得.

综上所述：或，故选D.

【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.

5．函数是奇函数，且其定义域为，则（   ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用奇函数的定义即可求解；

【详解】因为函数是奇函数，

所以的定义域关于原点对称，

所以为，解得，

又因为为奇函数，

所以，即，所以，解得.

故选：B.

6．若对于定义域内的任意实数都有，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意首先求得函数的解析式，然后求解的值即可.

【详解】由题意可得：，解得：，

故.

故选D.

【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，函数值的求解，函数与方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7．当，，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，把问题转化为求的最小值，由，对进行恒等变形，利用基本不等式求出其最小值为，解即得答案.

【详解】由恒成立，需求的最小值，

因为，，且满足，

所以

当且仅当即时取到最小值，

所以,化简得解得.

故选：A.

8．已知函数满足对任意实数，都有 成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】易知函数在R上递增，由求解.

【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立，

所以函数在R上递增，

所以，

解得，

故选：C

二、多选题

9．以下函数在其定义域上为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.

【详解】解：对于A选项，，由于反比例函数为减函数，

故为减函数，故A错误；

对于B选项，的对称轴为，开口向上，故为增函数，故B正确；

对于C选项，由于在上是增函数，又在定义域上单调递增，

故由复合函数的单调性得在定义域上单调递增，故C正确；

对于D选项，为减函数，故D选项错误.

故选：BC.

10．下列各组函数是同一函数的有（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】ACD

【分析】通过判断定义域和解析式是否相同确定是否同一函数

【详解】A.两个函数定义域和解析式都一样，是同一函数

B.的定义域为，的定义域为，定义域不一样，不是同一函数；

C.，两个函数定义域和解析式都一样，是同一函数

D. ,两个函数定义域和解析式都一样，是同一函数.

故选：ACD.

11．已知函数，若存在，且、、两两不相等，则的取值可以为（   ）

A．-2 B．0 C． D．1

【答案】CD

【分析】作出函数的图象，由图象可求出，，即可求出，即可得出答案.

【详解】函数的图象如下图所示，

存在，且、、两两不相等，

由图可知，、关于对称，所以，

又因为，，

所以，所以，

故选：CD.

12．对于定义域为的函数，若同时满足：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为，则把称为闭函数.下列结论正确的是（   ）

A．函数是闭函数

B．函数是闭函数

C．函数是闭函数

D．若函数是闭函数，则

【答案】BD

【分析】根据函数的单调性排除A、C，求出在上的值域为的，的值，即可判断B，根据一元二次方程根的分布求出参数的取值范围，即可判断D.

【详解】对于A，函数是R上的偶函数，在R上不单调，A不正确；

对于B，函数是R上的奇函数，且在R上单调递减，若存在，使函数在上的值域为，

即，解得，即存在，使在上的值域为，B正确；

对于C，函数定义域为，

在和上都单调递增，但在其定义域内不单调，故C不正确；

对于D，函数定义域为，且在上单调递增，若存在，使函数在上的值域为，

即，

，为方程的两个实根，

即方程有两个不等的实根．

令，

当时，有，即，解得．

当时，有，即，不等式组无解．

综上所述，故D正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2017+y2018=______．

【答案】-1

【分析】利用集合相等的定义列出方程组，求出x，y，由此能求出结果．

【详解】∵集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，A=B，

∴，解得x=-1，y=0，

则x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1．

故答案为：-1．

【点睛】本题考查代数式求和，考查集合相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

14．定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集________.

【答案】

【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式

【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减，

所以，

所以，

即，

故答案为：

15．已知函数满足， 若函数与图像的交点为，则它们的纵坐标之和等于___．

【答案】4044

【分析】由函数则函数关于点对称，知函数关于点对称，又也关于点对称，关于点对称性即可求出纵坐标之和.

【详解】函数满足知，

函数关于点对称，

又也关于点对称

故函数与图像的交点也关于点对称

所以成对出现，且关于点对称

所以

故答案为：4044.

四、双空题

16．函数的定义域为________，单调递增区间为________.

【答案】         

【分析】令解出就可以得定义域，在定义域下求函数的增区间即为所求.

【详解】由即或得函数的定义域为：

又函数在上单调递增，

所以函数的增区间为

故答案为：；

五、解答题

17．设全集是R，集合A={x|-x2+2x<-3}，B={x|a<x<a+3}．

(1)若a=1，求（∁RA）∩B；

(2)问题：已知_____，求实数a的取值范围．

从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．

①A∩B=B；

②A∪B=A；

③A∩B=∅．

【答案】(1)（∁RA）∩B=（1，3]；

(2)答案见解析.

【分析】（1）把a=1代入后，结合集合的补集与交集运算即可求解；

（2）根据所选条件，结合集合的交并运算与集合的包含关系的相互转化可求．

【详解】（1）a=1时，A={x|-x2+2x<-3}={x|x>3或x<-1}，B={x|a<x<a+3}={x|1<x<4}，

所以∁RA=[-1，3]，（∁RA）∩B=（1，3]；

（2）若选①A∩B=B，则B⊆A，

所以a+3≤-1或a≥3，

所以a≤-4或a≥3，

所以a的范围为{a|a≤-4或a≥3}，

若选②A∪B=A，则B⊆A，

所以a+3≤-1或a≥3，

所以a≤-4或a≥3，

所以a的范围为{a|a≤-4或a≥3}，

若选③A∩B=∅，则，即-1≤a≤0，

所以a的范围为[-1，0]．

18．已知函数且.

(1)求的解析式；

(2)作出函数的图象，并写出的单调递增区间和单调递减区间.

【答案】(1)

(2)作图见解析，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

【分析】（1）根据，代入得到关于、的方程组，解得、，即可得到函数解析式；

（2）根据解析式画出函数图形，结合图象得到函数的单调区间.

【详解】（1）解：因为且，，

所以，解得，

所以；

（2）解：由，画出函数的图象如下图所示：

当时，，对称轴为，开口向下，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，，函数在上单调递减，

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

19．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围

【答案】（1）（2）

【分析】（1）当x＜0，则﹣x＞0，根据函数为奇函数f（﹣x）＝﹣f（x）及当x＞0时，f（x）＝x2+2x，可得函数在x＜0时的解析式，进而得到函数在R上的解析式；

（2）根据奇函数在对称区间上单调性相同，结合二次函数的图象和性质，可分析出函数的单调性，进而将原不等式变形，解不等式可得实数m的取值范围．

【详解】解：（1）当又是奇函数，

（2）由得

图像知为R上的增函数，，）

【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数奇偶性的性质，及在对称区间上单调性的关系是解答本题的关键．

20．已知函数对于任意，，总有，且 时，.

（1）求证：在上是奇函数；

（2）求证：在上是减函数；

（3）若，求在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）最大值为，最小值为.

【分析】（1）先由题意，用赋值法求出，再令，得出即可；

（2）在上任取，结合题中条件，根据单调性的定义，即可证明结论成立；

（3）函数单调性，得到最大值和最小值分别为和，再由题中条件，即可求出最值.

【详解】（1）∵函数对于任意，，总有，

令得，

令，得，即，

∴在上是奇函数．

（2）在上任取，

则，所以，

∵时，，∴，

即，∴在上是减函数．

（3）由（2）知在上是减函数，∴在上也是减函数，

∴在上的最大值和最小值分别为和，

而，，

∴在区间上的最大值为，最小值为.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的证明，以及由函数单调性求函数最值，属于常考题型.

21．已知函数，

（1）若恒成立，求的范围．

（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用分离参数法，结合基本不等式，并根据不等式恒成立的意义求解；

（2）根据对称轴与区间中点的位置分类讨论，结合二次函数的图象和性质求得.

【详解】解：（1），，，，

，当且仅当时成立，∴，

．

（2）当即时，；

当即时，，

综上，．

22．为防止未成年人沉迷网络游戏，切实保护未成年人身心健康，2021年8月30日，国家新闻出版署下发《关于进一步严格管理切实防止未成年人沉迷网络游戏的通知》，通知要求：“严格限制向未成年人提供网络游戏服务的时间，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日20时至21时向未成年人提供1小时服务，其他时间均不得以任何形式向未成年人提供网络游戏服务.”为落实上述通知要求，某网络游戏企业对新出品的一款游戏设定了"防沉迷系统"，规则如下：

①0到45分钟（不含0，含45分钟）为正常游戏时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E与游戏时间t（分钟）满足关系式：；

②45到55分钟（含55分钟）为视力疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；

③55到60分钟（含60分钟）为下线提醒时间，累积经验值开始减少，玩家每多玩1分钟，累积经验值将减少64；

④1小时后，无论玩家是否退出游戏，平台都将自动关闭.

(1)当时，求出累积经验值E与游戏时间的函数关系式；

(2)该游戏企业把累积经验值E与游戏时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏企业希望在正常游戏时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于6，求a的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已给模型得分段函数的函数解析式；

（2）在内，求出，然后由不等式恒成立，转化为求函数的最小值，利用最小值不小于0得参数范围．

【详解】（1）因为，所以

当时，，

当时，

当时，，

所以

（2）正常游戏时间内，即时，，

由题设知，对任意，都有成立，

即对任意，都有成立，

因为函数在上单调减，在上单调增，

所以当时函数取得最小值，

所以只需，即，所以a的最小值为9.