2022-2023学年福建省福州市闽江口协作体高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年福建省福州市闽江口协作体高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据并集和补集的定义运算即可得解．

【详解】，，

，

则．

故选：D．

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】利用分式不等式的解法，结合必要非充分条件定义即可进行判断．

【详解】，由可得，

解得：或，

所以“”不能推出“”；

当时，可得：，

所以“”可以推出“”

“”是“”的必要非充分条件．

故选：B．

3．甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】记甲乙两人通过考试分别为事件，则有，，所求的事件可表示为，由事件的独立性和互斥性，即可求出其中恰有一人通过的概率是多少．

【详解】记甲乙两人通过考试分别为事件，

则有，，

所求的事件可表示为，

．

故选：B．

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较的大小.

【详解】∵，，，

∴.

故选：B.

【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.

5．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.

【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

只有C选项的图象符合.

故选：C.

6．已知平面的一个法向量为，，则直线与平面的位置关系为（    ）

A． B． C． D．相交但不垂直

【答案】C

【分析】根据向量的坐标即可得出，根据平面的法向量与平面垂直即可得出．

【详解】因为，

所以,

又，

．

故选：C．

7．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】计算各端点的函数值，结合单调性，利用零点存在性定理即可判断.

【详解】，，

又在上单调递增，

在区间存在唯一零点.

故选：C.

8．若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由对数函数的定义域可得，再根据二次函数的单调性可知或，从而解出的范围．

【详解】由题意可得，，解得或.

所以函数的定义域为.

令，函数的对称轴为，且开口向上，

函数在上单调递增，在上单调递减，

由外层函数是其定义域内单调递增，

所以要使函数在上单调，

则或，

解得或，则实数的取值范围是.

故选：D．

二、多选题

9．已知复数，其共轭复数为，则（    ）

A．的实部与虚部之和为 B．

C．是纯虚数 D．

【答案】AB

【分析】由复数的乘法求解，根据复数的特征、共轭复数、复数的模逐项判断即可．

【详解】对于A，由题意可得，的实部与虚部之和为，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，不是纯虚数，故C错误；

对于D，，故D错误．

故选：AB.

三、单选题

10．在下列四个正方体中，能得出的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由线面垂直的性质可判断A，根据异面直线所成角的计算可判断BCD.

【详解】对A，如图，连接，则在正方体中，，又平面，平面，则，，平面，平面，，故A正确；

对B，如图，连接，易得，则为异面直线所成角，，故不垂直，故B错误；

对C，如图，，则为异面直线所成角，易得，故不垂直，故C错误；

对D，如图，，则为异面直线所成角，显然，故不垂直，故D错误.

故选：A.

四、多选题

11．已知函数，，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的图像关于点对称

C．在上为增函数

D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像

【答案】ABC

【分析】根据图象求出的解析式，可以判断A、B正确利用三角函数单调性可以判断C正确

利用奇偶性定义可以判断D不正确.

【详解】由图像得，，

，则．

又，且，

，故A正确

，

的图像关于点对称,B正确由，得，

在上为增函数，C正确

是偶函数，D不正确．

故选：ABC．

12．已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是（    ）

A． B．

C．是偶函数 D．若，则

【答案】ABD

【分析】利用赋值法,对，取特殊值代入已知表达式进行求解，逐项分析即可．

【详解】对于A，令，则，故A正确

对于B，令，则，则，故B正确

对于C，令，则，所以，

又令，，则，

所以是奇函数，故C错误

对于D，令，，则，

所以，故D正确.

故选：ABD．

五、填空题

13．在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则          ．

【答案】

【分析】在平行六面体中把向量用用表示，再利用待定系数法，求得.再求解。

【详解】如图所示：

因为，

又因为，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14．已知为单位向量，且，若，向量的夹角为，则          ．

【答案】

【分析】根据给定条件，求出的模，再利用向量夹角公式计算作答.

【详解】因为为单位向量，，，则有，

而，

所以．

故答案为：

15．需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为          米

【答案】

【分析】利用正弦定理求得，进而求得.

【详解】因为在中，，，，

所以，

由正弦定理得，即，解得，

在中，，所以，

则塔高

故答案为：.

16．已知，若，则实数的值可以为           

【答案】

【分析】分段函数求函数值，要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，令，分以及分别求，进而求解结论．

【详解】，若，

令，

当时，，可得舍，

当时，，可得，即，可得或，

解得或无解；

实数的值为.

故答案为：.

六、解答题

17．已知

(1)当k为何值时，与共线？

(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由向量共线的坐标运算列出方程，即可得到结果.

（2）根据题意，由三点共线可得与共线，列出方程，即可得到结果.

【详解】（1）因为

所以，，

因为与共线，

所以，解得.

（2）因为

所以，

，

因为A，B，C三点共线，

所以与共线，即，解得.

18．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

问题：已知，，分别为三个内角，，的对边，且______．

（1）求；

（2）若，则的面积为，求，．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】选择见解析；（1）；（2）．

【分析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，即可得到，从而求出；

若选②，利用余弦定理计算可得；

若选③，利用辅助角公式及特殊角的三角函数值计算可得；

（2）由（1）可得，利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到，再解方程即可；

【详解】解：若选①

（1）∵．

由正弦定理得，，

∵，∴，即，

∵，∴．

（2）∵，，

∴，由余弦定理：，

即，即，

由，，所以，即

所以．

若选②

（1）∵，

由余弦定理，，

∵，∴．

（2）∵，，

∴，由余弦定理：，

即，即，

由，，所以，即，所以．

若选③

（1）∵，∴．

∵，，

∴，∴．

（2）∵，，

∴，由余弦定理：，

即，即，

由，，所以，即，所以．

19．如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）解法一：连接，交于点，连接，利用中位线证明，进而即可证明平面；解法二：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，求平面的一个法向量，由向量法能够证明平面；

（2）由（1）知是平面的一个法向量，又是平面的一个法向量，由向量法能够求出二面角的余弦值．

【详解】（1）解法一：

连接，交于点，连接，

底面是正方形，

为的中点，又为的中点，

，

平面，平面，

平面

解法二：

侧棱底面,底面,底面，

,

所以，，两两垂直，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，．

，

设是平面的一个法向量，

则由，得，

．

，，

又平面，

平面．

（2）由知是平面的一个法向量，

又是平面的一个法向量．

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，

．

20．为庆祝建党周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛现把名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：

(1)求的值及这名党员成绩的众数；

(2)若要选取成绩前的党员参加上一级的比赛，则应选取多少分以上的参赛？

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据小矩形面积和为1列出方程，解出值，再根据众数的概念即可得到答案；

（2）根据百分位数的定义计算即可.

【详解】（1）根据频率分布直方图得：

，解得．

由众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为．

（2）前个小组的频率之和是，

所以第百分位数在第六小组内，设其为，

则，解得，

则可以估计此样本数据的第百分位数为，即应选取93.75分以上的参赛．

21．已知向量，，且函数．

(1)求的周期

(2)若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式得，再利用周期公式得结论；

（2）利用函数图象的平移变换得，再利用函数的值域，计算得结论．

【详解】（1）因为向量，，

所以．

因为，

所以最小正周期．

（2）因为将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，

所以．

当时，，，

所以．

22．已知函数

求曲线在点处的切线方程

若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围

【答案】(1) x+y-1=0.

(2) .

【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；

(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.

【详解】（1）因为，所以.

   所以

   又

   所以曲线在点处的切线方程为

   即.（5分）

（2）由题意得，，

   所以.

   由，解得，

   故当时，，在上单调递减；

   当时，，在上单调递增.

   所以.

   又，，

若函数恰有两个零点，

   则解得.

 所以实数的取值范围为.

【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.