福建省福州市马尾区2024届高三上学期期中考试数学试卷

这是一份福建省福州市马尾区2024届高三上学期期中考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．设复数z满足z+i=4−i，则z4+2i=（ ）
A．4−2iB．4+2iC．3+4i5D．3−4i5
2．已知全集为U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列运算结果一定为U的是（ ）
A．M∪NB．(∁UN)∪(∁UM)
C．M∪(∁UN)D．N∪(∁UM)
3．已知向量a，b不共线，且c=xa+b，d=2a+(2x−3)b，若c与d共线，则实数x的值为（ ）
A．2B．−12C．2或−12D．−2或−12
4．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 AB 上， CD⊥AB ．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s的计算公式： s=AB+CD2OA ．当 OA=2，∠AOB=60° 时， s= （ ）
A．11−332B．11−432C．9−332D．9−432
5．若(2−x)10的展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则A+B+C=（ ）
A．4095B．4097C．−4095D．−4097
6．已知角θ的大小如图所示，则1+sin2θcs2θ=（ ）
A．−53B．53C．−4D．4
7．已知x>0，y>0，且x+2y+xy−7=0，则x+y的最小值为（ ）
A．3B．37−3C．4D．6
8．设数列{an}满足a1=1，a2=4，an+an+2=2an+1+2，若[x)表示大于x的最小整数，如[2)=3，[−2.1)=−2，记bn=[n(n+1)an)，则数列{bn}的前2022项之和为（ ）
A．4044B．4045C．4046D．4047
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．已知直线l：(a2+a+1)x−y+1=0，其中a∈R，下列说法正确的是（ ）
A．当a=−1时，直线l与直线x+y=0垂直
B．若直线l与直线x−y=0平行，则a=0
C．直线l过定点(0，1)
D．当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
10．已知函数f(x)=cs2x−2sin(π2−x)cs(π2+x)，则（ ）
A．f(x)的最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的图像关于直线x=π8对称
D．f(x)在区间[−3π8，π8]上单调递减
11．已知同底面的两个正三棱锥P−ABC和Q−ABC均内接于球O，且正三棱锥P−ABC的侧面与底面所成角的大小为π4，则下列说法正确的是（ ）.
A．PA∥平面QBC
B．设三棱锥Q−ABC和P−ABC的体积分别为VQ−ABC和VP−ABC，则VQ−ABC=4VP−ABC
C．平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的425倍
D．二面角P−AB−Q的正切值为−53
12．已知函数f(x)=exln(1+x)，则（ ）
A．函数y=f(x)的零点是(0，0)
B．不等式f(x)>0的解集是(0，+∞)
C．设g(x)=f′(x)，则g(x)在[0，+∞)上不是单调函数
D．对任意的s，t∈(0，+∞)，都有f(s+t)>f(s)+f(t)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，且6，a2，a5成等差数列，则S5= .
14．若sin(π6−α)=13，则cs(2π3+2α)= .
15．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星（分割成6个不同区域）涂色，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的区域）的颜色不同，则不同的涂色方案共有 .
16．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，线段F1P与y轴交于点Q，若|PQ|=2|QF1|，且△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=−3bcsA.
（1）求tanAtanB的值；
（2）若c=2，tanC=34，求△ABC的面积.
18．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a3=5，S9=9，数列bn=|an|.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列bn的前n项和Tn.
19．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量x（单位：kg）近似服从正态分布N(0.4，σ2)，如图G4-1所示，已知P(x0)的离心率为12，焦距为2.
（1）求籿圆的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m(k，m∈R)与椭圆C相交于A，B两点，且kOA⋅kOB=−34.
①求证：△AOB的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.
22．已知函数f(x)=x+sinx.
（1）设P，Q是函数f(x)图像上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数a的取值范围，使不等式f(x)⩾axcsx在[0，π2]上恒成立.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解： 因为z+i=4−i，所以z=4-2i，所以z4+2i=4−2i4+2i=4−2i24−2i4+2i=12−16i20=3−4i5.
故答案为：D.
【分析】根据已知先求z，然后代入式子，利用复数除法运算法则计算即可.
2．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：对于A，M∪N=N，故A错误.
对于B， (∁UN)∪(∁UM) = ∁UM∩N=∁UM，所以B错误.
对于C，M∪(∁UN)⊂U，故C错误.
对于D，N∪(∁UM)=U，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由M⊆N⊆U，可知集合之间包含关系，根据集合运算逐个计算即可判断.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；相等向量
【解析】【解答】解：因为向量a，b不共线，且 c=xa+b，d=2a+(2x−3)b，c∥d所以d⇀=λc⇀ ，
即 2a⇀+2x−3b⇀=λxa⇀+b⇀ ，所以λx=2λ=2x−3∴2x2−3x−2=0，∴x=2或x=−12 .
故答案为：C.
【分析】根据共线向量的性质得d⇀=λc⇀，利用向量相等得出方程组，求解即可.
4．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
即OD=OA=OB=2 ，
又∠AOB=60° ，
所以AB=OA=OB=2，
则OC=3 ，
故CD=2−3 ，
所以s=AB+CD2OA=2+2−322=11−432 .
故选：B.
【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：二项式系数和A=210=1024，
令x=1，则各项系数和B=（2-1）10=1，
因为(2−x)10 的展开式的通项公式为Tr+1=C10r210−r−xr=−1r210−rC10rxr，
所以一次项系数C=−1129C101=−5120，所以A+B+C=-4095.
故答案为：C.
【分析】利用二项式系数和为2n求出A，用赋值法求出所有项系数和B，再由二项展开式通项公式求出C，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由图知tanθ+π4=4−1=−4 ，则1+sin2θcs2θ=sinθ+csθ2sin2θ−cs2θ=sinθ+csθ2sinθ−csθsinθ+csθ=sinθ+csθsinθ−csθ=1+tanθ1−tanθ=tanθ+π4=−4.
故答案为：C.
【分析】根据三角函数定义得tanθ+π4的值，然后根据二倍角公式、同角三角函数关系化简，通过正切和角公式，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 x+2y+xy−7=0，x>0，y>0所以 x=7−2y1+y>0，∴00，而y=ex>0恒成立，所以ln1+x>0，所以x∈(0，+∞)，
故B正确；
对于C，令g(x)=f'(x)=exln1+x+11+x，所以g'x=exln1+x+2x+1(1+x)2，
设1+x=m(m>0)，则ln1+x+2x+1(1+x)2=lnm+2m−1m2，
设ℎm=lnm+2m−1m2⇒ℎ'm=(m−1)2m3≥0，即y=h(m)在定义域上单调递增，
又h(1)=1>0，ℎ12=2e−e2−10，则g'(x)>0，g(x)在0，∞上单调递增，故C错误；
对于D，设ux=fx+t−fxx，t>0⇒ux=f'x+t−f'x=gx+t−gx，由C可知gx+t≥gx⇒ux在0，∞上单调递增，所以有us=fs+t−fs>u0=ft−f0，又f0=0⇒fs+t−fs>ft，即fs+t>fs+ft成立，故D正确
故答案为：B、D
【分析】根据零点的定义可判定A错误；由指数函数值域恒正，转化为解对数不等式，可判定B正确；根据导数研究函数的单调性，计算即可判定C错误；构造差函数，结合函数的单调性，计算即可判定D正确.
13．【答案】−312
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：在等比数列an中，设公比为q=2，因为 6，a2，a5成等差数列，所以2a2=6+a5，
即2a1q=6+a1q4∴4a1=6+24a1∴a1=−12 ，
∴S5=a11−q51−q=−121−251−2=−312.
故答案为：−312.
【分析】根据等差中项定义、等比数列通项公式、等比数列前n项和公式，代入计算即可.
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因 sin(π6−α)=13⇒cs(π3+α)=13 ，故 cs(2π3+2α)=cs2(π3+α)=2cs2(π3+α)−1=−79 ，应填答案 −79 。
【分析】先利用诱导公式把已知变形，再利用二倍角公式把所求变形代入数据，即可求值.
15．【答案】96
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设中间五边形区域为A，其余五个三角形区域依次为B、C、D、E、F，区域A，可以涂红、黄、蓝3种颜色，有3种选法，剩下的5个区域都与A相邻，都有2种选法， 则不同的涂色方案共有 3×2×2×2×2×2=96种.
故答案为：96.
【分析】根据题意，先分析中间区域的涂色方法，再分析其他5个区域涂色方法，由分步计数原理计算即可.
16．【答案】3−12
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：设x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点F1（-c，0），F2（c，0），P（x，y），过P作x轴垂线交x轴于M，因为 |PQ|=2|QF1|， 线段F1P与y轴交于点Q，所以OF1=2OM，即x=2c，
∴4c2a2+y2b2=1，∴y2=b21−4c2a2 ， 因为△PF1F2为等腰三角形，所以F1F2=PF2，
所以2c−c2+b21−4c2a2=2c ，所以a2−4b2c2a2=a2−4a2−c2c2a2=4c2，
所以a4−8a2c2+4c4=0，∴4e4−8e2+1=0，∴e2=2±32∵0