2023届福建省福州市闽江学院附属中学高三上学期期中考试数学试题（解析版）

2023届福建省福州市闽江学院附属中学高三上学期半期考试数学试题

一、单选题

1．如图，在复平面内，复数，z2对应的向量分别是，，则的虚部是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出，，再利用向量除法法则计算得到，求出虚部.

【详解】由题意得：，，

所以，，

所以，

故虚部为.

故选：B

2．已知函数，则函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求得的解析式，从而确定正确答案.

【详解】当时，，此时；

当时，，此时.

所以，

所以C选项的图象符合.

故选：C

3．函数的最小正周期等于（    ）

A．π B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为即可求得最小正周期.

【详解】

，

故最小最周期.

故选：A

4．已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由条件可得，且不共线，然后可求出答案.

【详解】因为与的夹角为锐角，

所以，且不共线，所以，解得且，

故选：D

5．正项等比数列满足，，成等差数列，则（    ）

A．或－1 B．或1 C． D．

【答案】C

【分析】根据等差中项及等比数列的通项公式求出公比，即可得解.

【详解】正项等比数列满足，，成等差数列，

，即，

解得或（舍去），

，

故选：C

6．某正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，下列结论正确的是（    ）

A．平面  B．平面 C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件及线面平面的判定定理，结合线面垂直的判定定理及异面直线所成角即可求解.

【详解】由题意可知，如图所示

对于A,由图可知，与平面不平行，故A 错误；

对于B，易知，，所以，同理，

，，所以平面，故B正确.

 对于C，在正方形中，，易知四边形为平行四边形，所以,所以，故C错误.

对于D ，在正方形中，,所以为异面直线与所成角，易知，所以与不垂直，故D错误.

故选：B.

7．已知双曲线，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若三角形为锐角三角形，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】因为位于第一象限，所以恒为锐角，由为锐角可得，，由为锐角得，利用平面向量积可得答案.

【详解】由得、，

因为位于第一象限，所以恒为锐角，

因为三角形为锐角三角形，所以为锐角，为锐角，

由为锐角得，所以，因为，所以，

由为锐角得，

所以，

所以，

所以，

又，所以，即，又，所以，

综上所述：.

故选：C.

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了平面向量数量积，考查了运算求解能力，考查了锐角三角形的概念，属于基础题.

二、多选题

8．下列命题正确的是（    ）

A．在回归分析中，相关指数越小，说明回归效果越好

B．已知，若根据2×2列联表得到的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关

C．已知由一组样本数据（，2，，n）得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有

D．若随机变量，则不论取何值，为定值

【答案】BD

【分析】在线性回归中，回归效果和相关系数的关系可判断A；将与临界值进行比较可判断两个变量之间的关系，可判断B；根据线性回归方程可知可得是一个估计值，即可判断C；根据正态分布列的性质可判断D.

【详解】解：

对于A选项：在回归分析中，相关指数越大，说明回归效果越好，故A错误；

对于B选项：，若根据2×2列联表得到的观测值为4.1，则有的把握认为两个分类变量有关，故B正确；

对于C选项：根据回归直线方程为 ，由，得到是一个估计值，因此这组样本数据不一定有，故C错误；

对于D选项：若随机变量，为对称轴，则不论取何值，为定值，故D正确.

故选：BD

9．下列说法中正确的是（    ）

A．设随机变量服从二项分布，则

B．已知，，则

C．某射击选手射击一次，击中目标的次数为随机变量，则服从两点分布

D．，

【答案】BC

【分析】由二项分布概率公式计算可知A错误；由条件概率公式推导可知B正确；由两点分布定义知C正确；由期望和方差性质可知D错误.

【详解】对于A，，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，随机变量或，且对应概率分别为和，满足两点分布定义，C正确；

对于D，由期望性质知：；由方差性质知：；D错误.

故选：BC.

10．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）轴截面是边长为2的等边三角形，则下面选项正确的是（    ）

A．圆锥PO的表面积为

B．圆锥PO的内切球半径为

C．圆锥PO的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为

D．若C为PB的中点，则沿圆锥PO的侧面由点A到点C的最短路程是

【答案】ABC

【分析】根据圆锥的几何结构特征，结合圆锥的表面积公式和内切球的性质，以及内接圆柱、侧面展开图的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，

可得圆锥的底面圆的半径为，高，母线长为，

则圆锥的表面积为，所以A正确；

对于B中，设圆锥的内切球球心为，半径为，如图所示，

由与相似，可得，即，解得，

即圆锥的内切球的半径为，所以B正确；

对于C中，如图所示，设内接圆柱的底面半径为，高为，

在直角中，可得，则，

所以，

所以内接圆柱的侧面积为，

当且仅当时，即时，等号成立，此时

所以圆锥PO的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为，所以C正确；

对于D中，如图所示，设圆锥侧面展开图的与圆心角为，

由弧长等于底面圆的周长，可得，可得，

在直角中，，可得，

即当为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点的最短路程是，

所以D不正确.

故选：ABC.

11．若函数的图象与的图象关于y轴对称，则（    ）

A．

B．θ的值可以是

C．函数f(x)在单调递减

D．将的图象向右平移个单位长度可以得到g(x)的图象

【答案】AC

【分析】根据函数关于y轴对称可知，据此可判断AB，由正弦函数的单调性可判断C，根据函数图象的平移判断D.

【详解】因为，

由题意，所以，即，

所以，θ的值不可以是，，

当时，，由正弦函数的单调性知函数f(x)在单调递减；

将的图象向右平移个单位长度可得，得不到g(x)的图象.

故选：AC

12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】因为，可得，故设，然后求导，判断单调性，分别求解每一个选项即可.

【详解】令

所以

因为，

所以

故在单调递减

所以，得，即，故A错误；

，得，即，故B正确；

，得，即，故C正确；

得，即，故D正确.

故选：BCD

【点睛】当一个不等式中出现了与时，我们一般要构造新的函数，让新函数求导的导函数可以利用已知不等式判断正负即可；一般与在不等号同一边时，两者的系数符号相同时，一般构造两部分相乘求导，两者的系数符号相反时，一般构造两部分相除求导（尽量让出现在分子）.

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】直接求出导函数，令，求出斜率及直线所过的点，写出点斜式方程，化简即可.

【详解】，令，此时，，故切线方程为，

化简得，

故答案为：.

14．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：

根据表及图得到以下判断：

①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；

②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则；

③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；

以上判断中正确的序号是__________.

【答案】②

【分析】结合散点图对个判断进行分析，从而确定正确答案.

【详解】①，羊只数量与草场植被指数是相关关系，不是函数，所以①错误.

②，根据散点图可知，去掉第一年数据后，数据的相关性变强，所以，所以②正确.

③，利用回归直线方程，可以进行“估计”，不能“准确”预测，所以③错误.

故答案为：②

15．已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.

【答案】

【解析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积.

【详解】解析：过点作平面于点，记球心为.

∵在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，

∴，

∴.

∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，

∴，.

在中，，

即，解得，

∴外接球的表面积为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球的表面积以及计算能力，属于中档题.

16．数列的前项为，若对任意正整数，有（其中为常数，且），则称数列是以为周期，以为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列前项的和等于__________.（为正整数）

【答案】

【分析】将数列的每四项看成一个整体项形成新数列得到数列前项的和即的前项和，再计算，相加得到答案.

【详解】根据题意知：将数列的每四项看成一个整体项形成新数列

则数列为首项是公比为的等比数列.

数列前项的和即的前项和为：，  

则数列前项的和等于

故答案为：

【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生对于数列知识的综合应用.

四、解答题

17．在①②③这三个条件中选择一个补充在下面的问题中，并求解.

设等差数列的公差为()，前项和为，等比数列的公比为.已知，，___________，.

（1）请写出你的选择，并求数列和的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）条件选择见解析；；（2）.

【分析】（1）选择条件与已知条件构成方程组求，写出数列通项公式即可.

（2）由（1）可知的通项公式，结合错位相减法即可求前项和.

【详解】（1）选①由题意有，，即，解得，故.

选②由题意有，，即，解得，故.

选③由题意有，，即，解得，故.

（2）由，，故，于是，①

.②

①-②可得，

故.

【点睛】关键点点睛：根据所选条件与已知构成方程组求数列基本量，写出通项公式；再由新数列描述得到其通项，结合错位相减法求前n项和.

18．如图，直三棱柱的侧面菱形，．

(1)证明：；

(2)设为的中点，，记二面角为，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)连接, 利用菱形的性质可得, 利用线面垂直的判定定理可得 平面, 即可证明结论;

(2)建立合适的空间直角坐标系, 求出所需点的坐标和向量的坐标, 然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量, 由向量的夹角公式求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接BC1，因为侧面BCC1B1是菱形，

则BC1⊥B1C，

因为 平面 ,

则 平面 ,

因为 平面,

所以 ;

（2）因为直三棱柱 中, ,而，

由(1)可得, ,

又 , 平面，则 平面 ,

故以点 为坐标原点, 建立空间直角坐标系如图所示,

设 , 则 ,

所以 ,

设平面 的法向量为 ,

则 ，

令, 则 , 故 ,

设平面 的法向量为 ,

则 ,

令 , 则 , 故 ,

所以 ,

因为二面角为，故的值为.

19．近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．

(1)请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)根据（1）的判断结果及下表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的人次．

参考数据：其中，

(3)已知此楼盘第一天共有10套房源进行销售，其中6套正价房，4套特价房，设第一天卖出的4套房中特价房的数量为，求的分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)，到访人次为690

(3)分布列见解析，

【分析】(1)观察散点图，结合散点图的特征选择合适的回归方程类型，(2)由取对数可得，结合线性回归方程求法及参考数据可求回归方程，结合回归方程进行预测；(3)由条件确定的可能取值，及取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.

【详解】（1）根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，故判断适合作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型．

（2）由（1）知，，两边同时取对数得，令，

则

由题意知，

又，，

所以，

所以，

则y关于x的回归方程为，

当时，，故预测活动推出第8天售楼部到访人次为690．

（3）由题意可知的取值可能为0，1，2，3，4．

，，，，．

所以的分布列为：

所以．

20．△ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

(1)求a；

(2)若AD⊥ BC于D，且AD=，求角A的最大值．

【答案】(1)2；

(2)．

【分析】（1）根据正弦定理边角互化及诱导公式变形可求得；

（2）根据三角形面积公式得到，由余弦定理结合基本不等式求得，再由三角函数公式变形得到，最后根据正切函数的单调性求得角A的最大值．

【详解】（1）解：已知等式化为，

，结合三角形内角和性质，

．

（2）解：由已知得的面积，

得到，

又由余弦定理得

，且，

，

即角A的最大值为．

21．已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知直线满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，若以线段为直径的圆始终过点，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)过定点.

【分析】（1）根据题意列方程，再结合，解方程得到，，，即可得到椭圆方程；

（2）联立直线方程和椭圆方程得到，，根据以线段为直径的圆经过点，得到，然后列方程得到，解得，即可得到直线过定点.

【详解】（1）由题意得，，又，解得，，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设，，

联立得，，

则，，，

因为以线段为直径的圆经过点，所以，

，，

，即，解得或，满足，

因为，所以，直线方程为，恒过点，

所以直线过定点，定点为.

【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

22．已知函数．

(1)若恒成立，直接写出a的值，并证明该不等式；

(2)证明：当时，；

(3)当时，不等式恒成立，求a的取值集合．

【答案】(1)，证明详见解析

(2)证明详见解析

(3)

【分析】（1）先得到，然后通过构造函数法，结合导数证得不等式成立.

（2）构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.

（3）构造函数，由求得，结合导数确定a的取值集合.

【详解】（1）的值为，即不等式，证明如下：

构造函数，

，所以在区间递减；

在区间递增.

所以，故，即不等式恒成立.

（2），

构造函数，

，

当时，，，，

所以，

所以在区间上递减.

当时，，，，

所以，

所以在区间上递增.

当时，，，

所以，

所以在区间上递增.

所以，

即.

（3）当时，不等式恒成立，

即时，不等式恒成立，

构造函数，即,

由于且，所以当时，取得最小值，

由于是可导函数，且，

则是函数的极小值点，

所以，解得.

下面证明当时，为的极小值点：

此时，

，

令，

，

由（2）可知，当时，，

所以在区间上递增，

，

所以在区间递减；在区间递增，

所以是的极小值点，符合题意.

所以的取值集合是.

【点睛】利用导数研究函数的单调区间，如果导函数无法判断函数的单调区间时，可以考虑利用二次求导来进行求解，求解过程中要注意导函数和原函数之间的对应关系.