初中数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法试讲课ppt课件

这是一份初中数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法试讲课ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了复习引入，平方根，直接开平方法，探究归纳，直接开平方得，解移项得，x2900，x±30，典例精析，探究交流等内容，欢迎下载使用。
1. 如果 x2 = a，那么 x 叫做 a 的 .
2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = .
3. 如果 x2 = 64，那么 x = .
4. 任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
问题：一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程
10×6x2 = 1500，
开平方得 x = ±5，
即 x1 = 5，x2 = －5．
∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm．
试一试： 解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.
(1) x2 = 4；
(2) x2 = 0；
(3) x2 + 1 = 0.
解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2.
解：移项，得 x2 = -1．∵ 负数没有平方根，∴ 原方程无解.
解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0.
(2) 当 p = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3) 当 p < 0 时，因为任何实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根.
一般的，对于可化为 x2 = p (I) 的方程，
(1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ；
例1 利用直接开平方法解下列方程：
∴ x1 = 30，x2 = -30.
在解方程 x2 = 25 时，由直接开平方法得 x = ±5. 由此想到，由 (x + 3)2 = 5， ①得
对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5？
于是，方程 (x + 3)2 = 5 的两个根为
上面的解法中 ，由方程①得到②，实质上是把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
例2 解下列方程：(1)
解得 x1 = 3，x2 = -1.
∵ x - 1 是 4 的平方根，
∴ x - 1 = ±2.
∵ 3 - 2x 是 0.25 的平方根，
∴ 3 - 2x = ±0.5，
即 3 - 2x = 0.5 或 3 - 2x = -0.5.
1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有 x2 = p 或 (x＋n)2 = p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
问题1 你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1) a2 + 2ab + b2 = ( )2；
(2) a2 - 2ab + b2 = ( )2.
问题2 填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2 + 4x + = ( x + )2
（2）x2 - 6x + = ( x - )2
（3）x2 + 8x + = ( x + )2
x2 - x + = ( x - )2
二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.
解方程：x2 + 6x + 4 = 0. (1)
问题1 方程 (1) 怎样变成 (x + n)2 = p 的形式呢？
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方
在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项系数为 1 的一般式前提下进行的.
问题2 为什么在方程 x2 + 6x = -4 的两边加上 9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式 x2 + 2mx + m2 的形式.
一元二次方程配方的方法：
像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
配方法解一元二次方程的定义
配方法解一元二次方程的基本思路
把一元二次方程化为 (x + n)2 = p 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．
配方法解一元二次方程的基本步骤
x2－8x = －1，
x2－8x + 42 = －1 + 42，
(x－4)2 = 15.
二次项系数化为 1，得
2x2－3x = －1.
移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢?
∵ 实数的平方不会是负数，∴ x 取任何实数时，上式都不成立．∴ 原方程无实数根．
为什么方程两边都加 12？
例4 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5 = k2－4k＋4＋1
= (k - 2)2＋1.
∵ (k - 2)2≥0，∴(k - 2)2＋1≥1.
∴ k2－4k＋5 的值必定大于零.
1. 方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0，则 m 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 1 或 -22. 利用配方法求最值.(1) 2x2 - 4x + 5 的最小值；(2) -3x2 + 5x + 1 的最大值.
解：(1) 2x2 - 4x + 5 = 2(x - 1)2 + 3，当 x = 1 时有最小值 3.(2) -3x2 + 5x + 1 = -3(x - )2 + ，当 x = 时有最大值 .
1.求最值或证代数式的值恒正（或负）
将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
2.完全平方式中的配方
如：已知 x2－2mx＋16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负式的和的形式
对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配成多个完全平方式的和为0，再根据非负式的和为 0，则各式均为 0 求解. 如：a2＋b2－4b＋4 = 0，即 a2＋(b－2)2 = 0，则 a = 0，b = 2.
D. 解方程 (2x + 3)2 = 25，得 2x + 3 =±5，x1 = 1, x2 = -4
1. 下列解方程的过程中，正确的是（ ）
B. 解方程 (x - 2)2 = 4，得 x - 2 = 2，x = 4
(1)方程 x2 = 0.25的根是 . (2)方程 2x2 = 18 的根是 . (3)方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 .
3. 解下列方程： (1) x2 - 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2 = 4.
x1＝0.5，x2＝-0.5
x1＝9，x2＝-9.
x1＝5，x2＝-5.
x1＝1，x2＝-3.
（1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12；（3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x + 2 = 0，
(x + 1)2 = -1.
解：x2 - 4x - 12 = 0，
(x - 2)2 = 16.
x1 = 6，x2 = -2.
解：x2 + 2x - 3=0，
(x + 1)2 = 4.
x1 = -3，x2 = 1.
5. 如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2，道路的宽应为多少？ 
解：设道路的宽为 x m，根据题意得
(35 - x)(26 - x) = 850.
整理，得 x2 - 61x + 60 = 0.
x1 = 60 (不合题意，舍去)，x2 = 1.
答：道路的宽为 1 m.
6. 若 ，求 (xy)z 的值.
解：对原式配方，得
由非负式的性质可知
7. 已知 a，b，c 为 △ABC 的三边长，且满足等式 ，试判断 △ABC 的形状.
∴ △ABC 为等边三角形.